2025年高考备考高中数学个性化分层教辅尖子生篇《常用逻辑用语》

第1页（共1页）2025年高考备考高中数学个性化分层教辅尖子生篇《常用逻辑用语》一．选择题（共10小题）1．（2024•东海县校级开学）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]＝3，[0.6]＝0．那么“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024春•平罗县校级期末）“a≥﹣3”是“a≥﹣2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024•回忆版）已知命题p：∀x∈R，|x+1|＞1，命题q：∃x＞0，x3＝x，则（）A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题4．（2024春•玉林期末）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2+ax﹣2＞0，则p的一个必要不充分条件是（）A．a＜﹣1 B．a＞0 C．a＞1 D．a＞25．（2024春•让胡路区校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为AD1，B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（）①存在P，Q的某一位置，使AB∥PQ；②△BPQ的面积为定值；③当PA＞0时，直线PB1与直线AQ一定异面；④无论P，Q运动到何位置，均有BC⊥PQ．A．①②④ B．①③ C．②④ D．①③④6．（2023秋•水磨沟区校级期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y＝D（x）=1，x为有理数①D（D（x））＝0；②对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；③任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；④存在三个点A（x1，D（x1））、B（x2，D（x2））、C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③7．（2024春•丰满区校级期末）下列命题中，真命题的个数是（）①y=x2+6②∃x∈N，x2≤x；③若x∈A∪B，则x∈A∩B；④集合A＝{x|kx2﹣x+1＝0}中只有一个元素的充要条件是k=1A．1 B．2 C．3 D．48．（2024春•鼓楼区期末）“a＞1”是“函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2024春•利辛县校级月考）若a，b∈R，则“a2+b2≤6”是“ab≤3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．（2024春•普陀区校级期末）已知a，b是实数，则a3＞b3的一个必要非充分条件是（）A．a2＞b2 B．2a＞2b C．a+1＞b D．lga＞lgb二．多选题（共5小题）（多选）11．（2023秋•浏阳市期末）设x，y∈R+，S＝x+y，P＝xy，以下四个命题中正确的是（）A．若P为定值m，则S有最大值2m B．若S＝P，则P有最大值4 C．若S＝P，则S有最小值4 D．若S2≥kP总成立，则k的取值范围为k≤4（多选）12．（2024春•文峰区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题． B．命题“对∀x∈Z，x2的个位数不等于3”的否定是假命题． C．梯形ABCD是等腰梯形的充要条件是AC＝BD． D．设a，b，c∈R，则a2+b2+c2＝ab+ac+bc的充要条件是a＝b＝c．（多选）13．（2023秋•河南期末）下列说法正确的是（）A．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2 B．若命题p：∀x∈（0，+∞），x﹣1＞lnx，则p的否定为∃x∈（0，+∞），x﹣1≤lnx C．在△ABC中，“sinA+cosA＝sinB+cosB”是“A＝B”的充要条件 D．若mx2+3x+2m＜0对∀m∈[0，1]恒成立，则实数x的取值范围为（﹣2，﹣1）（多选）14．（2023秋•河南月考）下列是真命题的是（）A．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥6”的必要不充分条件 B．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 C．“2x＞2”是“x＞2”成立的必要不充分条件 D．命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2＜﹣1”（多选）15．（2024春•建华区校级期末）已知函数f（x）＝cos2xcosφ﹣sin2xsinφ（0＜φ＜π2）的图象的一个对称中心为（A．直线x=512π是函数f（xB．函数f（x）在[0，π6]上单调递减C．函数f（x）的图象向右平移π6个单位可得到y＝cos2x的图象D．函数f（x）在[0，π2三．填空题（共5小题）16．（2024•建华区校级开学）①在△ABC中，若a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形的解的情况是两解．②数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an﹣1（n∈N+），则a11＝1023．③在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则OA→④已知a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）an＝2n+1（n∈N+），则an=2⑤已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列．以上命题正确的有（只填序号）．17．（2024春•建平县月考）设p：∃n＞1，n2＞2n﹣1，则¬p是．18．（2023秋•沙依巴克区校级月考）已知函数f(x)=9x−4sinπ6⋅3x+24，g（x）＝2ax﹣1（a＞0）．若∀x1∈[0，log32]，∃x2∈[1，2]，f（x119．（2024春•沈阳期末）下列四个命题：①命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a＝0，则ab≠0”；②“若q≤1，则x2+2x+q＝0有实根”的逆否命题；③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1，则log其中正确命题的序号是．（把所有正确的命题序号都填上）．20．（2024•射洪市校级模拟）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．