贵州省黔南布依族苗族自治州2025届高三年级第三次模拟考试数学试卷及答案

黔南州2025届高三年级第三次模拟考试注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上.3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z满足：z(1+i)=2i,则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.平面向量a=(1,2),b=(x,1),若a⊥(2a-b),则x=()AB.2心心A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.数列{ca}满足(nEN'),若数列{ca}单调递增，则实数a的取值范围为A.(2,3)B.(1,3)C.(1,2)D.(2,3)6.在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=AA₁=2,AB=4,则该正四棱台的外接球的表面积为心心面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若SO=√30B,则该双曲线的离心率为()口高三·数学第1页(共4页)A.[-4,2]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[-2,4]ξ123PabAAC.y=f(x)上单调递增D.关于x的方程f(x)=sinx在[0,2π]上有4个根A.a=b=1B.曲线C经过的整数点个数为4个13.设抛物线C:y²=4x上一点P到直线l₁:x=-1的距离为d₁,到直线l₂:3x+4y+7=0的距离为高三·数学第2页(共4页)15.(本题满分13分)(1)讨论f(x)的单调性；16.(本题满分15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b(tanA+tanB)=2ctanB,BC边上的中线长为2.(1)求A;(2)求a的最小值.17.(本题满分15分)在平面四边形ABCD中，AD⊥AC,AC⊥BC,如图1所示.现将图1中的△ABC沿AC折起，使点B到达点P的位置，且平面PAC(2)若PC=AC,二面角A-PD-C的大小为60°,的值.高三·数学第3页(共4页)18.(本题满分17分)(1)当四边形ABCD为平行四边形时，请写出点A,C的位置关系(说明理由即可，不需证明).(i)求椭圆Ω的方程；(ii)若点E在直线x=4上，且AD=2DE,AD⊥DE,求△ABE的面积.19.(本题满分17分)在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为p(0<p<1),上两步台阶的概率为1-p;且每次上一步台阶用时0.2s,上两步台阶用时0.3s.(1)假设n=4,“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒?(2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为f(p),当f(p)取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率.高三·数学第4页(共4页)黔南州2025届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准题号147答案ABC题号8答案D一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.A【解析】由,则复数z在复平面内对在第一象限.故选A.2.C【解析】由a⊥(2a-b),则a·(2a-b)=2a²-a·b=0,解得x=8.故选C.即2×(1+2²)-(x+2)=0,tanα=1-√3.故选B.4.B【解析】因为“关于x,y的方程：x²+y²+ax+2y+2=0表示圆”,所以a²+2²-4×2>0,解得a<-2或a>2,所以“关于x,y的方程：x²+y²+ax+2y+2=0表示圆”是“a>2”的必要不充分条件.故选B.故选D.6.A【解析】如图，在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，取AC,A₁C的中点分别为F,M,连接MF.由AB=4,A₁B₁=2,则AF=2√2,A₁M=√2.过点A₁作平面ABCD的垂线，垂足为E,则点E在AC上，且AE=√2,A₁E=√2.设正四棱台ABCD-A₁B₁CD₁的外接球的球心为点O、半径为R,则点O在直线MF上.因为OA=0A,所以R²=OF²+AF²=(OF+SO=√3OB=2√3m,所以SB=SA=AB=4m,则△SAB为正三角形.又因为M为SB的中点，取OB的中点为Q,过点S作SN//AB,交直线QM于点N,过点N作y轴//HP,以直线QN为x轴，N为坐标所以,解得b=m,所以该双曲线的离心率8.D【解析】①当a≥0时，函数f(x)的大致图象如图1所示.因为当x>4时，f(x)<0,所以a≤4满足f(4)≤0,所以0≤a≤4.②当a<0时，函数f(x)的大致图象如图2所示.因为当x>4时，f(x)<0,所以-2a≤4,满足f(4)≤0,所以-2≤a<0.综上，a的取值范围为[-2,4].故选D.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选或不选的得0分)9.BCD【解析】由,故A错误，B正确.