选修一《空间向量的应用》同步练习及答案

《1.3空间向量的应用》同步练习

一、单选题

一I

1.已知两个异面直线的方向向量分别为B，且==a^b=--,则两直

线的夹角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.若平面4夕的法向量分别为之=(：,—1,3)石=(-1,2,—6),则()

A.allpB.。与夕相交但不垂直

C.aLpD.4或。与夕重合

3.已知直线/的方向向量为蔡，平面。的法向量为7,则“正.；；=()”是“/〃。”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.在平面力打/中，A(0,1,1),8(1,2,1),C(—1,0,—1),若a=(—l,y,z),且£为平面4仇》

的法向量，则V等于()

A.2B.0C.1D.无意义

5.(2019•四川省双流中学高三月考)已知点?是正方体—的棱C。的中

点，给出以下结论：

①4尸"必②州工BD；③A/_L8G；④AP，平面BRO

其中正确命题的序号是()

A.①B.②C.③D.④

6.如图，在正方体ABCD-44CA中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B81的中点,

F为AR的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()

A.(1,-2,4)B.(—4,1,-2)C.(2,-2,1)D.(1,2,-2)

7.在棱长为2的正方体43CD—AgGR中，E，F分别为棱AA、84的中点，M为

棱A4上的一点，且AM=〃0<4<2),设点N为ME的中点，则点N到平面。志厂的

A.&B.叵C.包2D.好

235

8.已知直三棱柱A8C-4与0中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线A4与6cl所

成的角的余弦值为()

1113

A.-B.-C.-D.一

2844

9.过正方形A5CD的顶点A，作R4_L平面A5CZ),若24=84，则平面和平面

CDP所成的锐二面角的大小是

P

4D

BC

A.30°B.45°C.60°1）.90°

10.在正方形AO8—A4GR中，校A6，AR的中点分别为E，F，则直线所与平

面例。。所成角的余弦值为（）

A.近26「娓rV30

-----U•।L1•

5

二、多选题

11.已知V为直线1的方向向量，々,以分别为平面尸的法向量（Q,B不重合），

那么下列选项中，正确的是（）

A.6B.九1_L〃2=a，夕

C.v//«1<=>///aD.v±«）<=>Z//a

12.正方体ABC。—的棱长为1,以EG分别为8C,CG，叫的中点.则（）

A.直线。。与直线A尸垂直B.直线AG与平面AM平行

9

C.平面AM截正方体所得的截面面积为£D.点C和点G到平面AEF的距离相等

8

13.正方体ABC。-AB]GA中，E、F、G、〃分别为CG、必CD、BB、3片的中点，则

下列结论正确的是（）

B

A.Bfi±BCB.平面AMD平面=AR

C.A〃〃面力牙'D.二面角七一AF-C的大小为四

4

三、填空题

14.若平面a的一个法向量为3=（一百,1,1）,直线/的一个方向向量为2=（百,1,1）,则

/与。所成角的正弦值为_______.

15.如图，在正三棱柱45。一4与£中，AB=AC=AA,=2,E,F分别是BA,AG的

中点.设。是线段&G上的（包括两个端点）动点，当直线与E5所成角的余弦值为

叵,则线段的长为一

4

16.正方体A8CO-4gGR中，E,F分别是4A，A8的中点，则所与直线AG所成角

的大小为______;族与对角面8。。自所成角的正弦值是.

17.已知正方体A8CO—4⑸G。的棱长为a,点反F,G分别为棱18,AA,,储。的中

点，下列结论中，正确结论的序号是.

①过eF,G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形;

②用。//平面周&；

③町，平面A*；

④异面直线用与BD.所成角的正切值为也；

2

⑤四面体4。4A的体积等于Jd.

四、解答题

18.已知三棱柱ABC—A8cl的侧棱垂直于底面，NB4C=90。，AB=AA]=2tAC=\,

M，N分别是AM，8C的中点.

(1)求证：A8_LAC；

(2)求证：MV//平面ACGA.

19.如图，在棱长为2的正方体A8CO—A耳GQ中£,"分别为力8,AC的中点.

(1)求怛耳；

(2)求证：所//平面

20.如图，在直三棱柱ABC-44G中，AC=3,BC=4,48=5,M=4,点。是

AB的中点.

(1)求异面直线AC与8G所成的角:

(2)求证：AC】〃平面。。片.

21.如图，在直三棱柱—中，AB±AC,AB=AC=2>A4=2近,D为

棱的中点.