（3）如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）四．解答题（共5小题）21．（2024春•观山湖区校级月考）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式4x2﹣x﹣m＝0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．22．（2023秋•双塔区校级期末）已知集合A={x|m−12＜x＜m+1}，B＝{x|2x2（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若集合A∩（∁RB）中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数m的取值范围．23．（2023秋•鄄城县校级月考）已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a+5}，B＝{x|x≤﹣2或x≥5}．（1）若a＝﹣2，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．24．（2024春•新城区校级期末）已知集合A={x|22−x≥1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣（1）若m＝2，求（∁RA）∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．25．（2023秋•河南月考）已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜m+1}，命题“∃x∈R，ax2+ax+1＜0”为假命题．（1）求实数a的取值集合B；（2）在（1）的条件下，若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

2025年高考备考高中数学个性化分层教辅尖子生篇《常用逻辑用语》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•东海县校级开学）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]＝3，[0.6]＝0．那么“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件必要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】B【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可．【解答】解：如果|x﹣y|＜1，比如x＝3.9，y＝4.1，则有|x﹣y|＝0.2＜1，根据定义，[x]＝3，[y]＝4，[x]≠[y]，即“|x﹣y|＜1”不是“[x]＝[y]”的充分条件；如果[x]＝[y]＝n，n∈Z，则有x＝n+d1，y＝n+d2，d1，d2∈[0，1），∴|x﹣y|＝|d1﹣d2|＜1，所以“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的必要条件；故“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充要条件的判断，属于中档题．2．（2024春•平罗县校级期末）“a≥﹣3”是“a≥﹣2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学抽象．【答案】B【分析】结合不等式检验充分及必要性即可判断．【解答】解：当a≥﹣3时，a≥﹣2不一定成立，当a≥﹣2时，a≥﹣3时一定成立，故a≥﹣3是a≥﹣2的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．3．（2024•回忆版）已知命题p：∀x∈R，|x+1|＞1，命题q：∃x＞0，x3＝x，则（）A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题【考点】复合命题及其真假；全称量词命题的否定．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．【答案】B【分析】判断命题的真假，命题的否定的真假，即可得到选项．【解答】解：命题：p：∀x∈R，|x+1|＞1，x＝﹣1时，不成立，所以命题：p是假命题；则￢p是真命题．命题q：∃x＞0，x3＝x，x＝1时成立，所以命题q是真命题，￢q是假命题；所以￢p和q都是真命题．故选：B．【点评】本题考查命题的真假的判断，命题的否定命题的真假的判断，是基础题．4．（2024春•玉林期末）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2+ax﹣2＞0，则p的一个必要不充分条件是（）A．a＜﹣1 B．a＞0 C．a＞1 D．a＞2【考点】充分不必要条件的应用．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．【答案】B【分析】由题意可得a＞−x+2x在[1，2]上恒成立，根据函数y=−x+2【解答】解：因为∀x∈[1，2]，x2+ax﹣2＞0，所以a＞−x+2只需y=−x+2x在[1，2]上的最大值小于因为y=−x+2x在[1，2]上单调递减，故所以a＞1．A：既不是充分条件，也不是必要条件，故A错误；B：因为a＞1⇒a＞0，所以a＞0是p的一个必要不充分条件，故B正确；C：a＞1是p的充要条件，故C错误；D：因为a＞2⇒a＞1，所以a＞2是p的充分不必要条件，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，还考查了充分必要条件的判断，属于中档题．5．（2024春•让胡路区校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为AD1，B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（）①存在P，Q的某一位置，使AB∥PQ；②△BPQ的面积为定值；③当PA＞0时，直线PB1与直线AQ一定异面；④无论P，Q运动到何位置，均有BC⊥PQ．A．①②④ B．①③ C．②④ D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象．【答案】D【分析】画出图形，利用特殊点判断①的正误；判断△BPQ的面积为变化，判断②，利用异面直线以及直线与平面垂直关系判断③④即可．【解答】解：①当P，Q分别为棱AD1，B1C的中点时满足，正确．②取特殊位置△BPQ的面积为变化，P在A处时，△BPQ的面积为12，P在AD1中点时，△BPQ的面积为2③，当PA＞0时，假设直线PB1与AQ是共面直线，则AP与B1Q共面，矛盾，所以直线PB1与AQ是异面直线，故③正确；④，BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PQ，故④正确；故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间线面之间的位置关系的判断，考查射影定理的应用，突出考查转化思想与空间想象能力，是难题．