2025版高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时角度问题及其他学案含解析新人教B版必修5

PAGEPAGE15第2课时角度问题及其他学习目标1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.了解解三角形在物理中的应用．学问点一实际应用问题中的有关术语1．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．2．方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角．3．坡角坡面与水平面的夹角．4．坡比坡面的垂直高度与水平距离之比．学问点二解三角形在物理中的应用数学在物理学中的应用特别广泛，某种角度上说，物理题事实上是数学应用题，解物理题就是先把实际问题抽象成数学问题，解决后再还原成实际问题的答案．1．方位角和方向角是一样的．(×)2．南偏东30°指正南为始边，在水平面内向东旋转30°.(√)3．方位角可以是270°.(√)题型一角度的测量问题例1如图，一艘海轮从A动身，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B动身，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.假如下次航行干脆从A动身到达解在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，依据余弦定理，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC)＝eq\r(67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137°)≈113.15.依据正弦定理，eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ABC,AC)≈eq\f(54.0×sin137°,113.15)≈0.3255，所以∠CAB≈19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.所以此船应当沿北偏东56.0°的方向航行，须要航行113.15nmile.反思感悟解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后依据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练1甲船在A点发觉乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq\r(3)a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝eq\r(3)at(海里)，B＝90°＋30°＝120°，由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(at×sin120°,\r(3)at)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2)，∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．题型二解三角形在物理中的应用例2如图所示，对某物体施加一个大小为10N的力F，这个力被分解到OA，OB两个方向上，已知∠AOB＝120°，力F与OA的夹角为45°，求分力的大小．解如图，作eq\o(OF,\s\up6(→))＝F，eq\o(OG,\s\up6(→))＝F1，eq\o(OC,\s\up6(→))＝F2，作▱OGFC，由题设知|eq\o(OF,\s\up6(→))|＝10，∠FOG＝45°，∠AOB＝120°，则∠FOC＝∠AOB－∠FOG＝120°－45°＝75°，由▱OGFC知，∠GFO＝∠FOC＝75°，在△FOG中，∠FGO＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得eq\f(OG,sin∠GFO)＝eq\f(OF,sin∠FGO)，即eq\f(OG,sin75°)＝eq\f(10,sin60°)，解得OG＝5eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))，由正弦定理得eq\f(OF,sin∠OGF)＝eq\f(FG,sin∠FOG)，即eq\f(10,sin60°)＝eq\f(FG,sin45°)，解得FG＝eq\f(10\r(6),3).所以OA方向的力的大小为5eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))N，OB方向的力的大小为eq\f(10\r(6),3)N.反思感悟解决物理等实际问题的步骤(1)把实际问题受力平衡用图示表示．(2)转化为数学问题，通过正、余弦定理解三角形．(3)把数学问题的解转化为实际问题的解．跟踪训练2有一两岸平行的河流，水速为1m/s，小船的速度为eq\r(2)m/s，为使所走路程最短，小船行驶的方向应为()A．与水速成45° B．与水速成135°C．垂直于对岸 D．不能确定答案B解析如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))为水速，eq\o(AD,\s\up6(→))为船在静水中的速度，eq\o(AC,\s\up6(→))为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).依题意，当eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))时，所走路程最短，现需求∠BAD，只要求∠CAD即可，在Rt△CAD中，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴sin∠CAD＝eq\f(|\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(2),2)，且∠CAD为锐角．∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝45°＋90°＝135°.即小船应朝与水速成135°的方向行驶．1．已知两座灯塔A，B与海洋视察站C的距离相等，灯塔A在视察站C的北偏东40°，灯塔B在视察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°答案B解析如图，因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝eq\f(1,2)×(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.A．2eq\r(3)kmB．2kmC.eq\r(3)kmD．1km答案D解析依题意知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即3＝22＋AC2－2×2·AC·cos60°，AC2－2AC＋1＝0.解得AC＝1km.3．甲骑电动车以24km/h的速度沿着正北方向的马路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．6kmB．3eq\r(3)kmC．3eq\r(2)kmD．3km答案C解析由题意知，AB＝24×eq\f(1,4)＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS＝eq\f(ABsin∠BAS,sin∠ASB)＝eq\f(6sin30°,sin45°)＝3eq\r(2)(km)．4．一艘海轮从A处动身，以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处视察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处视察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)nmile B．10eq\r(3)nmileC．20eq\r(2)nmile D．20eq\r(3)nmile答案A解析如图所示，由已知条件可得∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，AB＝40×eq\f(1,2)＝20(nmile)．∴∠BCA＝45°，∴由正弦定理可得eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°).∴BC＝eq\f(20×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)(nmile)．5．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知|F1|＝30N，|F2|＝50N，F1和F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向．(精确到0.1°)解F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同始终线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得|F|＝eq\r(302＋502－2×30×50cos120°)＝70(N)，再由正弦定理，得sin∠F1OF＝eq\f(50sin120°,70)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°.所以F3为70N，F3和F1间的夹角为141.8°.1．在求解三角形中，我们可以依据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必需检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时须要选择条件足够的三角形优先探讨，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.一、选择题1．某船起先望见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，望见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A．15eq\r(3)kmB．15kmC．20kmD．20eq\r(3)km答案A解析设灯塔位置为A，船的初始位置为O，船的终止位置为B，由题意知∠AOB＝30°，∠OAB＝120°，则∠OBA＝30°，所以由正弦定理，得AB＝15eq\r(3)，即此时船与灯塔的距离是15eq\r(3)km.2．