(1)求宜线。片与平面AAG。所成角的正弦值；

(2)求平面AAGC与平面AQ片所成二面角的余弦值.

22.直四棱柱A8CO—中，AB=BC=2,/ABC=90。，反尸分别为棱/氏B.C.

上的点，AE=2EB,。尸=2尸耳.求证:

(1)£F〃平面4ACC；

（2）线段力。上是否存在一点G,使面EFG_L面A4CC.若存在，求出力G的长；若不存

在，请说明理由.

23.如图，在底面是正方形的四棱锥中，B4_L平面ABC。，AP=AB=2,

E,£G是BC,PC,8的中点.

（1）求证：6Gl•平面Q4E；

（2）在线段8G上是否存在点”，使得FH//平面FAE?若存在，求出f的值；若不

存在，说明理由.

答案解析

一、单选题

1.已知两个异面直线的方向向量分别为2,B，且141=161=1，2・万=一（，则两直

线的夹角为（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

【答案】B

【解析】

11

设两直线的夹角为0,则由题意可得IXlXcosVM,b>=一一,：.cos<a,b>=一一，

22

故选：B.

2.若平面a,/的法向量分别为G=(g,-l,3)B=(-l,2,—6),则()

A.a!IpB.。与夕相交但不垂直

C.aLpD.a〃6或a与夕重合

【答案】1)

【解析】

因为M=所以平面。，力的法向量共线，故a〃6或a与夕重合.

故选：D.

3.已知直线/的方向向量为蓝，平面。的法向量为1则“正4=0”是。”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

,•*mn=0

••mLn

*•加・〃=(),即加_1_〃，不一定有/〃a,也可能/ua

・•・“而G=0”是“/〃a”的不充分条件

•・•/〃a,可以推出肩J.1，

「•”而G=0”是“/〃a”是必要条件，

综上所述，“而i=0”是。”必要不充分条件.

故选:B.

4.在平面屈笫中,A(0,l,l),5(1,2,1),C(-l,0,-l),若£=(—l,y,z),且2为平面施力

的法向量，则y等于()

A.2B.0C.1D.无意义

【答案】C

【解析】

a•AB=0

由题得，而=(11,0),AC=(-1,-1,2),又£为平面相口的法向量，则有7.恁=0,

T+y=O

即《则y=l,那么4=1.

1-y+2z=0

故选：C

5.已知点尸是正方体ABC。—的棱。。的中点，给出以下结论:

①AP_LG。；②AfJLB。；③A尸，8G；④4尸，平面8Go

其中正确命题的序号是()

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【解析】

设正方体边长为2,建立如图空间直角坐标系.则4户=(-2,1,-2).

对①，平=(0,-2,-2),因为印•丽=0-2+4=2,故①错误.

对②，丽=(-2,-2,0),因为邛•而=4—2=2,故②错误.

对③，前>=(—2,0,2),因为平.赤=4—4=0,故③正确.

对④,由②有A1P±BD不成立,故4尸J•平面BG。不成立.故④错误.

故选：C

6.如图，在正方体ABCD-ABIGA中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为Bg的中点,

F为AA的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()

B.(—4,1,—2)

C.(2,-2,1)D.(1,2,一2)

【答案】B

【解析】

设正方体棱长为2,则A(2,0,9),E(2,2,1),F(1,0,2),

二通=(0,2,1),~AF=(-1.0,2)

设向量力二(x,y,z)是平面AEF的一个法向量

n-AE=2y+z=0

则〈一，取y=l,得x=-4,z=-2

n-AF=-x+2z=0

：.n=(-4,1,-2)是平面AEF的一个法向量

因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量

故选：B.

7.在棱长为2的正方体A6C£>—中，E，产分别为棱AA、8片的中点，M为

棱A河上的一点，且AM=〃O<4<2),设点N为ME的中点，则点N到平面RE/的

距离为()

A.&B,1C.显九D.—

235

【答案】D

【解析】

以。为原点，%为x轴，园为y轴，〃〃为z轴，建立空间直角坐标系，

则就（2,入，2）,。（0,0,2）,E（2,0,1）,〃（2,2,1）,

ED[=（-2,0,1）,EF=（0，2,0）,EM=（°，入，1），

设平面〃）的法向量G=（x、y,z）,

n-ED=-2x+z=0

则＜l取x=l,得［=(1,0,2),

n-EF=2y=0

，点"到平面，曲的距离为:

选D.

