河南省南阳市六校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

第1页/共1页数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式计算可得.【详解】.故选：B2.若角满足，则角为（）A.第一或第四象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第三象限角【答案】D【解析】【分析】由和tan2θ>0可得cos2θ>0，求得的范围，继而分类讨论得到所在象限.【详解】因，由tan2θ=sin2θcos则为第一象限角，即,也即.当时，,即为第一象限角；当时，，即为第三象限角.综上，角为第一或第三象限角.故选：D3.在中，已知，则C＝（）A.60° B.30° C.30°或150° D.60°或120°【答案】D【解析】分析】利用正弦定理求出，再求出对应角.【详解】由正弦定理可得，即，解得，则或.故选：D4.已知向量，不共线，，且与共线，则m＝（）A.2 B.－2 C.1 D.－1【答案】B【解析】【分析】应用向量共线定理表达条件，结合数乘运算法则及向量相等条件列方程组求解即可.【详解】因为与，则存在唯一的实数t，满足，即，整理可得，已知向量，不共线，等式成立等价于，解方程组，可得.故选：B.5.已知平面向量满足，，若向量与的夹角为，则（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】首先求出，再由夹角公式求出，最后根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为，又，所以，所以，即，所以，解得（负值已舍去）.故选：A6.若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而表示出的解析式，再根据其奇偶性求出.【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，所以的最小正周期，又，所以，所以，则，又为奇函数且，所以，所以，所以的最小值为.故选：A7.如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（）A. B. C. D.－1【答案】C【解析】【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可.【详解】因为三点共线，且，所以，又因为三点共线，且，所以，可得，解得，所以.故选：C8.已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得，从而转化为求的最小值，当时取得最小值，利用等面积法求出，即可得解,【详解】因为，即为的中点，又，所以为的中点，又正三角形的边长为，所以，依题意，，所以，所以当时取得最小值，如图，此时点在的位置，连接，则，又，，所以，所以，所以.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若非零向量满足，，则B.C.若为单位向量，则D.向量可以作为平面内的一个基底【答案】AC【解析】【分析】根据平面向量共线定理判断A、D，根据平面向量线性运算法则判断B，根据数量积的运算律判断C.【详解】对于A：因为为非零向量，，所以存在非零实数，使得，又，所以存实数使得，所以，所以，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：因为为单位向量，所以，所以，，所以，故C正确；对于D：因为，所以，即，所以向量不可以作为平面内的一个基底，故D错误.故选：AC10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.若将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象，则为奇函数【答案】ABC【解析】【分析】由图象过点代入计算可判断A选项，由图象过点代入可得的范围，结合两点以及的横坐标的长度判断周期，可确定的值，从而判断B，由AB可求出解析式，结合诱导公式可判断C，根据图象的平移求出解析式，可判断D.【详解】解：由图象可知，函数过，代入则有，所以，又，所以，故A正确；又图象过点，所以，所以，可得，，因为，所以，即，故B正确；由AB可知：，故C正确；将的图象向左平移个单位长度可以得到，为偶函数，故D不正确；故选：ABC11.已知函数，则（）A.的图象关于直线对称 B.是周期函数C.对任意的恒成立 D.在上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】计算可判断A选项，代入可判断B选项，由三角函数的有界性可判断C选项，根据同增异减的原则可判断D选项.【详解】解：，故A不正确；，所以是周期函数，故B正确；由三角函数的有界性可知：，，所以，故C正确；时，单调递增，且，又在上单调递减，所以由同增异减的原则可知在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为______．【答案】【解析】【分析】设所在扇形的半径为，圆心角为，根据弧长公式求出，再由扇形的面积公式计算可得.【详解】设所在扇形的半径为，圆心角为，则，解得，所以扇环的面积为.故答案为：13.南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为______．参考数据：．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理解，求出，再解求出即可.【详解】在中，由图可知，，由正弦定理可得：，又因为，解得，在中，由图有，，则由正弦定理可得：，解得故答案为：14.已知在平行四边形ABCD中，，过点B作于点E，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】先设，，再用表示，利用模长求出，，再结合得出的范围，然后利用公式即可求出其范围.【详解】设，，则，，因，则，，得，，因，且不共线，则，则a⋅b>5联立a⋅b>54解得，得，则，因，则，故的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍．（1）求的值；（2）求值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）首先求出点的坐标，再根据三角函数的定义得解；（2）依题意可得，即可求出，再由平方关系求出，最后由诱导公式化简，代入计算可得.【小问1详解】因为在单位圆上，且位于第一象限，所以且，解得，所以，所以，；【小问2详解】因为的面积是的面积的倍，所以，又，所以，即，又，解得或（舍去）；所以.16.已知向量，，且在方向上的投影数量为．（1）求；（2）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，，再由在方向上的投影数量为计算可得；（2）首先求出与的坐标，依题意且与不共线，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】因为，，所以，，又在方向上的投影数量为，所以，解得；【小问2详解】由（1）可知，所以，，因为与的夹角是锐角，所以且与不共线；当时，即，解得；当与共线时，，解得；综上可得实数的取值范围为.17.已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合．（1）若，求的值域；（2）求函数的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据周期性求出的值，即可得到解析式，根据周期性转化为求出的值域即可；（2）由，结合的值域及二次函数的性质计算可得.【小问1详解】因为函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合，所以，所以，又，所以，所以，且其最小正周期，所以在上的值域与的值域相同，由，则，所以，所以当时的值域为.【小问2详解】因为，又，所以，所以，即函数的值域为.18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）求在区间上的单调性；（3）若函数在区间上恰有2个零点，求b的取值范围．【答案】（1）（2）的单调递增区间为，的单调递减区间为.（3）【解析】【分析】（1）由最值确定的取值，由两个最值点的距离确定周期，求出，代入特殊点可求出，从而求出解析式；（2）代入，求出整体的范围，依据正弦函数单调区间求出的具体范围，确定单调性；（3）化简函数，求出函数的第二零点和第三零点，可确定的范围.【小问1详解】由图象可知，解得：，又由于，所以，由图象及五点法作图可知：，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】由（1）知，，因为，所以，当时，即时，单调递增，当时，即时，单调递减，所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.【小问3详解】，函数在区间上恰有2个零点，等价于在区间上恰有2个零点.时，，令，则图象的第二个零点为，即，第三个零点为，即，所以.19.在中，已知角A，B，C对边分别为a，b，c，D为边上一点．（1）若，，求；（2）若，平分，，求的取值范围；（3）若于点，且，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化边，即可得到，结合得到、，最后由余弦定理计算可得；（2）由等面积法得到，再由余弦定理得到，再由基本不等式求出的范围，最后利用换元法及函数的性质计算可得；（3）设，则，由余弦定理得到，再由面积公式得到，从而得到，在中过点