2024北京中关村中学初二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京中关村中学初二（下）期中数学一、选择题（本题共24分，每小题3分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请选择合适的答案．1.下列各式中是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.3.下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是（）A.1，3，4 B.2，3，4 C.1，1， D.5，12，134.如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=6，BC=4，则EC的长（）A.1 B.1.5 C.2 D.35.下列图形中，具备“对角线相等”的性质的是（）A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.矩形6.如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（）A.3米 B.4米 C.5米 D.6米7.如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（）A.1 B.1.5 C.2 D.2.58.如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（）个．①；②四边形是菱形；③；④．A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．10.已知，则________．11.如图，在数轴上点A表示的实数是________________．12.如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为_______cm．13.如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km，则M，C两点间的距离为______km．14.如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______．15.如图，在菱形中，，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若的最小值为3，则的长为__________．16.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为________．三、解答题（共60分，第17题5分、18题4分，第19题4分，第20题4分，第21题4分、第22题4分、23、24、25题5分，第26题6分，第27、28题7分）17.计算：．18.若，求的值．19.如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的长．20.如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．求证：四边形是菱形；21.如图，在四边形中，，E为的中点，请你用无刻度的直尺在图中画的边上的高线，小蕊的画法如下．请你按照小蕊的画法完成画图，并填写证明的依据．画法：①连接，②连接，交于点F，③连接，交于点P④作射线，交于点H，∴即为所求的边上的高线证明：∵，E为的中点，∴．∵，∴四边形是平行四边形．___________________________．∴点F是中点．____________________________．∴是的中线∴是的中线∵∴是边上的高线．______________________________．22.如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．（1）在图1中画出以AB为边且周长为的平行四边形ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）；（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．23.我们将与称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程．比如小明在解方程时，采用了如下方法：由于，又因为①，所以②，由①+②可得，将两边平方解得，代入原方程检验可得是原方程的解．请根据上述材料回答下面的问题：（1）若的对偶式为，则________；（直接写出结果）（2）方程的解是________；（直接写出结果）（3）解方程：．24.如图，在中，D是AB上一点，，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）若，，连接BE，求BE的长．25.已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（1）猜想两支架与的位置关系并说明理由：（2）若的长度为，求购物车把手到的距离．26.如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．（1）求△ADE的周长；（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．27.正方形中，点是射线上一动点，连结，过作，交射线于，连结．（1）如图①，请补全图形：（2）如图②，当点在的延长线上时，试确定线段与之间的数量关系，并说明理由：（3）如图③，当点在的延长线上，若，直接写出四边形的面积______．28.中，点是边上一点（不与B、C组合），连结，若P是的中点，则称点为中边的“有缘点”．其中，若、，则点的坐标为．已知（1）点、、、中，是中边的“有缘点”的有______．（2）已知中，，点在轴上方，若第二、四象限的角平分线上存在边的“有缘点”，求的取值范围；（3）中，在轴上，点的横坐标为t，交轴于点，交轴于点，且Q、M分别是、的中点，假设三边的“有缘点”组成图形，若图形的面积满足：，直接写出t的值．

