2024北京十二中初二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京十二中初二（下）期中数学（满分100分，时间120分钟）一、选择题（共24分，每题2分）1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.3.直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（）A.4 B.8 C.12 D.1444.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）A.， B.，C.， D.，5.如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若，，则四边形的周长为（）A.13 B.21 C.26 D.526.如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（）A. B. C. D.47.在平行四边形中，有两个内角的度数比为，则平行四边形中较小的内角是（）A. B. C. D.8.矩形具有而菱形不具有的性质是（）．A.两组对边分别平行 B.对角线相等C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等9.如图，矩形的两条对角线相交于点O．若，，则边的长为（）A. B.2 C. D.110.某工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照腰长、底长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（）A.26，10，24 B.10，16，6 C.17，30，8 D.13，24，511.下列命题正确的是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等且互相平分的四边形是菱形C.对角线垂直且互相平分的四边形是矩形D.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形12.如图，在中，，F是的中点，作于E，连接、，下列结论不成立的是（）A. B.C. D.二、填空题（共20分，每题2分）13.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．14.计算的结果等于___________．15.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝__．16.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___．17.如图，在中，点D、E分别是的中点，若，则_________．18.如图，在平行四边形中，，对角线交于点O，点E为边的中点．若，则的长为______．19.下列命题：①如果两个实数相等，那么它们的平方相等；②如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的是__________（填写所有正确结论的序号）．20.如图，在中，，，，D，E分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若B恰好落在中点M上，则长为______．21.如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点E，F分别在上，则的面积为______．22.如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为______________．三、解答题（共56分，第23题，每小题3分，第24-26题，每题4分，第27-30题，每题5分，第31-32题，每题6分）23.计算；（1）；（2）；（3）；（4）．24.阅读材料，并完成任务．“平行四边形的判定”这节课上，研究了平行四边形的三个判定定理之后，老师问：“还有其它能够判定平行四边形的方法吗？”小雨说：“我发现一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”．老师说：“这个命题是真命题”．要证明这个命题是真命题，需要先分清命题的题设和结论．然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明，请你在下表中完成相应的任务．已知：，求证：画图：证明：25.如图，在中，对角线相交于点O，于点A，，，求平行四边形的边的长．26.在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．证明四边形是菱形27.下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，1、以点A为圆心，BC长为半径作弧；2、以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线AC异侧）；3、连接AD，CD．所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）．证明：∵AB＝______，BC＝______，∴四边形ABCD是平行四边形（_______）．又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（________）．28.如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．29.如图，每个小正方形的边长都是1，，，，均在网格的格点上．（1）判断是否为直角：______．（填写“是”或“不是”）（2）直接写出四边形的面积为______．（3）找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等．30.在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x的根式方程，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．材料一：小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消元，将二元方程转化为一元方程；小康同学：对，就是要往解的形式转化，现在关键就是要把根号化去；小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根……材料二：解：两边平方得：．解得：．检验：将代入原方程，成立．∴原方程的解为．通过以上材料，完成下列问题：（1）解关于x的方程；（2）解关于x的方程．31.如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．（1）在图1中补全图形，________（填“”“”或“”）；（2）猜想和的数量关系，并证明．（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．32.在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．（1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为___________，最大值为___________．②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（－2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是_____________．（2）直线平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线的距离都是1，若点C（x，y）是直线上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．

