线性代数课后答案-习题3和习题4

习题三

1.解下列线性方程组:

AXX

内-2X2+3刍+%=-3Xj+32+53-44=1

A*2—刍+“4=-3西+3X+2X-2X+X=-\

2)2345

2X-

%)+3X2+2=1%1-2-x4-x5=3

一lx2+3X3+x4=-3%一4/一一=3

X]-2X2+3X3-4X4=4

3%-2X++几=3

3)《2

-6X2+7七-13X4=10

解：1）解为:（3为自由未知数）;

3）无解。

2.诃论；I,a,力取什么值时，下列方程组有解。

(A+3)Xj+元2+2刍=%C4+%+曰=4

1)<XX]+(A—l)x>+七=2A2)%+bx2+七=3

3(2+l)x)+AX2+(Z+3)X3=3%+2bx2+x3=4

2+312

解.：1）由于系数行列式AA—11=r（A-l）,所以当九工0』时,

3(4+1)24+3

由克莱姆法则可知方程组有解。

勺120、'3120、

当4=0时，增广矩阵为0-11i0T0-110方程组

、303：V000

’412;r012、

无解；当2=1时，增:矩阵为101；201-2-7,方程

、614；3<000-2J

组无解。

11

2)由于系数行列式b1=伙1—Q),所以当人，0且4W1时，由克莱

12b1

姆法则可知方程组有解。

11；4、a11：4、

当人=0时，增广矩阵为101i310：3，方程组无解。

100

010

11；4、012、

当。=1时，增广矩阵为ib1；30102O故当

J2b12001-2^

a=T,b=‘时方程组有解，当。=]力。_L时方程组无解。

22

3.证明方程组

有解的充分必要条件是4]+生+G+4+。5=0。

证明：方程组的增广矩阵为:

-1

1-1

1-1

00000

，系数矩阵的秩为4。故方程组有解的充分必要条件是4+%+%+%+%=°。

4.判断下列方程组解的存在性:

X+工2+工3=193

X]+依2+矿工=61

CLX+hx-\-cx=d

X2y2)\

1)%+bx2+

a2x+b2x+C2X=d~

}233

%+cx+C2X=c

3323

a^x]+bx2+CX3=d'

‘111］、

d

解：1）方程组的增广矩阵为：:;。当d不等于〃，b,c

a-b~cd2f

Sb3?心

中任一数时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组无解；当d等于a,b,

C中某一数时，方程组有解。

<1aa1：o'

2）方程组的增广矩阵为：1b*：护o当4,b,c互不相同时，

ICC2-3

\C7

系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为3,方程组有唯一解；当。，〃，C有某两个

相等时，或。，h,C全相等时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩分别为1或2,

方程组有无穷个解。

5.设有齐次线性方程组

axl+bx2+>>-+bxn=0

b苞+ax,+・••+bx„=0

2〃，。工0,人。0,a2。

H

b.5+6元2----F奴〃=0

讨论方程组何时仅有零解？何时有无穷多解？

ab•••b

ha•・■b

解：方程组系数矩阵的行列式=\a+（n-\）h]（a-by-1。当

•••・•••••

bb…a

[a+5-1）川（。一份i/O时，即人工。,，一时，方程组仅有零解；当b=a,」~

1-771-7?

时，方程组有无穷多解。

提高题

+%力+…+”产4

1.证明：线性方程组｛.................有解的充分必要条件是

a2b-3c

即行歹U式〃2c—3。=6(a+〃+c)[(。一〃y+S—c)2+(c—a)2]=0,故

c2a-3b

Q+Z?+C=O。

2)若a+〃+c=O,三条直线对应的方程增广矩阵的秩小于3。

又:2b=2(ac-b2)=-2[(a+-Z?)2+-Z?20,所以系数矩阵的秩为2。从而

b2c24

方程组有唯一解。

3.已知方程组

X)+x2-2几=-6%+nvc2-x3-x4=-5

(I)<4x,-x2-x3-x4=1与(II)<ivc-,—X：—2/=—11°

3尤1-x2-x3=3须-2x4=-r+1

问方程组(II)中的参数机,为何值时，方程组(I)与(II)同解。

解：因为方程组(D与(II)同解，则方程组(I)与(I)、(II)联立的方程组

同解。(I)、(II)联立的方程组增广矩阵为

，110-2-6、r100-1-2、

4-1-1-11010-1-4

3-1-103001-2-5

o

1m-1-1-5000m-24(m—2)