6．（2023秋•水磨沟区校级期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y＝D（x）=1，x为有理数①D（D（x））＝0；②对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；③任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；④存在三个点A（x1，D（x1））、B（x2，D（x2））、C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；简易逻辑；逻辑推理．【答案】C【分析】根据狄利克雷函数的定义，分别讨论x是有理数和无理数，然后进行计算即可．【解答】解：①若x为有理数，则D（x）＝1是有理数，则D（D（x））＝1，若x为无理数，则D（x）＝0是有理数，则D（D（x））＝1；故①错误，②若x为有理数，则﹣x为有理数，此时D（x）＝1，D（﹣x）＝1，即D（x）＝D（﹣x）成立，若x为无理数，则﹣x为无理数，此时D（x）＝0，D（﹣x）＝0，即D（x）＝D（﹣x）成立，综上对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；故②正确，③若x为有理数，则x+T为有理数，此时D（x+T）＝1，D（x）＝1，即D（x+T）＝D（﹣）成立，若x为无理数，则x+T为无理数，此时D（x+T）＝0，D（x）＝0，即D（x+T）＝D（x）成立，综上任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；故③正确，④对任意有理数x，存在三个点A（x，1）、B（x−33，0）、C（x+33，0）是边长为故选：C．【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据狄利克雷函数的定义，分别讨论x是有理数和无理数时，是否满足结论是解决本题的关键，是中档题．7．（2024春•丰满区校级期末）下列命题中，真命题的个数是（）①y=x2+6②∃x∈N，x2≤x；③若x∈A∪B，则x∈A∩B；④集合A＝{x|kx2﹣x+1＝0}中只有一个元素的充要条件是k=1A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；换元法；转化法；函数的性质及应用；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【答案】A【分析】根据分离常数法，可得y=x2+4+2x2+4，换元，令t=x2+4∈[2，+∞），于是f（t）＝t+2t求出使集合A＝{x|kx2﹣x+1＝0}中只有一个元素的k值，即可判断④．【解答】解：①y=x2+6x2+4=f（t）＝t+2t在t∈[2，+∞）上单调递增，∴f（t）min＝f（2）＝3，故命题②当x＝1时，满足x2≤x，故命题②为真命题；③取A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∪B＝{1，2，3}，A∩B＝{2}，1∈A∪B，但1∉A∩B，故命题③为假命题；④若集合A＝{x|kx2﹣x+1＝0}中只有一个元素，则k＝0或k≠01−4k=0，解得k＝0或k=∴集合A＝{x|kx2﹣x+1＝0}中只有一个元素的充要条件是k＝0或k=14，故命题故真命题的个数为1．故选：A．【点评】本题主要考查命题真假的判断与应用，考查了利用换元法求函数的最值，集合的基本关系，特称命题与充要条件的定义，属于中档题，8．（2024春•鼓楼区期末）“a＞1”是“函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件必要条件的判断；二次函数的性质与图象．【专题】综合题；整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】A【分析】根据二次函数性质分析可知若函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减，等价于a≥1，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解．【解答】解：因为函数y＝x2﹣2ax+1的图象开口向上，对称轴为x＝a，若函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减，等价于a≥1，显然（1，+∞）是[1，+∞）的真子集，所以“a＞1”是“函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．9．（2024春•利辛县校级月考）若a，b∈R，则“a2+b2≤6”是“ab≤3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件必要条件的判断．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可．【解答】解：因为2ab≤a2+b2≤6，当且仅当a＝b时取等，所以ab≤3，所以“a2+b2≤6”能推出“ab≤3”，取a=4，b=14，满足ab≤3，但“ab≤3”不能推出“a2+b2≤6”，故“a2+b2≤6”是“ab≤3”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的运用，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（2024春•普陀区校级期末）已知a，b是实数，则a3＞b3的一个必要非充分条件是（）A．a2＞b2 B．2a＞2b C．a+1＞b D．lga＞lgb【考点】充分条件与必要条件．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．【答案】C【分析】由已知可得a＞b，根据题意，即为a＞b时可以推出选项成立，但选项成立时，a＞b不一定成立，结合选项即可判断．【解答】解：因为a3＞b3⇔a＞b，根据题意，即为a＞b时可以推出选项成立，但选项成立时，a＞b不一定成立，A，当a＞b时，a2＞b2不一定成立，不符合题意；B，a＞b⇔2a＞2b不符合题意；C，a＞b时，a+1＞b一定成立，当a+a＞b时，a＞b不一定成立，符合题意；D，a＞b时，lga与lgb有可能没有意义，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了充分及必要条件的判断，属于基础题．二．多选题（共5小题）（多选）11．（2023秋•浏阳市期末）设x，y∈R+，S＝x+y，P＝xy，以下四个命题中正确的是（）A．若P为定值m，则S有最大值2m B．若S＝P，则P有最大值4 C．若S＝P，则S有最小值4 D．若S2≥kP总成立，则k的取值范围为k≤4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用均值不等式的应用确定ABC的结论，进一步利用恒成立问题的应用和均值不等式的应用判断D的结论．