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过eq\r(3)h，该船实际航程为()A．2eq\r(15)km B．6kmC．2eq\r(21)km D．8km答案B解析如图在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))为河水流速，eq\o(AD,\s\up6(→))为船在静水中的速度，eq\o(AC,\s\up6(→))为船在河水中的实际航速．由题意得AB＝2，AD＝4，∠BAD＝120°，∴eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝4＋16＋2×2×4×cos120°＝12，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，即船实际航速为2eq\r(3)km/h.∴船实际航程为2eq\r(3)×eq\r(3)＝6(km)．3．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危急区，城市B在A的正东40km处，则B城市处于危急区内的时间为()A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h答案B解析设A地东北方向上点P到B的距离为30km时，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－40eq\r(2)x＋700＝0.设该方程的两根为x1，x2，则P点的位置有两处，即P1，P2.则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即P1P2＝20(km)，故t＝eq\f(P1P2,v)＝eq\f(20,20)＝1(h)．故选B.4.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是()A．150° B．30°C．45° D．60°答案B解析设竹竿与地面所成的角为α，影子长为xm.由正弦定理，得eq\f(2,sin60°)＝eq\f(x,sin120°－α)，∴x＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－α)．∵30°＜120°－α＜120°，∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值．即竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长．5．一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为()A．30kmB．30eq\r(2)kmC．30eq\r(3)kmD．20km答案B解析如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，则∠ABC＝45°，AC＝60km，依据正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(60sin30°,sin45°)＝30eq\r(2)(km)．6．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为()A．10eq\r(3)m B．10(eq\r(3)－1)mC.eq\f(103－\r(3),3)m D．20eq\r(3)m答案C解析如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°前进40m到达C处，即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.在△ABC中，eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，即eq\f(AC,sin30°)＝eq\f(40,sin135°)，∴AC＝20eq\r(2).过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大，在△ABC中，由面积公式知eq\f(1,2)×BC×AG＝eq\f(1,2)×BC×AC×sin∠ACB.∴AG＝eq\f(AC×CB×sin∠ACB,BC)＝AC×sin∠ACB＝20eq\r(2)sin15°，∴AG＝20eq\r(2)sin(45°－30°)＝20eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)－\f(\r(2),2)×\f(1,2)))＝10(eq\r(3)－1)．在Rt△AEG中，∵AE＝AGtan∠AGE，∴AE＝10(eq\r(3)－1)×eq\f(\r(3),3)＝10－eq\f(10\r(3),3)，∴塔高为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(10\r(3),3)))m.二、填空题7．一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕获到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕获到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的动身点，则x＝________cm.答案eq\f(10\r(6),3)解析如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，则在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，由正弦定理知x＝eq\f(AB·sin∠ABO,sin∠AOB)＝eq\f(10×sin45°,sin60°)＝eq\f(10\r(6),3)(cm)．8.如图，小明以每分钟20eq\r(6)米的速度向东行走，他在A处看到一电视塔B在北偏东30°，行答案3600解析由题意得∠BAC＝60°，∠ACB＝75°，所以∠B＝45°，AC＝20eq\r(6)×60＝1200eq\r(6)(米)，eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(1200\r(6),sin45°)，所以BC＝3600(米)．9.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的货物与岸的距离AD为________m.答案eq\f(15\r(3),2)解析在△ABC中，AC＝15m，AB＝5eq\r(19)m，BC＝10m，由余弦定理得，cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2×AC×BC)＝eq\f(152＋102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\r(19)))2,2×15×10)＝－eq\f(1,2)，∴sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2)，又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),2).10．海上一观测站A测得南偏西60°的方向上有一艘停止待修理的商船D，在商船D的正东方有一艘海盗船B正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B距观测站10eq\r(7)海里，20分钟后测得海盗船B位于距观测站20海里的C处，再经________分钟海盗船B到达商船D处．答案eq\f(40,3)解析如图，过A作AE⊥BD于点E，由已知可知AB＝10eq\r(7)海里，BC＝30海里，AC＝20海里，∴cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC×BC)＝eq\f(202＋302－10\r(7)2,2×20×30)＝eq\f(1,2)，∵0°<∠ACB<180°，∴∠ACB＝60°，∴AE＝10eq\r(3)海里．∵∠DAE＝60°，∴DE＝10eq\r(3)×eq\r(3)＝30海里．∵∠CAE＝30°，∴CE＝10海里，∴DC＝20海里，∴t＝eq\f(20,90)×60＝eq\f(40,3)(分钟)．三、解答题11.如图所示，货轮在海上以40km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140°.A处有一灯塔，其方位角是110°，在C处视察灯塔A的方位角是35°，由B到C需航行半个小时，求C到灯塔A的距离．解在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋35°＝75°，∴∠BAC＝75°.由正弦定理，得eq\f(AC,sin30°)＝eq\f(BC,sin75°)，∴AC＝eq\f(BCsin30°,sin75°)＝eq\f(10,sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝eq\f(40,\r(6)＋\r(2))＝10(eq\r(6)－eq\r(2))(km)．答C到灯塔A的距离为10(eq\r(6)－eq\r(2))km.12．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，马上测出该渔船在方位角为45°距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇马上以10eq\r(3)海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝10eq\r(3)t，BC＝10t，∠ACB＝120°.在△ABC中，依据余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t×cos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10eq\r(3)，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ACB,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2)，又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.13.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发觉其北偏东45°，与观测站A