2024北京三帆中学初二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京三帆中学初二（下）期中数学注意：（1）时间100分钟，满分100分；（2）请将答案填写在答题纸上．一、选择题（每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1.下列各式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A.1，1，2 B.2，3，4 C.1，， D.9，12，133.下列计算正确的是（）A. B.C. D.4.某城市中有如图所示的公路，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则两点间的距离为（）A. B. C. D.5.如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（）A.关于x，y的方程组的解是B.方程的解是C.方程的解是D.不等式的解集是6.下列说法正确的是（）A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形C.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形D.对角线互相垂直的四边形是菱形7.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则正方形的面积是（）A.4 B.9 C.13 D.58.如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（）A. B.C. D.二、填空题（每小题2分，共16分）9.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．10.某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：年龄（单位：岁）13141516频数（单位：名）416x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是______．（请填入正确的序号）①平均数②中位数③方差④众数11.如果一次函数的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交，那么k______0，b______0．12.如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点E，F，连接，，若，则______．13.等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是_________，自变量x的取值范围是_________．14.如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，则的长为______．15.将直线向上平移3个单位可得直线．将直线向______（填“左”或“右”）平移______个单位所得直线的解析式为．16.如图1，四边形是菱形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则菱形的面积为______．三、解答题（共68分）17.计算：（1）（2）18.如图，在中，点E、F分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形．19.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．在图中已标出线段，A，B均为格点，按要求完成下列问题．（1）以为对角线画一个，且C，D为格点，点C在线段AB的上方；（2）则（1）中的周长是______，面积是______；（3）仅用无刻度直尺画出上图中的一条中位线（保留所有画图痕迹）．20.如图，直线（）经过点，且与直线相交于点．（1）求m、k和b的值；（2）过点且垂直于x轴的直线与，分别交于C，D两点．①当时，求的面积；②当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围是______．21.如图，在中，M、N是上两点，，连接、、、，且．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．22.2024年4月，某校举办了艺术节活动，戏剧老师为调查八年级学生对某种传统剧目H的了解情况，从南、北两个校区各随机抽取41名学生进行知识测试，并对成绩进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．南校区八年级H知识测试得分的频数分布表；（数据分成6组：，，，，，）；南校区八年级H知识测试得分频数1013m631合计41b．南校区八年级H知识测试得分在这一组的是：70.270.570.771.071.071.171.271.871.972.573.073.874.5；c．南、北两个校区八年级H知识测试得分的平均数，中位数如下：平均数中位数南校区八年级73.8n北校区八年级7474.4根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m和n的值分别为______，______；（2）若南校区八年级共有410名学生参加H知识测试，估计南校区八年级本次H知识测试80分以上（含80分）有多少人？（3）在南校区八年级抽取的学生中，记H知识测试得分高于他们的平均分的人数为；在北校区八年级抽取的学生中，记H知识测试得分高于他们的平均分的人数为，比较与的大小，并说明理由．23.图1是艺术节期间初二年级学生在数学活动课上折叠正方体的一个面，学生们称之为“折纸中的弦图”．其中最中心的四边形可以作为勾股定理的“无字证明”，也就是不需要代数运算，而是通过对于正方形的分割与拼接，就能得到直观的证明，英国佩里加尔就曾经这样命名了“水车翼轮法”（图2）．该证法是用线段，将正方形分割成四个全等的四边形，再将这4个四边形和正方形拼成大正方形（图3）．（1）若正方形的边长是6，，则正方形的面积为______，的长为______；（2）若的直角边分别用a、b来表示，则的长可以表示为______；（用含a、b的代数式表示）；（3）某学生发现这种无字证明不需要分割成四个全等的四边形，只需要在右图中画出这种互相垂直的分割线段，然后再将分割后的四边形进行平移拼接，例如四边形1平移到大正方形中1的位置，请你画出剩下的三个平移后的四边形，并用2、3、4分别表示．24.在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题：x……01234……y……a25b521……（1）写出表中a、b的值：______，______；描点、连线，在答题卡上所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）结合函数图象，下列说法正确的有______．