2024北京北师大二附中初二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京北师大二附中初二（下）期中数学一、选择题（共16分，每题2分）1.下列二次根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.2.在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，3.如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则（）A. B. C. D.4.下列运算中正确的是（）A. B.C. D.5.下列说法正确的是（）A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.有一个角是直角的矩形是正方形6.如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为（）A. B. C. D.7.把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是（）A.32 B.20 C.16 D.108.正方形的边长为，点，在对角线上（可与点，重合），，点，在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是菱形；③存在无数个四边形是矩形；④至少存在一个四边形是正方形．正确的结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（共16分，每题2分）9.函数中，自变量x的取值范围是_____．10.一辆车的电池有度电，该车行驶时每小时耗电度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间（小时）之间的函数关系式为_____，自变量的取值范围_____．11.如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为_____．12.如图，菱形的对角线相交于点，若，，则菱形的面积为______．13.古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深________尺．14.已知如图，在四边形中，，分别是的中点，则______15.甲、乙两车从地开往地，全程；所行的路程与时间的函数图象如图所示，下列问题：①乙车比甲车早出发；②甲车用追上乙车，此时乙车行驶；③乙车的速度小于甲车速度；④甲车跑完全程比乙车跑完全程少用；以上正确的序号是_____．16.如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．三、解答题（共68分）17.计算（1）；（2）；（3）．18.已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，且，求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．19.画出函数的图象．（1）列表：（2）描点并连线；（3）已知点在函数图象上，求出a的值；（4）观察上述图象：当x=时，y有最值，这个值是；（5）当时，y随x的增大而．20.已知：．求作：菱形．作法：如上图，①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点B，交于点C；②连接，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O；③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接；四边形就是所求作的菱形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵平分，∴．∵，∴四边形是平行四边形（）（填推理的依据）．∵，∴四边形是菱形（）（填推理的依据）．21.如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接．（1）求证：四边形为矩形；（2）若菱形的边长为4，，求的面积．22.为加深学生对宪法的认识和理解，提高法律素养和综合素质，西城区中学和二附西实初二年级于年春季学期，组织学生参加了宪法知识竞赛．王老师现从西城区中学和二附西实各随机抽取名初二学生的竞赛成绩，并进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成四个等级：），下面给出了部分信息：中学名学生的竞赛成绩：．西城实验学校名学生中等级所有学生的竞赛成绩：．年级平均数中位数众数方差中学二附西实根据以上信息．解答下列问题：（1）填空：，，；（2）根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个学校的成绩更好？请说明理由（至少从两个方面分析）；（3）若竞赛成绩不低于分的学生获“优秀少年”称号，中学共有名学生，二附西实共有名学生，请估计中学和二附西实学生中，获“优秀少年”称号的总人数．23.阅读材料，无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点（另一点已知），再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可．（1）图1、图2均为正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹．①如图1，点A、B为格点，画出线段的中点②如图2，点A、B、C为格点，作出；（2）借助（1）中画图的经验解决下面的问题：如图，已知平行四边形中，请仅用一把无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹．①如图3，点E、F分别在上，，连接，请在上画点O，使点O为的中点；②如图4，若，点E为上一点，请在上画点G，使；③如图5，在②的条件下，若，连接，点P为上一点，请以为边画一个菱形，你所画的菱形为．24.如图1，在正方形中，、分别在上，连接，过点作于点，交于点、且点为线段的中点．（1）①若，求．②求证：；（2）如图2，若点在正方形内，点在正方形外，且，其余条件不变，则还成立吗？说明理由．四、附加题（共10分，第25题4分，第26题6分）25.如图，将边长为的正方形压扁为边长为的菱形．在菱形中，的大小为，面积记为．（1）请补全上表；（2）填空：由（）可以发现边长是的正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着大小的变化．不妨把边长为，的菱形面积记为．由此可以归纳出；（3）两块相同的等腰直角三角形按图二的方式放置，，探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等？并说明理由．26.