【解答】解：对于A：设x，y∈R+，S＝x+y，P＝xy，P为定值m，则S有最小值2m，当且仅当x＝y时，等号成立，故A对于B：当S＝P，则x+y＝xy≥2xy，整理得：xy≥2，即xy≥4，所以pmin＝4，故对于C：当S＝P，则x+y＝xy≤(x+y2)2，整理得：（x+y）≥4，pmin＝4（当且仅当x＝对于D：S2≥kP总成立，故k≤S2P，由于k≤故选：CD．【点评】本题考查的知识要点：均值不等式的应用，恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．（多选）12．（2024春•文峰区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题． B．命题“对∀x∈Z，x2的个位数不等于3”的否定是假命题． C．梯形ABCD是等腰梯形的充要条件是AC＝BD． D．设a，b，c∈R，则a2+b2+c2＝ab+ac+bc的充要条件是a＝b＝c．【考点】命题的真假判断与应用；充要条件的判断；全称量词命题的真假判断；存在量词命题的真假判断．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】BCD【分析】根据题意，由原命题的真假即可判断其否定的真假，从而判断AB，分别验证充分性以及必要性，即可判断CD【解答】解：对于A，命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”是真命题，则其否定是假命题，故A错误；对于B，命题“对∀x∈Z，x2的个位数不等于3”是真命题，因为0到9这10个数字的平方数的个位都不会是3，则其否定是假命题，故B正确；对于C，必要性：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，又因为BC＝CB，所以△BAC≅△CDB，所以AC＝BD．充分性：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．因为AD∥BE，DE∥AC，所以四边形ACED是平行四边形，所以DE＝AC．因为AC＝BD，所以BD＝DE，所以∠E＝∠1．又因为AC∥DE，所以∠2＝∠E，所以∠1＝∠2．在△ABC和△DCB中，AC=DB，所以△ABC≅△DCB，所以AB＝DC．所以梯形ABCD为等腰梯形．所以梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD，故C正确；对于D，充分性：若a＝b＝c，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，即2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，所以a2+b2+c2＝ab+ac+bc，故充分性成立；必要性：若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，所以a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，所以a＝b＝c，故必要性成立；所以a2+b2+c2＝ab+ac+bc的充要条件是a＝b＝c，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于中档题．（多选）13．（2023秋•河南期末）下列说法正确的是（）A．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2 B．若命题p：∀x∈（0，+∞），x﹣1＞lnx，则p的否定为∃x∈（0，+∞），x﹣1≤lnx C．在△ABC中，“sinA+cosA＝sinB+cosB”是“A＝B”的充要条件 D．若mx2+3x+2m＜0对∀m∈[0，1]恒成立，则实数x的取值范围为（﹣2，﹣1）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；不等式的解法及应用；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【答案】ABD【分析】直接利用一元二次不等式的解法，命题的否定，三角函数的关系式的变换，充分条件和必要条件的应用，恒成立问题的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，即方程ax2+2x+c＝0的根为﹣1和2，所以−1+2=−2a，解得a＝﹣2，(−1)×2=ca，解得c＝4，故a+对于B：命题p：∀x∈（0，+∞），x﹣1＞lnx，则p的否定为：∃x∈（0，+∞），x﹣1≤lnx，故B正确；对于C：在△ABC中，“sinA+cosA＝sinB+cosB”整理得1+2sinAcosA＝1+2sinBcosB，故sin2A＝sin2B，故A＝B或A+B=π2，故“sinA+cosA＝sinB+cosB”是“A＝B”的必要不充分条件，故对于D：mx2+3x+2m＜0对∀m∈[0，1]恒成立，故0⋅x2+3x+2⋅0＜0x2+3x+2＜0，解得﹣2＜故选：ABD．【点评】本题考查的知识要点：一元二次不等式的解法，命题的否定，三角函数的关系式的变换，充分条件和必要条件的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．（多选）14．（2023秋•河南月考）下列是真命题的是（）A．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥6”的必要不充分条件 B．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 C．“2x＞2”是“x＞2”成立的必要不充分条件 D．命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2＜﹣1”【考点】充分条件与必要条件；全称量词命题的否定；命题的真假判断与应用．【专题】综合题；整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】BC【分析】对于AB：根据充分、必要条件分析判断；对于C：利用指数函数单调性解不等式，结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据全称命题的否定是特称命题分析判断．【解答】解：对于A，x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，则x2+y2≥8＞6成立，满足充分性，故A错误；对于B，当a≠0时，例如b＝0，可得ab＝0，即充分性不成立；当ab≠0时，a≠0且b≠0，即必要性成立；所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故B正确；对于C，由“2x＞2”可得“x＞1”，但是“x＞1”推不出“x＞2”，而“x＞2”能推出“x＞1”，故“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故C正确；对于D，命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2≤﹣1”，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．