矩阵初等变换的一些性质及应用

矩阵初等变换的一些性质及应用摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证明了矩阵初等变换的两个性质,以此为基础,归纳说明了矩阵的初等变换在线性代数课程中的应用,并给出了一些实例。关键词：矩阵初等变换性质应用Abstract:Theelementaryalternateofmatrixisanimportanttoolbroadlyusedinlinearalgebra.Thepaperdiscussesitspropertiesandapplication.Keyword:matrix,elementaryalternate,properties,application0引言矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换:交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）；以非零数k乘矩阵某一行(列)的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)；把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j行（列）的k倍加到第i行（列）上,记作+（记作+）。矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用,也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用,只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。初等变换的性质证明定理1第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。证明:设是为数域P上的m×n矩阵(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)对矩阵A施行第二、三种初等行变换:QUOTEQUOTE上述矩阵B与矩阵A交换i、j两行后得到的矩阵是相同的。定理证毕。定理2设是数域P上一个m×n矩阵,其中且若A经过初等行变换为矩阵,其中则有证明:由初等行变换的定义知道方程组与方程组同解，因此，若，则有证毕。上述定理1说明只进行两种初等行变换就可以起到三种初等行变换的作用。定理2说明求一个矩阵中列向量组的线性关系表达式可以通过初等行变换而得到。对于列变换的情形有类似结论。二、初等变换的应用1.用初等变换求矩阵和向量组的秩由于初等变换不改变矩阵的秩,且任意一个矩阵均可以经过一系列行初等变换化为梯形矩阵;因此,我们要确定一个矩阵的秩,首先要用行初等变换将其化为梯形矩阵,然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩.例1设,求矩阵的秩.解因此矩阵的秩为3.如果我们要求向量组的秩,可以把每一向量作为矩阵的一行,从而向量组就转化为了一个矩阵,使求向量组的秩转化成求矩阵的秩,自然使问题简单化了。例2求向量组,,,的秩.=从而非退化线性替换为,原二次型化为。在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键:对矩阵进行的行初等变换和列初等变换必须是一致的。参考文献[1]王晓为．矩阵初等变换的独立性[J]．数学通报,1991,(10)[2]章秋明．关于初等变换的定理及其应用[J]．数学通报,1987,(10)[3]同济大学数学系编.工程数学线性代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007.59[4]