8.己知直三棱柱A6C-A4G中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线A区与BQ所

成的角的余弦值为（）

【答案】C

【解析】

X

立空间坐标系如图，设边长为2,得到A（2,0,0）,（1,石，2）,

B(1,B0),C,(0,0,2)

向量瓯二（—1,6,2）,西二（-1,一白,2）

ABBC

设异面直线夹角为6,则cos6={X

画西―I

故答案为C

9.过正方形A8CD的顶点A，作R4_L平面4BCO,若P4=B4,则平面和平面

CDP所成的锐二面角的大小是

C.60°D.90°

【答案】B

【解析】

法一：建立如图（1）所示的空间直角坐标系，不难求出平面力处与平面加9的法向量分别为

〃/=(0,1,0),〃2=(0,1,1),故平面川卯与平面。*所成二面角的余弦值为黑斗=正

同同2

故所求的二面角的大小是45°.

法二：将其补成正方体.如图(2),不难发现平面力绪和平面处所成的二面角就是平面ABQP

和平面。力图所成的二面角，其大小为45°.

10.在正方形八8C£>中，棱A6,AA的中点分别为E，F,则直线)与平

面所成角的余弦值为()

A.在B.述C.亚

556

【答案】D

【解析】

以。为原点，D4为X轴，。。为y轴，。已为z轴，建立空间直角坐标系,

设正方体A8CO—4gGA的棱长为2,

则E(2,l,0),尸(1,0,2),EF=(-1,-1,2),

平面叫的法向量3=(0,1,0),

设直线ER与平面AAA。所成角为。，Oe0,，

\EF.n\1^>/6

则sin0==

\EF^n\~y/6~6

所以cos0=V1-sin20

•・•直线防与平面MA。所成角的余弦值为叵

6

故选：D.

二、多选题

11.已知以为直线/的方向向量，々，〃2分别为平面。，£的法向量（。，B不重合）,

那么下列选项中，正确的是（)

B.%_L%。，4

A.%[in20allB

C.»//〃[=///aD.v_L/=///a

【答案】AB

【解析】

A选项，平面a,B不重合，所以平面a,B的法向量平行等价于平面a,B平行，正

确;

B选项，平面a,B不重合，所以平面a，B的法向量垂直等价于平面a,B垂直，正

确;

C选项，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，错误；

D选项，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，错误.

故选：AB

12.正方体A5CO—ABGA的校长为1,E,F,G分别为BC,CC】,BBi的中点.则（)

A.直线乌。与直线A尸垂直B.直线AG与平面AM平行

9

C.平面AE/截正方体所得的截面面积为7D.点。和点G到平面AM的距离相等

O

【答案】BC

【解析】

对选项A：（方法一）以。点为坐标原点，DA.DC.。。所在的直线分别为X、V、z轴，

建立空间直角坐标系，则0（0,0,0）、41,0,0）、4（1,0,1）、尸（°，《、

从而函=（0,0,1）,=从而西.标=gwO,所以与

（方法二）取。。的中点N,连接AN,则AN为直线A/在平面ADRA内的射影，AN

与0A不垂直，从而A/与也不垂直，选项A错误；

取的中点为M，连接4加、GM,则4M〃AE,GM〃EF,易证

平面AMG〃平面AE尸，从而AG〃平面AEF,选项B正确；

Cl

•%

对于选项c,连接AQ,D\F,易知四边形AEFR为平面AEE截正方体所得的截面四边

形（如图所示），且DH=AH=B所以

39

=1S△明丹=G，从而选项C正确;

4o

对于选项D：（方法一）由于SAGEF=S悌形BEFG-SAEM=；l+；］x；一；x；x；=；,而

=

SgCF"^"耳'耳二京，而匕-GEF=§S怔FG'A8,yA.ECF§^AECF,,所以

匕-G"=2匕.改尸，即％YEF=2%_AEF，点G到平面A£F的距离为点。到平面A即的

距离的二倍.从而D错误.

（方法二）假设点。与点G到平面A稗的距离相等，即平面A£F将CG平分，则平面

A瓦'必过CG的中点，连接CG交E厂于点。，易知。不是CG的中点，故假设不成立,

从而选项D错误.