（多选）15．（2024春•建华区校级期末）已知函数f（x）＝cos2xcosφ﹣sin2xsinφ（0＜φ＜π2）的图象的一个对称中心为（A．直线x=512π是函数f（xB．函数f（x）在[0，π6]上单调递减C．函数f（x）的图象向右平移π6个单位可得到y＝cos2x的图象D．函数f（x）在[0，π2【考点】命题的真假判断与应用．【答案】ABD【分析】利用两角和的余弦化简，由题意求得φ，然后利用余弦函数的性质逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵f（x）＝cos2xcosφ﹣sin2xsinφ＝cos（2x+φ）的图象的一个对称中心为（π6∴cos（2×π6+φ）＝0，则π∴φ=π∵0＜φ＜π2，∴φ则f（x）＝cos（2x+π∵f（5π12）＝cos（2×5π12+π6）＝cosπ＝﹣1，∴直线x=512当x∈[0，π6]时，2x+π6∈[π6，π2]，∴函数f函数f（x）的图象向右平移π6个单位，得到y＝cos[2（x−π6）+π6]＝cos（2当x∈[0，π2]时，2x+π6∈[π6，5π6]，∴函数f（x故选：ABD．【点评】本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查了余弦型函数的图象和性质，是中档题．三．填空题（共5小题）16．（2024•建华区校级开学）①在△ABC中，若a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形的解的情况是两解．②数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an﹣1（n∈N+），则a11＝1023．③在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则OA→④已知a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）an＝2n+1（n∈N+），则an=2⑤已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列．以上命题正确的有①（只填序号）．【考点】命题的真假判断与应用；等比数列的性质；数列递推式；平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理与三角形解的存在性和个数．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；解三角形；平面向量及应用；数学运算．【答案】①．【分析】①利用正弦定理即可判断；②变形可得an+1﹣1＝2（an﹣1），再结合等比数列的概念与通项公式，求解即可；③结合向量的运算法则与基本不等式，求解即可；④利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），求解即可，注意检验n＝1的情形；⑤举反例，等比数列{an}：1，﹣1，1，﹣1，…，即可判断．【解答】解：①因为a＝80，b＝100，A＝45°，所以bsinA＝502＜a＜b所以此三角形的解的情况是两解，即①正确；②由an+1＝2an﹣1，得an+1﹣1＝2（an﹣1），因为a1＝2，所以a1﹣1＝1，所以数列{an﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an﹣1＝1•2n﹣1，即an＝2n﹣1+1，所以a11＝211﹣1+1＝1025≠1023，即②错误；③由题意知，M是BC的中点，所以OA→⋅(OB→+OC→)=OA→⋅2OM→所以OA→⋅(OB④因为a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）an＝2n+1（n∈N+），所以当n≥2时，有a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣3）an﹣1＝2n（n∈N+），两式相减得，（2n﹣1）an＝2n+1﹣2n＝2n，所以an=2n2n−1当n＝1时，a1＝22＝4，不满足上式，所以an=4，n=12⑤对于等比数列{an}：1，﹣1，1，﹣1，…，有S2＝0，S4﹣S2＝0，S6﹣S4＝0，不能构成等比数列，即⑤错误．故答案为：①．【点评】本题考查命题的真假判断，主要涉及正弦定理，数列通项公式的求法，利用基本不等式求最值等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17．（2024春•建平县月考）设p：∃n＞1，n2＞2n﹣1，则¬p是∀n＞1，n2≤2n﹣1．【考点】存在量词命题的否定．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】∀n＞1，n2≤2n﹣1．【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．【解答】解：命题p：∃n＞1，n2＞2n﹣1，则¬p是∀n＞1，n2≤2n﹣1．故答案为：∀n＞1，n2≤2n﹣1．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．18．（2023秋•沙依巴克区校级月考）已知函数f(x)=9x−4sinπ6⋅3x+24，g（x）＝2ax﹣1（a＞0）．若∀x1∈[0，log32]，∃x2∈[1，2]，f（x1）＝g（x【考点】全称量词和全称量词命题．【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；简易逻辑；数学运算．【答案】{a|38【分析】利用换元法，结合二次函数的性质先求出f（x）的值域，结合一次函数的单调性求出g（x）的值域，然后结合已知可转化为两函数值域的包含关系，从而可求．【解答】解：令t＝3x，因为x∈[0，log32]，则t∈[1，2]，函数y=f(x)=9x−4sinπ令h（t）=t2−2t+24，t∈[1，2]，则所以14故f（x）的值域为[14因为a＞0时，g（x）＝2ax﹣1在[1，2]上单调递增，所以2a﹣1≤g（x）≤4a﹣1，因为若∀x1∈[0，log32]，∃x2∈[1，2]，f（x1）＝g（x2），所以f（x）的值域是g（x）的值域的一个子集，故2a−1≤1解得38故a的取值范围为{a|38故答案为：{a|38【点评】本题主要考查了由含有量词的命题的成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．19．（2024春•沈阳期末）下列四个命题：①命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a＝0，则ab≠0”；②“若q≤1，则x2+2x+q＝0有实根”的逆否命题；③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1，则log其中正确命题的序号是②③．