0n-1-2-11000-4+H4(n-4)

、001-2T+1,、0000T+6,

所以m=2,〃=4,t=6o

4.给定齐次线性方程组

《内+…+即再=()

。，肃+…0

其中A=(%)的行列式|川=0,且存在一，/0,若(不，…,X”)是方程组的任

一非零解，证明：工=工=­=工0

A.A24,

证明：由于|川=0,且存在一所以齐次方程组的系数矩阵的秩为

基础解系中仅含一个非零解。又…是齐次方程组的一个非零解，所以

工=旦=…

AiA24”

习题四

1.设%=(2,5,1,3),a2=(10,1,5,10),a3=(4,1,-1,1)。且向量a满足

3(臼-a)+2(%+a)=5(%+。)，求a。

解：a=(1,2,3,4)o

2.卜列向量组中，向量/能否可由四，a2，出线性表示？若能，写出表示式，

并说明表示式是否唯一。

1)%=(1』』』)，a2=(1,1,-1,1),a3=(1,-1,1,-1),4=(1,2,1,2)；

2)a,=(1,2,1,3),a2=(l,-3,-4,-7),GCy=(2,1,—1,0),p=(4,—1,-5,—6)o

%

11)00

12000,,31

解：1)因为，故,n=5%一耳%。

1100-/

J2,000

1°7

表示式是唯一的。

(\124、10%:阴

2-31-1

2)因为0%:%,故表示式不唯一,

1-4-1-5

0000

3-70一6)

<000°>

其中一个表示为119

B=—CX,,H------0(f0

5।5一

3.判断下列向量组是否线性相关:

1)%=(2,3,6),%=(5,2,0),%=(7,5,6)；

2)«=(1,3,4,-2),a2=(2,1,3,-1),=(3,-1,2,0)：

3)%=(1,2,3),a2=(2,3,1),%=(l,3,r)；

4)=(l,c,c2)o

解：1)线性相关；2)线性无关；3)当，=8时线性相关，当，工8时线性无关。

4)当a/,c有某两个相等时线性相关，当出"c互不相同时线性无关。

4.设%,%,%线性无关，证明/，/+%,0+%+。3也线性无关u

证明：设有+%2（%+%）+%（%+%+%）=°，即

（仁+&+%）«+（攵2+&）%+&%=°o由于%,%，%线性无关，所以

（占+&+%3）=（*2+23）=无3=°，推出仁=6=（=0。故%，《1+%，

四+%+%也线性无关。

5.设向量组/,,・,，/线性无关，而向量组…，4,《线性相关。证明"可

表示成囚，…，区的线性组合，且表示式是唯一的。

证明：因为向量组囚，…，4,4线性相关，故存在不全为零的匕，…，匕火使

得K/+,,•+&q+〃/?=0o若％=0,则人%+…+人%=0。又名,…，as

线性无关，可得占=-=儿=0,此与《，・、4人不全为零矛盾，所以女工0。

从而有方=-1（攵臼+…+&q）,即月可表示成名,…，a,的线性组合。

k

下证表示式是唯一。设有尸=%乌++&q.=/臼+…,可得

（仁一/1）%+…+（《一《）4=0o由4线性无关，可得

kh=0,即表示式是唯一的。

6.判断下列两向量组是否等价：

>.=(1,1-1-1)

,=(1,2,1,1)

1)尸2=；

a=(1,1,1,1)

2A=(1-1-1,1)

4=(11,0)

4=(121)

2)a2=(0,1,1)

/72=(1-1-2)

3)ct19,a?。、—a1—a、,—a?一一°

111、U1111A

211-1-10-1-1-3-3

解：1）因为,故两向量组

11-11-100101

-1-11;W001一匕

不等价。

01:11、01:11]