（请填入所有正确结论的序号）①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；②该函数图象不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④若点，为该函数图象上不同的两点，则；⑤该函数图象与直线、以及x轴围成区域的面积大于14：（3）结合所画函数图象，直接写出不等式的解集是______．25.已知：如图1，等腰三角形中，．以A为顶点作，其中，．连接、，取的中点G，连接．（1）如图1，写出一个与相等的角______；（2）如图2，若，，且点D在边上，E在边上，直接写出______；（3）若，，①如图3所示，求与的数量关系；②在图4，图5中分别画出取最大值与最小值时的示意图，并直接写出的最值．（可用含m的代数式表示）26.在平面直角坐标系中，对于直线和直线，在上取一点，在上取一点，若，以，为邻边作菱形，则菱形为的相关菱形，称为的相关菱角，的对边称为的相关菱边．特别地，当时，直线，即直线，代表轴．例如：如图，，，，则菱形为的相关菱形，为的相关菱角，的对边为的相关菱边．（1）若菱形是的相关菱形，则的相关菱角的度数是______；（2）若菱形是的相关菱形，当点在的相关菱边上时，求的值；（3）当的相关菱边与（其中）的相关菱边都经过点时，直接写出的取值范围．参考答案一、选择题（每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1.【答案】B【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．【详解】解：A．，故不是最简二次根式，不符合题意；B．是最简二次根式，故该选项符合题意；C．，故不是最简二次根式，不符合题意；D．，故不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．2.【答案】C【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形三边的关系，由勾股定理的逆定理可得，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A.，不能构成三角形，不能构成直角三角形；B.，不能构成直角三角形；C.，能构成直角三角形；D.，不能构成直角三角形；故选C．3.【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质、分母有理化，根据二次根式的性质及分母有理化逐一判断即可求解，熟练掌握其性质是解题的关键．【详解】解：A、，则错误，故不符合题意；B、，则错误，故不符合题意；C、，则错误，故不符合题意；D、，则正确，故符合题意；故选D．4.【答案】A【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线性质解题即可．【详解】是公路的中点即两点间的距离为故选：A．5.【答案】A【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，逐一判断即可求解，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．【详解】解：A、两直线的交点坐标为，关于x，y的方程组的解是，则正确，故符合题意；B、一次函数的图象与x轴交于点，方程的解是，则错误，故不符合题意；C、两直线的交点坐标为，方程的解是，则错误，故不符合题意；D、两直线的交点坐标为，不等式的解集是，则错误，故不符合题意；故选A．6.【答案】B【分析】根据平行四边形的判定、菱形的判定、正方形和矩形的判定判断即可．【详解】解；A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原选项说法错误，不符合题意；B.有一个角是直角的平行四边形是矩形，说法正确，故此选项符合题意；C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原选项说法错误，不符合题意；D.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原选项说法错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定及矩形的判定的运用，解答时熟练的运用平行四边形、菱形的判定方法和正方形、矩形的性质是解答的关键．7.【答案】D【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．【详解】解：过点D作于点E，则，，∴，∵是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴正方形的面积是，故选D．8.【答案】D【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．得到，，进而得到，点M与点E，点H重合时，此时，的面积都为0，点M与点F，点G时重合，此时，的面积都为12，由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，由此即可解答．【详解】解：点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．，，，如图，连接，，当点M与点E，点H重合时，此时，三点再一条直线上，的面积都为0，当点M与点F时重合，此时，的面积为，当点M与点G时重合，此时，的面积为，由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，时，的面积先增大后减小，时，点M运动的路径是，点M运动的路径是．故选：D．二、填空题（每小题2分，共16分）9.【答案】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴x-1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10.【答案】②④【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为，则总人数为：，故该组数据的众数为14岁，中位数为：岁，即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数；故答案为：②④．11.【答案】①.②.【分析】本题考查了一次函数的图象，根据题意得，一次函数图象经过一、二、三象限，进而可求解，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．【详解】解：依题意得：，，故答案为：；．12.【答案】【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接，先证明，再证明四边形是矩形即可求证．【详解】连接，如图，∵四边形是正方形，∴，平分，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴四边形是矩形，∴，故答案为：．