（把所有正确的命题序号都填上）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑．【答案】见试题解答内容【分析】利用命题的逆否关系判断①的正误；逆否关系判断②的正误；复合命题的真假判断③的正误；对数函数的性质判断④的正误；【解答】解：（1）命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，因此不正确；（2）若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，正确；（3）若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题p是假命题，q一定是真命题，正确；（4）∵0＜a＜1，则a+1＜1+1a．则“loga（a+1）＞loga（1其中真命题的有2个．故答案为：②③．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（2024•射洪市校级模拟）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．（3）如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有（2）（3）（4）．（填写所有正确命题的编号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；分析法；空间位置关系与距离．【答案】见试题解答内容【分析】由线面垂直和面面的位置关系，即可判断（1）；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断（2）；由面面平行的性质定理，即可判断（3）；运用面面平行和线面角的定义，即可判断（4）．【解答】解：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β或α、β相交，故（1）错；（2）如果m⊥α，n∥α，过n的平面与α的交线l平行于n，且m⊥l，那么m⊥n，故（2）正确；（3）如果α∥β，m⊂α，由面面平行的性质可得m∥β，故（3）正确；（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等，正确．故答案为：（2）（3）（4）．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系的判断，考查线面平行和垂直的判定定理和性质定理的运用，以及线面角的定义，考查推理能力，属于中档题．四．解答题（共5小题）21．（2024春•观山湖区校级月考）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式4x2﹣x﹣m＝0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【考点】必要条件的应用与性质定理；存在量词命题真假的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）M={m|−116≤m＜5}；（2）{a|a【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为m在f（x）值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为M⊆N，然后分a＞1，a＝1与a＜1讨论，即可求解．【解答】解：（1）由题意，方程m＝4x2﹣x在（﹣1，1）上有解，令f(x)=4x2−x=(2x−14)当x=18时，f(x)min=−116所以f（x）值域为[−1∴m的取值集合为M={m|−1（2）由题意，M⊆N，显然N不为空集．①当a＞2﹣a，即a＞1时，N＝（2﹣a，a），2−a＜−116a≥5②当a＝2﹣a，即a＝1时，N＝∅，不合题意舍去；③当a＜2﹣a，即a＜1时，N＝（a，2﹣a）．2−a≥5a＜−116综上可得a≥5或a≤﹣3．故实数a的取值范围为{a|a≥5或a≤﹣3}．【点评】本题考查的知识点：绝对值不等式的解法，分类讨论思想在做题中的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．22．（2023秋•双塔区校级期末）已知集合A={x|m−12＜x＜m+1}，B＝{x|2x2（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若集合A∩（∁RB）中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数m的取值范围．【考点】充分不必要条件的应用．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】（1）(−∞，−5（2）(0，1【分析】（1）根据充分不必要条件的定义得到A是B的真子集，然后列不等式求解即可；（2）根据集合∁RB得到整数元素为﹣1，0，1中的两个，然后根据集合A∩（∁RB）中只含有两个整数元素且这两个元素非负列不等式求解．【解答】解：（1）B={x|2x2+x−3＞0}={x|x＜−根据充分不必要条件的定义可知A是B的真子集，所以m+1≤−32或解得m≤−52或故实数m的取值范围为(−∞，−5（2）由（1）可知，∁RB={x|−32≤x≤1}由集合A∩（∁RB）中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知−1≤m−1解得0＜m＜1故实数m的取值范围为(0，1【点评】本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题．23．（2023秋•鄄城县校级月考）已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a+5}，B＝{x|x≤﹣2或x≥5}．（1）若a＝﹣2，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】充分不必要条件的应用；求集合的并集．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】（1）A∪B＝{x|x≤﹣1或x≥5}．（2）[−4，−7【分析】（1）把a＝﹣2代入集合A，计算A∪B即可；（2）结合集合之间的包含关系，即可求解．【解答】解：（1）若a＝﹣2，则集合A＝{x|﹣3≤x≤﹣1}，又B＝{x|x≤﹣2或x≥5}，所以A∪B＝{x|x≤﹣1或x≥5}．（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A≠∅时，由A⫋B，则2a+1≤3a+5≤﹣2或5≤2a+1≤3a+5，解得−4≤a≤−73或所以实数a的取值范围为[−4，−7【点评】本题主要考查充分不必要条件的应用，属于中档题．24．