2)因为110；2-1T01-151-2,故两向量组等

,01-1i1-2,00；0°,

价。

3）因为4二—（见+夕3），所以无论名，%，%的相关性如何，片，&自都

是线性相关的，故%,%，％与回，声2,四不等价。

7.求下列向量组的极天线性无关组，并用它来表示其余向量：

1）a,=（0,0,0,1）,a2=（1,1,0,1），a3=（2,1,3,1）,a4=（l,l,0,0）,

%=(0』,—1,-1)。

2)«,=(1,1,2,2,1),6f2=(0,2,1,5,-1),%=(2,。,3,—1,3),=(1,1,0,4,-1)o

9120、00-10

011101010

解：1）因为,所以a1,%，4，%是一

0030-100100

J110一"<00001

个极大线性无关组,且％=-a}+a2o

1021000、

20000

2）因为230000,原向量组即为它的一个极大

25-140001

-13、0000;

线性无关组。

8.证明：秩（A+3）（秩（A）+秩（3）。

讦明：记4的行向量组为四,，极大线性无关组为%,%2,…，/人："的

行向量组为*夕2,…，片，极大线性无关组为斗,42,…，为。则A+3的句量

组为火+四,…,%十后,它可由%,%2,…，%t，%,月2,…，为线性表不。所以

秩（A+8）=秩（囚+4,,・・,氏+瓦）«女+/=秩（A）+秩（8）。

9.用基础解系表示下列方程组的解。

司+%—2刍-x4+x5=1

1)3X|一无2+尢3+4%+3天=4；

XX

芭+5X2-93-84+x5=0

X,+x2+x3+x4+x5=1

2)《X

2x+2X2-x3-x4+25=5o

天+%一天二-1

1-2-11

解：1)因为3-114340।。%

J5-9-8100000i0

记7=（%，%，l，°，0）',%=（—%，%，0，L0）'，%=（TO,0,0/）'

，7o=（%，一/，°，°，°）'，则通解为%+47+女2〃2+23/73（4，&，%3为任意数）。

Hill1](\1000；2

2)因为22-1—12；5f()0110；-1记

；-1J1,00001；0

J)011-1

7=（—1,1,（）,0,0）',%=（°，0，T，l，°）'，缶=（2,0,—I,。,0）'，则通解为

%+31+%2〃2（人,但为任意数）。

10.设%是非齐次线性方程组=B的解，/，…，么是AX=0的基础解系。证

明：7，,么,依线性无关。

证明：设有人,…人,左使得勺7+…+%么+切0=0（1）,若k彳。,则：

%二一;（仁7+…+%/），从而A〃O=-：（K47I+…+&A么）=°，即仇为

kk

AX=（）的解，矛盾。故左=0,代入（1）,由彷，…,么线性无关，知人二・・4二0,

所以〃,,依线性无关。

11.设丫是一线性空间，…，%为V中一组向量，记

心（四,…,4）=伏乌+.・+人见|K，…人是任意数｝o证明£（四,・・・,《）是V的子

空间（该子空间称为生成子空间）。

证明：任意a,/7£〃囚,・,・,4),则《=+…+%%,尸=/乌+・・+/0,，从

而a+£=(K+/])/+…+(8+()%£〃《「••,4)o又对任意数A,

ka=kg+…+尿0,GL(a1,…,鬼)。所以L(«,…,a,)是V的子空间。

12.设丫={*[,工2，七)|2%一工2+3刍=°；%，X2，工3ER}。证明丫为一线性空间，求

V的一个基和标准正交基。

证明：因为V为齐次线性方程组2%-/+3%3=0解，由齐次方程组解得线性组合

仍是齐次线性方程组的解知V为一线性空间。它的基础解系为V的一个基：

131

7=(5,1,0)'，％=(-5,0，1)'。施密特正交化得：4=[彳(1,2,0)'，

夕2=—y=(-6,3,5)ro

4J5

13.在R3中，求由基«1=(1,2,-1),a2=(l,-l,l),6Z3=(-1,2,1)到基

川=(2,0,1),尸2=(0，覃)，43=(1，T2)的过渡矩阵。

'11-1:201^100:-%%%

解：因为2-12：01-1-010：%%%，所

，-53117

以所求过渡矩阵为:12412

8