在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点，称为Ⅰ变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为Ⅱ变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ变换，又有点作了Ⅱ变换，我们就称该图形为双变换图形．例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ（2）变换，变换后的坐标是；点作Ⅱ（2）变换，变换后的坐标是．请解决下面的问题：（1）当时，①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是；②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标；（2）已知点，，①若线段是双变换图形，则的取值范围是；②已知点在第一象限，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1.【答案】C【分析】本题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、不能再化简了，故本选项符合题意；D、，故本选项不符合题意．故选：C．2.【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．【详解】解：A、，故不是直角三角形，此选项不符合题意；B、，故不是直角三角形，此选项不符合题意；C、，故是直角三角形，此选项符合题意；D、，故不是直角三角形，此选项不符合题意．故选：C．3.【答案】C【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，然后根据邻补角求出结果即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴．故选：C．4.【答案】D【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可．【详解】解：A、，选项错误；B、不能合并，选项错误；C、，选项错误；D、，选项正确；故选D．5.【答案】C【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误，本选项不符合题意；B、一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形不一定是菱形，原说法错误，本选项不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，本选项符合题意；D、有一个角是直角的菱形是正方形，原说法错误，本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，难度一般．6.【答案】A【分析】本题考查了正方形的性质，求出长是解题的关键．由正方形的性质可求的长，可得，由线段关系可求解．【详解】解：正方形的边长为，，，，，故选：．7.【答案】D【分析】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理全等三角形的判定与性质等知识，根据题意得出的长是解题关键，根据折叠的性质知：，可设为，用表示出和的长，进而在中求出的值，即可得到的长，进而可求出和梯形的面积，两者的面积差即为所求的的面积．【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，，由折叠可知，，，，设，则，在中，，，，由勾股定理得：解得：，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，故选：D．8.【答案】C【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论．【详解】解：①设正方形的对角线相交于点，若的中点恰好是点，则经过点任意一直线，分别与正方形的边，交于点，，通过正方形的性质对称性易得，则四边形是平行四边形，由于的任意性，则存在无数个四边形是平行四边形，故①正确；②过中点作垂线，分别与正方形的相邻两边交于，，根据正方形的对称性可得，，则四边形是菱形，由于的任意性，则存在无数个四边形是菱形；③如图，正方形中，作线段的垂直平分线交于点，交于点，∵，且当点M与A或者C重合时，四边形是正方形，也是矩形，存在个矩形∴不存在无数多个矩形，故③说法错误．④由②知存在菱形，故只需满足时，则四边形时正方形，此时与点重合即可，故存在至少存在一个四边形是正方形；故正确的结论序号是①②④，共3个．故选：C．二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，∴，故答案为．10.【答案】①.②.##【分析】本题考查了列函数关系式，根据电池的剩余电量等于电池总电量减去消耗电量，即可列出函数关系式．【详解】解：由题可知：该车行驶时每1小时耗电20度，电池的剩余电量y（度）与该车行驶时间x（小时）之间的函数关系式为：，∵∴解得：∴故答案为：，．11.【答案】【分析】本题考查三角形中位线定理．由三角形中位线定理得到，即可求解．【详解】解：∵和的中点、，米∴∴，故答案为：．12.【答案】【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．【详解】解；∵菱形的对角线相交于点，，，∴，故答案为：4．13.【答案】【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设水深尺，则芦苇的高度为尺，由勾股定理列出方程进行求解即可．【详解】解：设水深尺，则芦苇的高度为尺，由题意，得：，解得：，答：水深尺；故答案为：．14.【答案】【分析】根据中位线的知识，可证四边形是菱形，，，，在中，根据勾股定理得，由此即可求解．【详解】解：如图所示，谅解，与交于点，∵分别是的中点，∴在中，，，同理，在中，，，在中，，，在中，，，∴，∴四边形是菱形，∴，，，在中，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查中位线，菱形的综合，掌握中位线的性质，菱形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．15.【答案】①③##③①【分析】本题主要考查了一次函数的应用，利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所给数据结合图形逐个分析．【详解】解：①乙车比甲车早出发；由图可知，当时，乙车横坐标为，甲车横坐标为，故①正确；②甲车追上乙车时行驶了，由图可知，甲车用小时相遇，甲车追上乙车行驶的路程，故②不正确；③由图中可知乙车行驶全程所用时间比甲车多，则乙车速度小于甲车；故③正确；④甲车跑完全程比乙车跑完全程少用；甲车跑完所用时间小时；乙车跑完所用时间小时；甲车跑完全程比乙车跑完全程少用，故④错误；故答案为①③．16.【答案】．【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的半圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，∠ADE+∠DAF=90°∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=∵∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．