13.正方体ABC。—481GA中，E、尸、G、，分别为CCr必CD、BB、8片的中点，则

下列结论正确的是（）

B.平面AMfl平面=

c.A”〃面力防D.二面角七一A厂一。的大小为N

4

【答案】BC

【解析】

由题可知，qG在底面上的射影为BG,而8C不垂直8G,

则4G不垂直于BC，则选项A不正确；

连接AR和SR,E、尺6、〃分别为CC、BC、CD、BB、8片的中点,

可知所〃所以AMFu平面ARE/"

则平面AEFCl平面=,所以选项8正确；

由题知，可设正方体的棱长为2,

以。为原点，DA为x轴，OC为》轴，DO1为z轴，

则各点坐标如下：

A（2,0,0）,C（0,2,0）,E（0,2,l），A（2,0,2）,H（2,2』）,F（l,2,0）

福=（0,2,-1）,衣=（-1,2,0）历=（1,0,-1）,丽=（0,0,2）,

设平面AEF的法向量为〃=（x,y,z）,

n-AF=0—x+2y=0

则〈___，即《八，令y=l,得x=2,z=2,

n-EF=Ox-z=O

得平面AEF的法向量为n=（2,1,2）,

所以而•5=0,所以A"“平面AE/，则C选项正确；

由图可知，A4J•平面AFC,所以丽是平面4尸。的法向量,

..,—AA.♦n2

则cosvAV门=不

四附3

得知二面角七一Ab—C的大小不是;，所以。不正确.

4

故选：BC.

三、填空题

14.若平面。的一个法向量为3=（-6,1,1）,直线/的一个方向向量为£=（百,1,1）,则

，与。所成角的正弦值为.

【答案】|

【解析】

八\n^a\1-3+1+111

由题，设/与。所成角为6,可得=葡%=//一不

川⑷V（-W+i+i-V（^）+1+15

故答案为：!

15.如图，在正三棱柱ABC-AMG中，AB=AC=AA.=2,E,F分别是6AAG的

中点.设。是线段与G上的（包带争个强卓）动点，当直线8。与麻所成角的余弦值为

【答案】2叵

【解析】

以E为原点，EA,EC为x,y轴建立空间直角坐标系，如下图.

七(0,0,0),F吟,；,2),0),。(0",2)(-1<r<l)

1一

，不2),8。=(0"1,2)

2

CEFBD~1~+4M

8s―府网-石.4+1)2+4一丁

解得1=1,所以30=2应，填2底.

点睛：利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰

当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向

量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

16.正方体旦G。中，瓦尸分别是例,45的中点，则即与直线4G所成角

的大小为______；政与对角面8。。蜴所成角的正弦值是.

__Tl1

【答案】--

22

【解析】

如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，

则E（2,0,l）,尸（2,1,0）,A（2,0,0）,C,（0,2,2）,故砺=（0,1,-1）,Aq=（-2,2,2）.

故丽•恋=0,故即与直线4G所成角的大小为

易知对角面3。。片的一个法向量为3=(1,—1,0),设E/与对角面3。。由所成角为9,

故sin0=H瓯*鼎号

17.己知正方体43CD—A四G。的棱长为明点右F,G分别为棱力区AA,,G。的中

点，下列结论中，正确结论的序号是

所得截面为正六边形;

②BQ//平面牙及

③BRJ_平面AC4；

④异面直线EF与BD.所成角的正切值为旺；

2

⑤四面体的体积等于:

【答案】①③④

【解析】

延长)分别与耳4，48的延长线交于MQ,连接副交AA于〃，设的与旦G的延长

线交于尸，连接国交CG于/，交BC于他连FH,HG,GL1他幽EF,

如图：

则截面六边形周沈7V为正六边形，故①正确：

因为耳。与面相交，故gR与平面防7相交，所以②不正确:

BD±AC.:.BD]±AC（三垂线定理），

・・・BCJB。,,BDJB}C（三垂线定理），

且4c与反C相交，

所以8A_L平面ACS，故③正确;

以D为原点，D4,DC,DD、分别为乂N，z轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),E(a,3,0),尸(。,0,]),B(a,ci,0),D1(0,0,。)，

则EF=(0,-^,^),BD、=(-a,-a,a),

0x(-〃)+(一9x(-a)+]x〃a*2_y/6

—■EF•BD

所以cos<EF,BD.>=匕丝

Jo+幺+幺正+/+〃2R23，

IE用15nl——a

V442

2

所以sin<EF,BD]>=^/1-cos

也

3及

sin<EF、BD、>一

所以tan<EFyBDX>=2

cos<EF,BD1>?-

所以异面直线序与的夹角的正切值为YZ,故④正确;

2

因为四面体AC4A的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,

^^ja3-4x-x-a3=-a\故⑤不正确.