由E(n)=E(3ξ+1)=3E(ξ)+,故D正确.故选BCD.【象可由y=2cos2x的图象向左平移个单位长度得到，故A错误.此时为f(x)的极值点，故B正确.此时,所以y=f(x)在上单调递减，故C错误.如图，在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)与y=sinx在[0,2π]上的图象，由图象可知，y=f(x)与y=sinx的图象在[0,2π]上有4个交点，所以关于x的方程f(x)=sinx在[0,2π]上有4个根，故D正确.故选BD.11.ACD【解析】对于A:将(1,0),(0,1)代入曲线C的方程，得a=b=1,故A正确.对于B:将(L)代入，满足曲线C的方程，由图象及对称性可知，曲线C经过(1,0),(1,1),(0,1),(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,-1),(1,-1),共8个整数点，故B错误.对于C:x²+y²-|xy|=1,由对称性，不妨设x>0,y>0,则由x²+y²-|xy|=1,可得y²-xy+x²-1=0.因为y²-xy+x²-1=0是关于y的一元二次方程，且方程有解，所以对于C另解：不妨设x≥0,y≥0,则有x²+y²-xy=1,整,,第3页共11页因为,由对称性，得,故C正确.当且仅当“x=y=1”时，取“=”,所以,即x²+y²≤2,所以|OPl²=x²+y²≤2,所以以OP为半径的圆的面积的最大值为Smx=πx|OPlmax=2π,故D正确.故选ACD.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.45【解析】由{a,}为等差数列，且a₃+a,的最小值.由点到直线的距离公式，得所以d₁+d₂的最小值为2.14.10【解析】假设3辆车自带了车位，余下还有n-3个车3辆车进行插空，有种停放方法，使得3辆车互不相邻；又因为3辆车中恰有2辆车相邻，根据捆绑法，有C²×A2种方法，再插到n-2个空位中，有A²-2种停放方法，A³-2=CA2A²-2→n=10.四、解答题(本大题共5小题，共77分)15.解：(1)f(x)的定义域为(0,+0).…①当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在(0,+)上单调递增；②当a>0时，令f'(x)=0→x=a.当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：xa一0十单调递减极小值单调递增②当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+0)上单调递增.……6分(2)由(1)可知当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(a)=a(1-a-Ina).所以只需f(x)的最小值f(a)<0,即a(1-a-Ina)<0.…………10分设h(x)=1-x-Inx,所以h(x)=1-x-Inx在(0,+)上单调递减，且h(1)=0.所以实数a的取值范围为(1,+0).………13分16.解：(1)由正弦定理所以sin(A+B)=2sinCcosA.所以sinC=2sinCcosA.所以所由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc.,当且仅当“b=c”时，取“=”,所以3a²≥16,解得第5页共11页17.(1)证明：如图1,过点C作CN⊥AP于点N.……因为平面PAC⊥平面PAD,平面PAC∩平面PAD=AP,由题可知AD⊥AC.(2)解法一：等体积法解：设PC=AC=a,,所以AD=λa.所以AF⊥平面PCD,所以AF⊥PD.因为AFNAE=A,AFc平面AEF,AEc平面AEF,又△PAD,△PAC,△PCD,△ACD均为直角三角形，…11分在Rt△APD中，由等面积法，得PA·AD=PD·AE,又因为二面角A-PD-C的大小为60°,所以∠AEF=60°.第6页共11页…13分…15分解法二：解：由(1)知PC⊥AD.因为AD⊥AC,过点C作AD的平行线，建立如图3所示的空间直角坐标系C-xyz. 设平面PCD、平面PAD的一个法向量分别为m=(x,y,z),又二面角A-PD-C的大小为60°,18.解：(1)四边形ABCD为平行四边形，BD的中点为0,点A,C在椭圆2上.又因为椭圆2是中心对称图形，故点A,C关于原点对称.……由椭圆的定义，得2a=6,即a=3,………………分所以点D的坐标为(3,0).因为点A在椭圆2上，所I第7页共11页…所以所以椭圆2的方程为.……………8分(ii)解法一：如图3,过点A作AH⊥BD,垂足为H,直线x=4与x轴交于点M.因为AD⊥DE,所以Rt△AHDのRt△设A(x,2),因为点A在椭圆2上，不妨设A(1,2),B(-3,0).由对称性，可得A(1,-2),E(4,-1),B(-3,0)或A(-1,-2),E(4,-2),B(-3,0)或A(-1,2),E(4,2),B(同理计算，可得S△ABE=5.解法二：依题意，设直线AD:y=k(x-3),……9分则直线DE:第8页共11页得(1+2k²)x²-12k²x+9(2k²-1)=0,①所以△=(-12k²)²-4×9(1+2k²)(2k²-1)=36>0. 解法三：设A(x₁,y₁),E(4,t).…因为D(3,0),B(-3,0),因为点A(x₁,y₁)在椭圆2:当y₁=2时，代入③,解得x₁=±1;当y=-2时