河南省南阳市六校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷(解析版)_第1页
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文档简介

第1页/共1页数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名,考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式计算可得.【详解】.故选:B2.若角满足,则角为()A.第一或第四象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第三象限角【答案】D【解析】【分析】由和tan2θ>0可得cos2θ>0,求得的范围,继而分类讨论得到所在象限.【详解】因,由tan2θ=sin2θcos则为第一象限角,即,也即.当时,,即为第一象限角;当时,,即为第三象限角.综上,角为第一或第三象限角.故选:D3.在中,已知,则C=()A.60° B.30° C.30°或150° D.60°或120°【答案】D【解析】分析】利用正弦定理求出,再求出对应角.【详解】由正弦定理可得,即,解得,则或.故选:D4.已知向量,不共线,,且与共线,则m=()A.2 B.-2 C.1 D.-1【答案】B【解析】【分析】应用向量共线定理表达条件,结合数乘运算法则及向量相等条件列方程组求解即可.【详解】因为与,则存在唯一的实数t,满足,即,整理可得,已知向量,不共线,等式成立等价于,解方程组,可得.故选:B.5.已知平面向量满足,,若向量与的夹角为,则()A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】首先求出,再由夹角公式求出,最后根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为,又,所以,所以,即,所以,解得(负值已舍去).故选:A6.若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为,且为奇函数,则的最小值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得的最小正周期,即可求出,从而表示出的解析式,再根据其奇偶性求出.【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为,所以的最小正周期,又,所以,所以,则,又为奇函数且,所以,所以,所以的最小值为.故选:A7.如图,在中,,且BF与CE交于点M,设,则()A. B. C. D.-1【答案】C【解析】【分析】分别利用和三点共线表示出,再利用平面向量的基本定理列方程组,解出即可.【详解】因为三点共线,且,所以,又因为三点共线,且,所以,可得,解得,所以.故选:C8.已知正三角形的边长为,点,都在边上,且,,为线段上一点,为线段的中点,则的最小值为()A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得,从而转化为求的最小值,当时取得最小值,利用等面积法求出,即可得解,【详解】因为,即为的中点,又,所以为的中点,又正三角形的边长为,所以,依题意,,所以,所以当时取得最小值,如图,此时点在的位置,连接,则,又,,所以,所以,所以.故选:D二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.若非零向量满足,,则B.C.若为单位向量,则D.向量可以作为平面内的一个基底【答案】AC【解析】【分析】根据平面向量共线定理判断A、D,根据平面向量线性运算法则判断B,根据数量积的运算律判断C.【详解】对于A:因为为非零向量,,所以存在非零实数,使得,又,所以存实数使得,所以,所以,故A正确;对于B:,故B错误;对于C:因为为单位向量,所以,所以,,所以,故C正确;对于D:因为,所以,即,所以向量不可以作为平面内的一个基底,故D错误.故选:AC10.已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是()A.B.C.D.若将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象,则为奇函数【答案】ABC【解析】【分析】由图象过点代入计算可判断A选项,由图象过点代入可得的范围,结合两点以及的横坐标的长度判断周期,可确定的值,从而判断B,由AB可求出解析式,结合诱导公式可判断C,根据图象的平移求出解析式,可判断D.【详解】解:由图象可知,函数过,代入则有,所以,又,所以,故A正确;又图象过点,所以,所以,可得,,因为,所以,即,故B正确;由AB可知:,故C正确;将的图象向左平移个单位长度可以得到,为偶函数,故D不正确;故选:ABC11.已知函数,则()A.的图象关于直线对称 B.是周期函数C.对任意的恒成立 D.在上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】计算可判断A选项,代入可判断B选项,由三角函数的有界性可判断C选项,根据同增异减的原则可判断D选项.