参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请选择合适的答案．1.【答案】D【分析】分别对各式进行变形，根据最简二次根式的定义逐项判断即可求解．【详解】A.＝，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B.＝，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C.＝，被开方数含有开的尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D.是最简二次根式，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须同时满足两个条件：(1)被开方数不能含有分母；(2)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．2.【答案】C【分析】本题考查二次根式的加减及乘法运算，根据运算法则逐项计算即可得出答案．【详解】解：A，，计算错误；B，，计算错误；C，，计算正确；D，，计算错误；故选C．3.【答案】D【分析】根据勾股定理逆定理可知，分别计算选项中两短边的平方和是否等于长边的平方即可．【详解】解：、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；故选：．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟知三角形的三边满足：，那么这个三角形为直角三角形是解题的关键．4.【答案】C【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可知：BC＝AD＝DE＝4，又有CD＝AB＝6，可求EC的长．【详解】解：根据平行四边形的对边相等，得：CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，又∵∠DAE＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED，∴ED＝AD＝4，∴EC＝CD−ED＝6−4＝2，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．5.【答案】D【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质即可确定．【详解】解：A.平行四边形对角线不一定相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；B.菱形对角线不一定相等，对角线相等的菱形是正方形，故此选项错误；C.梯形的对角线不一定相等，只有等腰梯形的对角线相等，故此选项错误；D.矩形的对角线相等，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质，正确理解性质是关键．6.【答案】C【分析】设米，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设米，米，米，（米，米，在中，米，米，米，根据勾股定理得：，解得：，则秋千的长度是5米．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．7.【答案】C【分析】由中位线的性质定理得，，且，由平行线的性质结合角平分线可得，则可求得的长．【详解】是的中位线，，，，，，是的平分线，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，掌握三角形中位线定理是解题的关键．8.【答案】C【分析】根据等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识分别对各个结论进行判断即可．【详解】解：①如图，连接，∵，F为中点，∴，∴点F在的垂直平分线上，∵是等边三角形，∴，∴点E在的垂直平分线上，∴，①正确；②∵是等边三角形，F是中点，∴，∴，∴四边形不可能是菱形，②不正确；③∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是等边三角形，，∴，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，③正确；④∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，又∵，∴，④正确；正确的结论有3个，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】x≥1【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1，故答案为：x≥1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．10.【答案】1【分析】将x和y的值代入，再根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：把，代入得：，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的运算法则，以及平方差公式．11.【答案】【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．【详解】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，∴点A表示的实数是，故答案为：．【点睛】题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．12.【答案】7．【分析】当杯子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．【详解】设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得：c2=a2+b2，解得：c=13，则筷子露在外面最短为20-13=7cm，故答案为：7考点：勾股定理13.【答案】1【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得km．【详解】解：∵在中，，为的中点，(km)，故答案为：1．【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．14.【答案】76【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车的外围周长．【详解】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则，解得：，“数学风车”的外围周长．故答案为：76．【点睛】本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，并注意题中隐含的已知条件来解题．15.【答案】【分析】连接，利用中位线的性质，要使最小，只要最小，当时，最小为6，由确定为等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可．【详解】解：连接，∵，分别为，的中点，∴，且，要使最小，只要最小，当时，最小，∵的最小值为3，∴，∵，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，∴．故答案为：．【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．16.【答案】【分析】设正方形的边长为a，根据折叠得出，，根据勾股定理列出关于a的方程，解方程即可．【详解】解：设正方形的边长为a，则根据折叠可知，，，在Rt△BFN中，根据勾股定理可知，，即：，解得：或（舍去）．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理的应用，设出正方形的边长，根据勾股定理列出关于a的方程，是解题的关键．三、解答题（共60分，第17题5分、18题4分，第19题4分，第20题4分，第21题4分、第22题4分、23、24、25题5分，第26题6分，第27、28题7分）17.【答案】【分析】根据零次幂、负指数整数幂、二次根式及去绝对值的运算即可求解．【详解】．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握零次幂、负指数整数幂、二次根式及去绝对值的运算法则是解题的关键．18.【答案】4【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先将原式转化为，再将a、b的值代入计算即可．【详解】解：，将代入，得：原式．19.【答案】16【详解】试题分析:根据图中分析,BC分为CD与BD,则可分别求CD,BD,再求BC,在Rt△ACD中,利用30°的锐角所对直角边等于斜边的一半,求出CD,则AD可得,在Rt△ABD中,已知AB,AD可求BD.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，∴CD＝AC＝5.∴在Rt△ACD中，AD＝.∴在Rt△ABD中，BD＝.∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.20.【答案】证明见解析．【分析】本题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得到，，再由菱形的判定定理即可得到结论，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．【详解】证明：∵，平分，∴，，∵，∴四边形是平行四边形，∵，即，∴四边形是菱形．21.【答案】见解析【分析】先根据题意画图，然后根据已知条件填写依据即可．【详解】∵，E为的中点，∴．∵，∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴点F是中点．（平行四边形对角线互相平分），∴是的中线，∴是的中线，∵，∴是边上的高线．（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）．【点睛】此题考查平行四边形的性质与判断和等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件灵活使用平行四边形的性质和判定．22.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据题意，只要使得AB的邻边AD的长是无理数即可；（2）如图，取格点E、F，连接EF，则EF与AB互相垂直平分且相等，根据正方形的判定方法，则四边形为所作．【小问1详解】解：如图，四边形即为所作；【小问2详解】解：如图，四边形即为所求作的正方形．【点睛】本题考查了在网格中作特殊四边形，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是准确作图的关键．23.【答案】（1）1（2）（3）【分析】（1）由定义直接可得答案；（2）求出，根据已知得到，两式相加可得，再求解即可；（3）同（2）的方法求解即可．【小问1详解】解：的对偶式为，∴；【小问2详解】，∴，∴，得：，∴；【小问3详解】，∴，∴，得：，∴，∴．【点睛】本题考查二次根式，平方差公式，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．24.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）证∠EDF=90°，∠CED=90°，再由∠DFC=90°，即可得出结论；

