2025年春北师版数学九年级下册导学案 2.1 二次函数 导学案

第二章二次函数2.1二次函数学习目标：1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点)2．会利用二次函数的概念解决问题；(重点)3．列二次函数表达式解决实际问题．(难点)自主学习自主学习一、复习回顾1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x是自变量)(4)y=kx+1；(5)y2=x；(6)y=2x+1.合作探究合作探究要点探究知识点一：二次函数的定义问题1某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些树，以提高产量.但是树种多了，那么树之间的距离和每棵树接收的阳光就会减少.根据经验，估计每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.做一做银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.想一想(1)两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗?(2)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?合作探究问题1~3中函数关系式有什么共同点?同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结.知识要点二次函数的定义：一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数.a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？典例精析例1下列函数中哪些是二次函数?为什么?(x是自变量)①y=(x+3)²−x²；②y=3−2x²；③y=x2；④y=eq\f(1,x2)；⑤y=x²+x³+25；⑥y=ax2+bx+c.方法总结判断一个函数是否为二次函数的步骤：合作探究链接中考(西湖区月考)已知(m为常数)，根据下列条件求m的值：(1)y是x的一次函数；(2)y是x的二次函数；知识点二：二次函数的自变量取值范围问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？①y=-5x²+100x+60000②y=100x2+200x+100③y=-x2+20x总结：二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.知识点三：列二次函数关系式例3一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？二、课堂小结当堂检测当堂检测1.(武汉)下列函数中，是二次函数的是()2.已知函数y=3x2m-1－5①当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；②当m=＿＿时，y是关于x的二次函数.3.矩形的周长为16cm，它的一边长为xcm，面积为ycm2.求(1)y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；(2)当x=3时矩形的面积.参考答案一、创设情境，导入新知1.答案：(1)是；(2)不是，是反比例函数；(3)不是，x最高次数是二次；(4)不一定是，缺少k≠0的条件；(5)不是，函数是每个唯一的x都有唯一对应的y值；(6)是.小组合作，探究概念和性质知识点一：二次函数的定义问题1：答案：(2)果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子.y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.做一做答：y=100x2+200x+100.想一想(1)y=x(20-x)=-x2+20x(2)设矩形的其中一边长为x，面积为S.S=x(20-x)=-x2+20x当S=100时，-x2+20x=100.解得x=10.当S=75时，-x2+20x=75.解得x1=5，x2=15.典例精析答案：①不是，y=6x+9；②是；③是；④不是，等式右边是分式；⑤不是，x的最高次数是3；⑥不一定是，缺少a≠0的条件.链接中考解：(1)由题意得∴m=1.(2)y是x的二次函数，只须m2-m≠0.∴m≠1且m≠0.例3解：由题意得y＝122－2x(x+1)，又∵x+1<2x≤12，∴1<x≤6，即