∴BG的最小值为：．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．三、解答题（共68分）17.【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（）根据二次根式的乘除运算法则计算即可求解；（）利用二次根式的性质先化简，再合并即可求解；（）利用平方差公式、完全平方公式展开，再合并即可求解；本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式；【小问3详解】解：原式，．18.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）先根据平行四边形的性质推出，，利用线段的和差得到，证明，再利用全等三角形的性质可得出：；（2）根据全等三角形的性质得到，可得，根据平行线的判定得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．【小问1详解】解：证明：四边形是平行四边形，，，．，，，在和中，，．．【小问2详解】，，，，，四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，截图的关键是掌握证明两个三角形全等以及平行四边形的判定定理．19.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（4），小，（5）增大【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质；（1）分别将代入解析式，列表即可求解；（2）根据表格秒点画线；（3）将代入函数解析式，即可求解；（4）根据函数图象，即可求解．（5）根据函数图象，即可求解．【小问1详解】列表：【小问2详解】描点并连线如图所示，【小问3详解】∵在上∴解得：【小问4详解】根据函数图象可得：当时，有最小值，这个值是；【小问5详解】根据函数图象可得：当时，y随x的增大而增大20.【答案】（1）见解析；（2），对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先根据等腰三角形的性质得到，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后加上可判断四边形是菱形．【小问1详解】解：如图：∴四边形就是所求作的菱形．【小问2详解】证明：∵平分，∴，∵，∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵，∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故答案为：，对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．21.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题考查了菱形的性质和矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等；（1）利用菱形的性质得到，先判断四边形为平行四边形，再判断矩形；（2）分别求出和，再利用勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴平行四边形是矩形；【小问2详解】解：∵四边形菱形，∴，，，，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，由（1）得：四边形为矩形，∴，，平行∴．22.【答案】（1），，；（2）二附西实学生竞赛成绩更好，理由见解析；（3）名．【分析】()先根据众数的定义求出的值，再求出二附西实成绩在“组”所占的百分比，然后求出的值，最后根据中位数的定义求出的值即可；()通过平均数、中位数、众数、方差进行分析得出答案即可；()用样本估计总体即可；本题考查了扇形统计图、中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是解题的关键．【小问1详解】解：由题意可知，中学名学生成绩出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，即，二附西实成绩在“组”的有人，占，∴，二附西实名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置两个数都是在“组”，分别为，∴中位数是，即，故答案为：，，；【小问2详解】解：二附西实学生竞赛成绩更好．理由如下：二附西实和中学学生竞赛成绩平均数相同，但二附西实学生竞赛成绩的中位数、众数均高于中学的，且二附西实学生竞赛成绩的方差低于中学的，故二附西实学生竞赛成绩更好；【小问3详解】解：，答：估计中学和二附西实学生中，获“优秀少年”称号的总人数为名．23.【答案】（1）①图见解析②图见解析（2）①图见解析②图见解析③图见解析，【分析】（1）①取格点，连接，与的交点即为点；②连接，取的中点，连接，即为所求；（2）①连接，与的交点即为点；②连接，，和交于点，连接并延长，交于点，即为所求；③连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交与点，连接交于点，连接，则：菱形即为所求．【小问1详解】①如图所示，取格点，连接，与的交点即为点；由图可知：四边形为矩形，∴，∴点即为所求；②连接，取的中点，连接，如图所示，即为所求；由图可知：，∵点为的中点，∴平分；∴【小问2详解】①连接，与的交点即为点；∵平行四边形，∴，∵，∴，又，∴四边形为平行四边形，∴，∴为的中点；②连接，，和交于点，连接并延长，交于点，即为所求；∵平行四边形，，∴平行四边形为菱形，∴，，又，∴，∴，∵，∴，∴；③连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交与点，连接交于点，连接，则：菱形即为所求；∵，∴菱形为正方形，∴，，∴，又，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∴，同法可得：四边形为平行四边形，∵，∴平行四边形为菱形．【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．24.【答案】（1）①；②见解析（2）成立，证明见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，中位线的性质；（1）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得进而根据等边对等角可得根据三角形的外角的性质可得，进而根据，即可得出；②根据①的结论可得，根据正方形的性质可得，即可证明，根据全等三角形的性质，即可得证；（2）延长至，使得，连结，，设，根据得出，进而根据中位线的性质可得，得出，即可得出，证明，即可得