（2024春•新城区校级期末）已知集合A={x|22−x≥1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣（1）若m＝2，求（∁RA）∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】充分不必要条件的判断；交、并、补集的混合运算．【专题】整体思想；综合法；集合；简易逻辑；数学运算．【答案】（1）（﹣1，0）∪[2，3）；（2）（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【分析】（1）先求出集合A，再求出其补集，然后求出集合B，从而可求出（∁RA）∩B；（2）由题意得A⫋B，转化为x2﹣2x﹣m2+1＜0对任意的x∈[0，2）恒成立，根据二次函数的性质可求得结果．【解答】解：（1）由22−x≥1，得所以x(2−x)≥02−x≠0解得0≤x＜2，所以A＝[0，2）所以∁RA＝（﹣∞，0）∪[2，+∞），当m＝2时，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），所以（∁RA）∩B＝（﹣1，0）∪[2，3）；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，因为B＝{x|x2﹣2x﹣m2+1＜0}，则x2﹣2x﹣m2+1＜0对任意的x∈[0，2）恒成立，令f（x）＝x2﹣2x﹣m2+1，所以f(0)＜0f(2)≤0即−m2+1＜0−m所以m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查了集合的交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题．25．（2023秋•河南月考）已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜m+1}，命题“∃x∈R，ax2+ax+1＜0”为假命题．（1）求实数a的取值集合B；（2）在（1）的条件下，若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】充分不必要条件的应用．【专题】综合题；整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】（1）B＝[0，4]．（2）[1，3]．【分析】（1）根据特称命题的否定为真，根据分类讨论思想以及一元二次不等式恒成立，可得答案；（2）根据充分不必要条件的集合表示，建立不等式组，可得答案．【解答】解：（1）命题“∃x∈R，ax2+ax+1＜0”的否定为：“∀x∈R，ax2+ax+1≥0”，因为原命题为假命题，则其否定为真命题，当a＝0时，1≥0恒成立，满足题意；当a≠0时，只需a＞0Δ=a2所以实数a的取值集合为B＝[0，4]．（2）因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，所以A是B的真子集，而A不为空集，所以m−1≥0m+1≤4，1≤m因此m的取值范围为：[1，3]．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．

考点卡片1．求集合的并集【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．【解题方法点拨】定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命题方向】已知集合A={x∈N|−12≤x＜52}，B＝{x∈Z|x解：依题意，A={x∈N|−12≤x＜所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．2．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．3．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．4．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．5．充分不必要条件的判断【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件．【命题方向】充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等．已知命题p：x2﹣4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件．故选：BD．6．充要条件的判断【知识点的认识】充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性．【命题方向】充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等．例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩形的充要条件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故选：A．7．必要条件的应用与性质定理【知识点的认识】必要条件的应用在数学中也非常广泛．通过必要条件，可以确定某些结论的必然性．性质定理是基于必要条件的理论工具，用于判断某些条件是否必然满足．【解题方法点拨】应用必要条件时，可以先寻找问题中的必要条件，然后利用这些条件判断问题的必然性．性质定理可以直接套用，简化解题过程．【命题方向】必要条件的应用与性质定理的命题方向包括几何证明题、代数证明题等．例如，四边形性质判定、平行四边形判定等几何题中常见．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，6]B．（﹣∞，﹣1]C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞）解：由﹣4＜x﹣a＜4，得﹣4+a＜x＜4+a，即p：﹣4+a＜x＜4+a，对应的集合A＝（﹣4+a，4+a），结合q：2＜x＜3，得q对应的集合B＝（2，3），若p是q的必要条件，可知（2，3）⊆（﹣4+a，4+a），∴2≥−4+a3≤4+a，解得﹣1≤a故选：A．8．充分不必要条件的应用【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．集合A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤3}B．{a|﹣1≤a＜2或2＜a≤3}C．{a|2＜a≤3}D．{a|a≥2}解：因为A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}＝{x|（x+2）（x+a）＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B且A≠∅，当﹣a＜﹣2时，A＝{x|﹣a＜x＜﹣2}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≥﹣3，解得2＜a≤3，当﹣a＞﹣2时，A＝{x|﹣2＜x＜﹣a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≤1，解得﹣1≤a＜2，所以﹣1≤a＜2或2＜a≤3．