323

故答案为：①③④

四、解答题

18.已知三棱柱ABC-A4G的侧棱垂直于底面，/84C=90。，AB=AA]=2fAC=1,

M，N分别是4蜴，BC的中点.

(1)求证：ABJLAC”

(2)求证：MN//平面ACGA.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

•・•三棱柱为直三棱柱「.AdJ•平面ABC:.AALACtAA1AB

又NR4C=9O,则A8,AC,AA两两互相垂直，可建立如下图所示的空间直角坐标系

则4(0,0,0),5(0,2,0),C(-l,0,0),q(-1,0,2),M(0,l,2),N--,1,0

\2

(1)vAB=(0,2,0),福=(-1,0,2)

AB-Aq=0x(-l)+2x0+0x2=0/.AB1ACX

(2)由题意知：而是平面ACGA的一个法向量

vAB=(0,2,0),丽二(一;,0,-2)

.•.福•丽=0x(_g)+2x0+0x(—2)=0..AB1MN

­/MN<Z平面ACC}A/.MN//平面ACC】A1

19.如图，在棱长为2的正方体ABC。—A15cl。中£尸分别为俯，AC的中点.

(1)求怛尸|；

(2)求证：所〃平面例已。

【答案】(1)V2;(2)证明见解析

【解析】

(1)由题知，£(2,1,0),尸(1,1,1),

/.£?=(-1,0,1),

.,.|EF|=7(-1)2+O2+12=X/2

⑵由题知,42,0,0),马。0,2),・・・西=(_2,0,2),

:.丽=涌，故ADUEF,

又AD[u平面A41AO,石尸.平面例已。

:、EFH平面A41Ao.

20.如图，在直三棱柱ABC-agG中，AC=3,BC=4,AB=5,M=4,点。是

A8的中点.

(1)求异面直线AC与BG所成的角：

(2)求证：AC；〃平面。。片.

71

【答案】(1)一(2)证明见解析

2

【解析】

(1)因为AC=3,BC=4,48=5,

所以4c2+BC2=AB2,所以AA5C是直角三角形，

TT

所以AC8=不，所以AC_L3C

2

因为三棱柱ABC—AB©为直三棱柱，所以JC1平面ABC,

所以GC_LAC,C,C±BC

以C为原点，分别以C4、CB、CG为X轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),A(3,0,0),8(0,4,0),C,(0,0,4)

所以直线AC的方向向量为GS=(3,0,0),直线BC\的方向向量为Bq=(0,^,4),

设异面直线AC与3G所成的角为。，

因为瓦•西=0,

所以cos6>=0,

所以异面直线AC与BC,所成的角为].

(2)由(1)可知5,(0,4,4),则诙=声，0),西=(0,4,4)

3

设平面CO用的法向量为>=(X,y,Z),则|£^〃二°,所以•-x+2v=0

2-

ICBj-n=0

4y+4z=0

令x=4,则>=-3,z=3,所以3=(4,-3,3)

直线AG的方向向量为祠'=(—3,0,4),

因为4c[•〃=0,AC[<Z平面COB1,所以AC#平面COB1.

21.如图，在直三棱柱中，A3_LAC,AB=AC=2,M=2应,D为

棱的中点.

(1)求直线。4与平面AAG。所成角的正弦值：

(2)求平面AAGC与平面AQ々所成二面角的余弦值.

【答案】(1)叵;(2)—叵.

105

【解析】

则40,0,0),A(0,0,2a),C(2,0,0),3(020),D(l,l,0),8(0,2,20),所以

AC=(2,0,0),招=(0,0,2&)，而=(1』,0),璃=(-1,1,2应)，如下图：

(1)设平面AAG。的一个法向量为〃7=(x,y,z),

[AC-fn=02x=0—

则离玩二。’"2缶=。‘取…(°」'。)，

一DB、•YYI1_Vio

所以cos<D用，团>=焉|।

。叫.阿ixVio-io'

所以直线与平面TLA.C.C所成角的正弦值为噜;

(2)设平面A。片的一个法向量为〃=a，y,Z|),

[AD->%+y=0

即《

-%)+y+2夜]Z=0

所以求平面AA.C.C与平面ADB.所成二面角的余弦值-拳.

22.直四棱柱ABC。—A.4G。中，AB=BC=2,NA3C=90。，反〃分别为棱力氏MG

上的点，AE=2EB，G尸=2尸四.求证:

(1)斯//平面44。。；

(2