（2）证△ACD是等边三角形，得∠ACD=60°，AC=AD=2，则AE=CE=1，再由勾股定理得DE，然后由三角形中位线定理得BC=2DE=，由勾股定理即可得出结论．【小问1详解】解：证明：∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，

∴∠ADE=∠CDE=∠ADC，∠CDF=∠BDC，

∴∠CDE+∠CDF=（∠ADC+∠BDC）=×180°=90°，

即∠EDF=90°，

∵AD=DC，

∴∠DCA=∠DAC，

∴∠CED=∠AED=×180°=90°，

又∵∠DFC=90°，

∴四边形CEDF是矩形；【小问2详解】解：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，

∴∠CED=∠ECF=90°，

∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，DE⊥AC，

∵AD=DC，

∴CE=AE，△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，AC=AD=2，

∴AE=CE=1，

∴DE=，∠DCB=∠ECF-∠ACD=90°-60°=30°，

∴∠DCB=∠B，

∴DB=DC=AD，

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC=2DE=，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=，即BE的长为．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．25.【答案】（1）两支架与为垂直的位置关系，理由见解析（2）【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质；（1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解；（2）过点作的垂线，交的延长线分别于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解．【小问1详解】解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下：在中．∵，，且，∴∴，答：两支架与为垂直的位置关系；【小问2详解】解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h，∴∵，，∴，在中，，∴，在中，∴答：购物车把手到的距离为26.【答案】（1）12；（2）t=6或t=；（3）t=；【分析】（1）在直角△ADE中，利用勾股定理进行解答；（2）先利用勾股定理表示出PE2，在Rt△PAE中，根据勾股定理建立方程求解即可得出结论；（3）利用角平分线的性质，平行线的性质以及等量代换推知：∠PEA=∠EAP，则PE=PA，由此列出关于t的方程，通过解方程求得相应的t的值即可．【详解】解:（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，∴CD=AB=9，∠D=90°，∴DE=9﹣6=3，∴AE===5；∴△ADE的周长为3+4+5=12（2）①若∠EPA=90°，t=6；②若∠PEA=90°，（6﹣t）2+42+52=（9﹣t）2，解得t=．综上所述，当t=6或t=时，△PAE为直角三角形；（3）假设存在．∵EA平分∠PED，∴∠PEA=∠DEA．∵CD∥AB，∴∠DEA=∠EAP，∴∠PEA=∠EAP，∴PE=PA，∴（6﹣t）2+42=（9﹣t）2，解得t=．∴满足条件的t存在，此时t=．【点睛】此题是四边形综