大学数学三1试题及答案

大学数学三1试题及答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列函数中，在区间（-∞，+∞）上连续的是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2-4x+4

C.f(x)=x/(x-1)

D.f(x)=1/x

2.设函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1，则f(x)的极值点有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.已知函数f(x)=x^2+ax+b，若f(1)=0，f(-2)=0，则f(3)的值为（）

A.0

B.3

C.6

D.9

4.设函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=（）

A.3x^2-3

B.3x^2-6x+9

C.3x^2-6x

D.3x^2-3x

5.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，则f(x)的极值点为（）

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.x=4

6.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，则f(x)的拐点为（）

A.(1,1)

B.(2,3)

C.(3,4)

D.(4,5)

7.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，则f(x)的极值点为（）

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.x=4

8.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，则f(x)的拐点为（）

A.(1,1)

B.(2,3)

C.(3,4)

D.(4,5)

9.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，则f(x)的极值点为（）

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.x=4

10.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，则f(x)的拐点为（）

A.(1,1)

B.(2,3)

C.(3,4)

D.(4,5)

二、判断题（每题2分，共10题）

1.函数y=e^x在定义域内是单调递增的。（）

2.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上一定可导。（）

3.函数y=sin(x)的周期为2π。（）

4.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处连续。（）

5.函数y=x^2在x=0处不可导。（）

6.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)>0。（）

7.函数y=ln(x)在x=1处取得极小值。（）

8.函数y=e^x的导数仍然是e^x。（）

9.若函数f(x)在x=a处取得极大值，则f'(a)=0。（）

10.函数y=x^3在定义域内是奇函数。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述导数的几何意义。

2.如何求函数的极值点？

3.举例说明如何求函数的一阶导数和二阶导数。

4.简述拉格朗日中值定理的适用条件和结论。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述函数的可导性与连续性的关系，并举例说明。

2.论述如何利用导数研究函数的单调性和极值。

五、单项选择题（每题2分，共10题）

1.若函数f(x)=2x+3，则f'(x)等于（）

A.2

B.3

C.2x

D.2x+3

2.下列函数中，在x=0处不可导的是（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x

C.f(x)=|x|

D.f(x)=e^x

3.函数f(x)=x^3在x=0处的导数为（）

A.0

B.1

C.3

D.-3

4.若函数f(x)在区间(a,b)上可导，且f'(x)>0，则函数在区间(a,b)上（）

A.单调递增

B.单调递减

C.有极大值

D.有极小值

5.设函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)在x=1处的值是（）

A.0

B.3

C.-3

D.6

6.若函数f(x)=e^x的导数是f'(x)，则f''(x)等于（）

A.e^x

B.e^x+x

C.e^x-x

D.e^x*x

7.下列函数中，在x=0处取得极大值的是（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x

C.f(x)=-x^2

D.f(x)=|x|

8.若函数f(x)在x=a处可导，则f'(a)等于（）

A.f(a)

B.0

C.无定义

D.f(a+Δx)-f(a)

9.设函数f(x)=x^2-2x+1，则f'(x)在x=1处的值是（）

A.0

B.2

C.-2

D.1

10.下列函数中，在x=0处取得极小值的是（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x

C.f(x)=-x^2

D.f(x)=|x|

试卷答案如下：

一、多项选择题（每题2分，共10题）

1.ABC

解析思路：A项是绝对值函数，在其定义域内连续；B项是多项式函数，在其定义域内连续；C项在x=1处有间断点，不连续；D项在x=0处有间断点，不连续。

2.B

解析思路：函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1的一阶导数为f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。由于f''(x)=6x-12，f''(1)=-6<0，f''(3)=6>0，故x=1为极大值点，x=3为极小值点。

3.A

解析思路：根据韦达定理，函数f(x)=x^2+ax+b的两个根之和为-(-a)，两个根之积为b。由f(1)=0，f(-2)=0可得1+(-2)=-a，1*(-2)=b，解得a=-1，b=-2。因此，f(3)=3^2-3+(-2)=0。

4.A

解析思路：对函数f(x)=x^3-3x^2+9x-9求导，得f'(x)=3x^2-6x+9。

5.A

解析思路：函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1的一阶导数为f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1。由于f''(x)=6x-6，f''(1)=0，故x=1为极值点。

二、判断题（每题2分，共10题）

1.对

2.错

3.对

4.对

5.错

6.错

7.错

8.对

9.错

10.对

三、简答题（每题5分，共4题）

1.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率。

2.求函数的极值点，首先求函数的一阶导数，令导数等于0，求出驻点；然后求二阶导数，判断驻点两侧的二阶导数符号，若符号不变，则驻点为极值点。

3.一阶导数的求法：对于幂函数y=x^n，导数y'=nx^(n-1)；对于指数函数y=a^x，导数y'=a^x*ln(a)；对于对数函数y=log_a(x)，导数y'=1/(x*ln(a))。二阶导数的求法：对一阶导数再次求导。

4.拉格朗日中值定理的适用条件是函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。结论是存在至少一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.函数的可导性与连续性关系：如果函数在某点可导，则