13.【答案】①.##②.【分析】本题考查了等腰三角形、三角形的三边关系定理、函数，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据等腰三角形的周长公式、三角形的三边关系定理即可得．【详解】由题意得：，得：，即y与x之间的函数关系式是；由三角形的三边关系定理得：，即，解得，故答案为：，．14.【答案】2.4【分析】首先证明，由全等三角形的性质得到，，然后用表示出AP、CG、BG，最后根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC，CD=AB，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=3﹣x，DG=x，∴CG=4﹣x，BG=4﹣（3﹣x）=x+1，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即32+（4﹣x）2=（x+1）2，解得：x=2.4，∴AP=2.4，故答案为：2.4.【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质．15.【答案】①.右②.3【分析】本题考查了一次函数图象的平移．设将直线向右平移m个单位所得直线的解析式为，再根据题意得到，据此计算即可求解．【详解】解：设将直线向右平移m个单位所得直线的解析式为，整理得，∵平移后的解析式为，∴，解得，将直线向右平移3个单位所得直线的解析式为，故答案为：右；3．16.【答案】【分析】题目主要考查动点函数图象，菱形的性质，勾股定理，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键．作，垂足为E，结合运动轨迹及运动图象得出，当时，y有最小值，此时点P和点E重合，得到，勾股定理求出，然后利用菱形面积公式求解即可．【详解】解：如图所示，作，垂足为E，∵四边形是菱形，∴，∴，由图象可得，，当时，y有最小值，此时点P和点E重合，∴，∴，，∴菱形的面积．故答案为：．三、解答题（共68分）17.【答案】（1）（2）【分析】本题考查了二次根式的混合运算：（1）根据二次根式的混合运算法则即可求解；（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解；熟练掌握其运算法则是解题的关键．【小问1详解】解：原式．【小问2详解】原式．18.【答案】见解析【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，首先得到，证明出，然后结合得到，进而证明即可．【详解】∵在中，∴∴∵∴∴又∵∴四边形是平行四边形．19.【答案】（1）见解析（答案不唯一）（2），12（3）见解析（答案不唯一）【分析】（1）利用网格的信息找到的中点O，利用平行四边形对角线互相平分以及C，D为格点画出即可．（2）结合网格利用勾股定理求出，，进一步求出的周长和面积即可．（3）利用网格的信息找到的中点E，连接即可．【小问1详解】解：如下为所求：【小问2详解】∵，，∴的周长是∶，的面积是：故答案为：，12．【小问3详解】如下：即为所求．【点睛】本题主要考查了利用网格画出平行四边形以及用无刻度尺画三角形的中位线，平行四边形的性质以及中位线的定义，并利用网格求平行四边形的面积以及周长．20.【答案】（1），，（2）①②【分析】本题考查了两个一次函数的交点问题，正确理解题意、熟练掌握一次函数的相关知识是关键；（1）先求出点B的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）①先求出点C，D的纵坐标，得到线段的长，利用计算即可解题；②解不等式，得到n的取值值范围即可解题．【小问1详解】解：把代入得，解得，∴，把和代入得：，解得，∴；【小问2详解】①当时，，，∴，∴；②解不等式得：，∴n的取值范围是．21.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，含角的直角三角形的性质和勾股定理，掌握举行的判定方法是解题的关键．（1）先根据平行四边形的性质得到，，然后根据，，得到，即可证明结论；（2）根据角的直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理解题即可．【小问1详解】证明：∵是平行四边形，∴，，又∵，∴，又∵，∴，∴四边形是矩形；【小问2详解】解：∵四边形是矩形，∴，，又∵，，∴，∴，∴．22.【答案】（1），（2）人（3）【分析】本题主要考查了频数分布表，中位数，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）根据频数分布表的数据即可求出m，根据中位数的定义即可求出n；（2）用乘以样本中南校区八年级本次H知识测试80分以上（含80分）的人数占比即可得到答案；（3）南校区八年级的中位数小于平均数，北校区八年级的中位数大于平均数，由此即可得到结论．【小问1详解】解：，把南校区八年级H知识测试得成绩排列后位于第位的数为，∴，故答案为：，；【小问2详解】解：人，答：南校区八年级本次H知识测试80分以上（含80分）有人．【小问3详解】解：∵南校区八年级的中位数小于平均数，北校区八年级的中位数大于平均数，∴南校区八年级测试得分高于他们的平均分的人数一定小于总人数的一半，北校区八年级测试得分高于他们的平均分的人数一定大于总人数的一半，∴．23.【答案】（1）16，（2）；（3）见解析【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，证明是解题的关键．（1）作于点，由题意，推出，在中，由勾股定理即可求解；（2）设，同（1）理，在中，，在中，，推出，解方程即可求解；（3）根据题意画出图形即可．【小问1详解】解：如图，作于点，∵将正方形分割成四个全等的四边形，∴，∴，即，∵正方形，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴，，∴正方形的面积为，故答案为：16，；【小问2详解】解：同（1），作于点，设，则，∴，在中，，在中，，∴，解得，不妨设，则，故答案为：；【小问3详解】解：如图所示：24.【答案】（1）,，画图见解析（2）①②④⑤（3）或【分析】本题考查了函数的三种表示方式，数形结合思想，不等式解集的确定，熟练掌握函数的表示方法是解题的关键．（1）根据函数的表达式，代入计算即可．根据画图像的步骤画出图象即可．（2）结合图象或表格的变化规律判断即可．（3）根据函数的表格方式，列表确定公共点，结合图象确定解集即可．【小问1详解】当时,当时,；画出函数的图象如图：故答案为:,；【小问2详解】根据函数图象：①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴；说法正确；②由于函数的图象在轴上方，即图象不过第三象限，说法正确；③当时，随的增大而增大；说法错误；④点，为关于轴对称，即，说法正确；⑤如图，图象与直线、以及x轴围成区域的面积大于黑色边框圈出的面