故选：B．9．全称量词和全称量词命题【知识点的认识】全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．全称命题含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立【解题方法点拨】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．10．全称量词命题的真假判断【知识点的认识】全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题的判定方法全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．命题全称命题∀x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②对一切x∈M，使p（x）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，则p（x）成立﹣【解题方法点拨】判断全称量词命题的真假时，可以从反例入手，寻找一个使得命题不成立的例子．例如，要判断“所有奇数都是质数”是否为真，只需找到一个奇数不是质数（如9）即可证明该命题为假．【命题方向】全称量词命题的真假判断常见于代数和几何性质的判定．例如，判断一个数列的全称性质是否成立，或判断几何图形的某个性质是否对所有相关对象成立．这类题型要求学生能够灵活应用定义和性质进行验证．判断下列全称量词命题的真假：（1）所有素数都是奇数；（2）∀x∈R，|x|+1≥1；（3）对任意一个无理数x，x2也是无理数．解：（1）2是素数，但2不是奇数，∴所有素数都是奇数是假命题；（2）∀x∈R，总有|x|≥0，∴|x|+1≥1，∴∀x∈R，|x|+1≥1是真命题；（3）2是无理数，但（2）2＝2是有理数，∴全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．11．存在量词命题的真假判断【知识点的认识】存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立﹣【解题方法点拨】判断存在量词命题的真假时，可以通过具体实例来验证．例如，要判断“存在一个数是3的倍数”是否为真，只需找到一个3的倍数（如6）即可证明该命题为真．如果无法找到任何一个符合条件的对象，则命题为假．【命题方向】存在量词命题的真假判断常见于代数和几何性质的判定．例如，判断一个方程是否有解，或判断几何图形的某个性质是否对某些对象成立．这类题型要求学生能够灵活应用定义和性质进行验证．下列存在量词命题中，为真命题的是（）A．∃x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|＜0D．有些自然数是偶数解：选项A：因为方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为3和﹣1，所以x∈Z，故A正确；选项B：因为6能同时被2和3整除，且6∈Z，故B正确；选项C：根据绝对值的意义可得|x|≥0恒成立，不存在x满足|x|＜0，故C错误；选项D：2，4等既是自然数又是偶数，故D正确；故选：ABD．12．存在量词命题真假的应用【知识点的认识】存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立﹣【解题方法点拨】在应用存在量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．例如，在解决代数问题时，可以先验证存在量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的计算和推导．【命题方向】存在量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在．例如，利用存在量词命题的真假来推导方程的解的存在性、几何图形的某些特性．这类题型要求学生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力．若命题“∃x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”为假命题，则实数a的取值范围是_____．解：“∃x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”是假命题，则它的否定命题：“∀x∈[﹣1，2]，x﹣a≤0”是真命题；所以x∈[﹣1，2]，a≥x恒成立，所以a≥2，即实数a的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．13．全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．【命题方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．14．存在量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．【解题方法点拨】写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．【命题方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．15．复合命题及其真假【知识点的认识】含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：关键词等于（＝）大于（＞）小于（＜）是能都是没有至多有一个至少有一个至少有n个至多有n个任意的任两个P且QP或Q否定词不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不能不都是至少有一个至少有两个一个都没有至多有n﹣1个至少有n+1个某个某两个¬P或¬Q¬P且¬Q若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．16．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．17．二次函数的性质与图象【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=−b2a；最值为：f（−b2a）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=−ba，x1•x2③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，p2），准线方程为y=−④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，