参考答案一、选择题（共24分，每题2分）1.【答案】C【分析】最简二次根式满足的条件是∶被开方数不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不能是小数或分数；分母中不能出现二次根式．【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、，是最简二次根式，符合题意；D、，不是最简二次根式，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解决本题的关键是要熟练掌握满足最简二次根式的条件．2.【答案】D【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除、四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的运算法则逐项判断即可．【详解】解：A、与不是同类项二次根式，不能合并，故A错误；B、，故B错误；C、，故C错误；D、，故D正确，故选：D．3.【答案】C【分析】根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可．【详解】解：由勾股定理的变形公式可得：，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，属于基础题.本题比较简单，解答此类题的关键是灵活运用勾股定理．4.【答案】C【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意；D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：C．5.【答案】C【分析】根据D，E，F分别是边，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长．【详解】解：∵D，E，F分别是边，，的中点，∴，，，，∴，故选：C【点睛】本题考查平行四边形的判定，三角形中位线定理，熟练运用中位线定理是解题的关键．6.【答案】C【分析】勾股定理求得的长，结合数轴即可求解．【详解】解：在中，，∴，∴以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7.【答案】D【分析】由平行四边形的性质得出，推出，再由，求出即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴平行四边形中较小的内角是，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键．8.【答案】B【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解：【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意；B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意；C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意；D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意．故选B．9.【答案】A【分析】根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，在根据勾股定理求出．【详解】，，，，，．故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10.【答案】A【分析】如图，记等腰三角形的腰长为，底长为，底边上的高为，由勾股定理得，，即记录的数据应该满足，对各选项计算判断即可．【详解】解：如图，记等腰三角形的腰长为，底长为，底边上的高为，由勾股定理得，，即记录的数据应该满足，A中，记录错误，故符合要求；B中，记录正确，故不符合要求；C中，记录正确，故不符合要求；D中，记录正确，故不符合要求；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质．解题的关键在于正确的运算求解．11.【答案】D【分析】本题考查了命题真假的判断以及平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．根据平行四边形的判定方法对A进行判断．根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．【详解】解：A.对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A说法不正确；B.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项B说法不正确；C.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故选项C说法不正确；D.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，说法正确；故选：D．12.【答案】D【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】解：∵F是的中点，∴，∵在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选项A不符合题意；延长，交延长线于M，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵F为中点，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故选项B不符合题意；∵，∴，设，则，∴，，∴，∵，∴，故选项C不符合题意，∵，∴，∵，∴，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出．二、填空题（共20分，每题2分）13.【答案】x≥5【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】∵在实数范围内有意义，∴x−5⩾0，解得x⩾5．故答案为：x≥5【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式．14.【答案】2【分析】直接利用平方差公式求解即可．【详解】解：;故答案为：2．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，同时也涉及到了二次根式的运算性质以及乘方运算等内容；该题较基础，解决本题的关键是牢记平方差运算公式即可．15.【答案】50°．【分析】根据平行四边形的性质即可求解.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝100°，∴∠A＝50°，故答案为：50°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质.16.【答案】AB=DC（答案不唯一）【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解．【详解】∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：AB=DC（答案不唯一）．还可添加的条件AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．17.【答案】6【分析】由点D、E分别是的中点，得到是的中位线，进而得到，即可求解，本题考查了三角形中位线的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握三角形的中位线．【详解】解：∵点D、E分别是的中点，∴，∴，故答案为：6．18.【答案】3【分析】先利用勾股定理求出，再证明为的中位线，则．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴，即点O为的中点，又∵点E为边的中点，∴为的中位线，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．19.【答案】②③【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：①原命题的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，是假命题，不符合题意；②原命题的逆命题为：如果三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；③原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；故答案为：②③．【点睛】本题主要考查了判断一个命题的逆命题真假，熟练掌握勾股定理的逆定理，平行四边形的判定，实数的性质是解题的关键．20.【答案】【分析】在中，利用勾股定理求得，结合点M是中点可得，由翻折可知，在中运用勾股定理求解即可．【详解】解：在中，，，，，点M是中点，，由翻折可知，在中，，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握折叠的性质，并运用勾股定理正确计算．21.【答案】1【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质分别得到，，由此可证明得到，进一步证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵是边长为2的等边三角形，∴，∴，∴，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键．22.【答案】【分析】延长交于点M，证明，则，得到，设，则，，在中，由勾股定理得到，进一步得到，即可得到的最小值．【详解】解：延长交于点M，∵四边形是正方形，，∴，，∵四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，∴，，∴，∵H是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，，在中，，∵，∴，∴，即，∴，∴，即的最小值为．故答案为：【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．三、解答题（共56分，第23题，每小题3分，第24-26题，每题4分，第27-30题，每题5分，第31-32题，每题6分）23.【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）．【分析】本题主要考查二次根式的混合运算法则，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键．（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减混合运算法则，即可求解；（2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合运算法则，即可求解；（3）根据二次根式的四则混合运算法则，即可求解；（4）先利用平方差公式计算，再根据二次根式的混合运算法则，即可求解．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：；【小问4详解】解：．24.【答案】见解析【分析】本题考查平行四边形的判定、平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定，会根据题意和图形正确写出命题的题设和结论是解答的关键．先根据题意和图形写出已知，再根据平行线的判定与性质，以及平行四边形的判定解答即可．【详解】解：已知：，，求证：四边形是平行四边形．画图：证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形．25.【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质可知，，，，，在中，由勾股定理得，求的值，在中，由勾股定理即可求得的长．【详解】解：由平行四边形的性质可知，，，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得．26.【答案】见解析【分析】根据是的中点，，易证得，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形。【详解】证明：如图，，，是的中点，是边上的中线，，，在和中，，（），，，，∴四边形是平行四边形，，是的中点，，∴四边形是菱形.【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．根据图形求解是关键．27.【答案】（1）见解析（2）CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．【小问1详解】解：如图，四边形ABCD即为所求．【小问2详解】证明：∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对分别相等的四边形是平行四边形），

∵∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．

故答案为：CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．28.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论；（2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可．【小问1详解】证明：∵四边形是菱形，∴，且，∵，∴，即，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．【小问2详解】∵四边形是菱形，∴，，，∵，∴，在中，由勾股定理可得：∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．29.【答案】（1）不是（2）14（3）见解析（答案不唯一）【分析】（1）先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可得；（2）利用分割法求解即可得；（3）先利用平行四边形的性质找到格点，再利用等高模型画出图形即可．【小问1详解】解：，，，，不是直角，故答案为：不是．【小问2详解】解：四边形的面积为，故答案为：14．【小问3详解】解：如图，点和四边形即为所求．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．30.【答案】（1）；（2）无解【分析】仿照例题，两边平方，得到整式方程，解整式方程，再检验即可求解．【小问1详解】解：两边平方得：．解得：．检验：将代入原方程，成立．∴原方程的解为；【小问2详解】解：两边平方得：．解得：．检验：当时，，即是增根．∴原方程无解．【点睛】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的步骤是解题的关键．注意一定要验根．31.【答案】（1）补全图形见解析，（2），证明见解析（3），证明见解