【详解】解:,故A不正确;,所以是周期函数,故B正确;由三角函数的有界性可知:,,所以,故C正确;时,单调递增,且,又在上单调递减,所以由同增异减的原则可知在上单调递减,所以在上单调递减,故D正确;故选:BCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴,折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图,扇面的两条弧长分别为,的长度为,则扇环的面积为______.【答案】【解析】【分析】设所在扇形的半径为,圆心角为,根据弧长公式求出,再由扇形的面积公式计算可得.【详解】设所在扇形的半径为,圆心角为,则,解得,所以扇环的面积为.故答案为:13.南水北调中线工程源头位于丹江口水库,重点解决河南,河北,北京,天津的水资源短缺问题.如图所示,B,E,F为山的两侧处于同一水平线上的三点,在山顶A处测得点B,E,F的俯角分别为60°,75°,45°,计划沿直线BF开通引水隧洞,现已测得,则隧洞BE的长度为______.参考数据:.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理解,求出,再解求出即可.【详解】在中,由图可知,,由正弦定理可得:,又因为,解得,在中,由图有,,则由正弦定理可得:,解得故答案为:14.已知在平行四边形ABCD中,,过点B作于点E,则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】先设,,再用表示,利用模长求出,,再结合得出的范围,然后利用公式即可求出其范围.【详解】设,,则,,因,则,,得,,因,且不共线,则,则a⋅b>5联立a⋅b>54解得,得,则,因,则,故的取值范围为.故答案为:四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.如图,在平面直角坐标系中,以原点为顶点,轴非负半轴为始边作角与,它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点,,且点的坐标为.单位圆与轴的非负半轴交于点,的面积是的面积的倍.(1)求的值;(2)求值.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)首先求出点的坐标,再根据三角函数的定义得解;(2)依题意可得,即可求出,再由平方关系求出,最后由诱导公式化简,代入计算可得.【小问1详解】因为在单位圆上,且位于第一象限,所以且,解得,所以,所以,;【小问2详解】因为的面积是的面积的倍,所以,又,所以,即,又,解得或(舍去);所以.16.已知向量,,且在方向上的投影数量为.(1)求;(2)若与的夹角是锐角,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)首先求出,,再由在方向上的投影数量为计算可得;(2)首先求出与的坐标,依题意且与不共线,即可求出参数的取值范围.【小问1详解】因为,,所以,,又在方向上的投影数量为,所以,解得;【小问2详解】由(1)可知,所以,,因为与的夹角是锐角,所以且与不共线;当时,即,解得;当与共线时,,解得;综上可得实数的取值范围为.17.已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合.(1)若,求的值域;(2)求函数的值域.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据周期性求出的值,即可得到解析式,根据周期性转化为求出的值域即可;(2)由,结合的值域及二次函数的性质计算可得.【小问1详解】因为函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合,所以,所以,又,所以,所以,且其最小正周期,所以在上的值域与的值域相同,由,则,所以,所以当时的值域为.【小问2详解】因为,又,所以,所以,即函数的值域为.18.已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式;(2)求在区间上的单调性;(3)若函数在区间上恰有2个零点,求b的取值范围.【答案】(1)(2)的单调递增区间为,的单调递减区间为.(3)【解析】【分析】(1)由最值确定的取值,由两个最值点的距离确定周期,求出,代入特殊点可求出,从而求出解析式;(2)代入,求出整体的范围,依据正弦函数单调区间求出的具体范围,确定单调性;(3)化简函数,求出函数的第二零点和第三零点,可确定的范围.【小问1详解】由图象可知,解得:,又由于,所以,由图象及五点法作图可知:,所以,因为,所以,所以.【小问2详解】由(1)知,,因为,所以,当时,即时,单调递增,当时,即时,单调递减,所以的单调递增区间为,的单调递减区间为.【小问3详解】,函数在区间上恰有2个零点,等价于在区间上恰有2个零点.时,,令,则图象的第二个零点为,即,第三个零点为,即,所以.19.在中,已知角A,B,C对边分别为a,b,c,D为边上一点.(1)若,,求;(2)若,平分,,求的取值范围;(3)若于点,且,求的最大值.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)利用余弦定理将角化边,即可得到,结合得到、,最后由余弦定理计算可得;(2)由等面积法得到,再由余弦定理得到,再由基本不等式求出的范围,最后利用换元法及函数的性质计算可得;(3)设,则,由余弦定理得到,再由面积公式得到,从而得到,在中过点

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