格林公式的讨论及其应用

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h格林公式的讨论及其应用摘要牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz)公式、格林（Green）公式、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是积分学中的几个非常重要的公式，分别建立了原函数与定积分、曲线积分与二重积分、曲线积分与三重积分、曲线积分和曲面积分之间的联系，它们除了在数学上用来计算多元函数的积分有很大用处之外，在其他的领域也有很多重要的应用。就这四大公式与物理学的相关内容展开，结合场论的相关内容，介绍它们在各个方面的应用，帮助人们更好地理解并且更准确地应用牛顿-莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。关键词：牛顿-莱布尼兹公式；格林公式；高斯公式；斯托克斯公式；应用DiscussionandapplicationofGreen'sformulaAbstractNewtonLeibnizformula,greenformula,GaussformulaandStokesformulaareseveralveryimportantformulasinintegralscience.Therelationsbetweentheoriginalfunctionandthedefiniteintegral,thecurveintegralandthedoubleintegral,thecurveintegralandthetripleintegral,thecurveintegralandthecurvedareaintegralareestablishedrespectively.TheyarenotonlyusedtocalculatemathematicallyTheintegralofmultivariatefunctionisveryuseful,butalsohasmanyimportantapplicationsinotherfields.BasedonthefourformulasandPhysicsrelatedcontent,combinedwiththefieldtheoryrelatedcontent,thispaperintroducestheirapplicationinvariousaspects,tohelppeoplebetterunderstandandmoreaccuratelyapplyNewtonLeibnizformula,greenformula,GaussformulaandStokesformula.Keywords:NewtonLeibnizformula;Greenformula;Gaussformula;Stokesformula;application目录TOC\o"1-3"\h\u24142一、引言 一、引言牛顿-莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式格林公式都反映了内部积分与边界积分之间的关系。牛顿-莱布尼兹公式也被称为微积分基本公式，表达了原函数与定积分之间的关系，在一维区域内应用。推广到曲线、曲面和空间区域，就是我们所说的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。格林公式作为多元函数积分学的基本公式之一，说明了平面区域上的二重积分可以通过其边界曲线上的曲线积分来表示。而高斯公式、斯托克斯公式与格林公式有着密切的联系，同样作为多元函数积分学的基本公式，这两个公式则更进一步分别揭示了曲线积分与三重积分、曲线积分与曲面积分之间的关系。这四个公式在数学上应用最为广泛，用于计算积分，但它们在其它的领域也有很多重要的应用。本文主要从这四个公式与物理学之间的联系作为出发点，结合旋度等场论方面相关的内容，展开介绍它们在其它方面的应用，包括在生活实践上的应用，来帮助人们更深刻地理解、应用公式，基于这些公式作出更多开创性的工作，为人类谋求更好的发展。牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式的应用牛顿-莱布尼兹公式简介在我们求解问题的实际计算过程中，用定义来计算定积分是比较困难的，关于这个问题，牛顿-莱布尼兹公式提供了更加简便的方法，该公式也揭示了被积函数的原函数与定积分之间的关系。定理：若函数在上连续，且存在原函数，则在上可积，则（1）公式（1）即为牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式。牛顿-莱布尼兹公式的物理意义牛顿-莱布尼兹公式作为微积分基本公式，从微分和积分的角度出发：微分是一个瞬时的“点量”，表现一种趋势；积分是一个时间延展的“积累量”，表现点量累积的效果。按照这种作用和效果，公式的物理意义是显而易见的：导数的积累效果导致了原函数的差值。牛顿-莱布尼兹公式在生活中应用例1老王开车正常行驶在道路上，驾驶速度为每小时72公里，突然有个人在前方55米左右处突然出现，准备横穿马路，为了避免撞到行人，老王需要减速停车，假设汽车以等加速度刹车，问老王能否刹车成功进而安全停车（忽略反应的时间）？解：先求从刹车开始到停车所用的时间：时，刹车后，汽车减速行驶，速度为由可得：所以整个过程汽车所走过的路程为：通过比较可以看出老王可以安全停车。从例题可以看出，牛顿-莱布尼兹公式可以作为解决实际生活中问题的工具，说明数学既来源于生活，也服务于生活。三、格林（Green）公式的应用（一）格林公式的简介定理：设闭区域由分段光滑的曲线组成，函数，在上连续，且有连续的一阶偏导数，则有：（2）这里为区域的边界曲线，取正方向。公式（2）叫做格林（Green）公式。该公式有使用条件：（1）区域是没有“洞”的单连通区域；如果是有“洞”的复连通区域，公式右端应该包含的全部边界曲线的积分；（2）曲线具有正向规定：当人沿边界行走时，区域总是位于它的左手边。（二）格林公式的物理原型1、物理原型在大学教材里，在学习格林公式的这部分内容时，书上都是先给出定理及其证明，然后给出举例和相关应用，初学者在看到格林公式展现的曲线积分与二重积分的关系总是那么赞叹不已，但是这里有一个疑问，对于曲线积分和二重积分有这种数量的关系这一想法，他们是怎么想到的呢？以下是对于这方面的介绍：流体物理学里，在流体中，质点间可以拥有不同的速度，但是对于每个质点，它的速度仅仅与位置有关，不会随时间变化而变化，这样的流动称为“平面稳定流动”。在该流动中,场内各点的速度为，下面来计算在单位时间内，流经曲线的流体体积(实际上是流过以为准线、高为的柱体的流体体积，简单用面积表示)，也就是流量密度，这里面的是平面上闭合并且无重点(对于曲线,当时，点与总是相异的）的光滑曲线。计算方法流体面积计算方法一在上任取一小段弧线,在时间内流过的流体面积与平行四边形的面积相似,一边的长度是，另一相邻边的长度是流程。因此面积为:(3)是的单位法向量，单位时间内流体面积为：。由曲线积分定义有：总的流体面，则（4）设为点处的切线，与轴夹角，所以（5）流体面积计算方法二计算单位时间的流场中的每一个微元散发出的流体的面积:在曲线围绕的平面区域内，任意选取其中一个微元，单位时间内从左侧(轴方向)流入的流体面积近似于，从右侧流出的流体面积近似于（为偏增量的近似)。因此这个微元在单位时间内沿着方向(净)散发出去的流体面积近似于，同理沿着方向（净）散发出去的流体面积近似于。计算单位时间的流场中流体的面积总和：，由重积分的定义得：（6）由上述两种计算方法可得：（7）这是场论中最根本的公式，即格林公式的原型。（三）格林公式在生活中的应用课堂教学一般教授格林公式解决数学或物理学方面的应用，比较少涉及到实际生活，比如它提供了有效方法计算平面区域面积。1.曲线积分计算平面区域面积当式(2)的二重积分部分的被积函数为常数时，可以通过右端关于坐标的曲线积分来计算封闭曲线所围成的平面区域的面积，即若,则有（8）由此可以看出，只要构造合适的和，就可以运用上的曲线积分来计算它包围的区域的面积。2.GPS面积测量仪的数学原理平面区域面积的精确计算，如果用边界曲线方程结合格林公式等积分方法就比较难，因为方程的得到很困难。，然而GPS面积测量仪的使用，就这方面问题给出了相对简捷的解决办法，主要的操作就是拿着它绕着平面区域行走一周。设由边界曲线围成的区域和GPS测量仪记录的点如图1所示，各点的平面坐标为。图SEQ图\*ARABIC1目标区域与记录点位置通过（7）(8)式子我们知道：若闭合曲线方程已知，封闭区域的面积转换为曲线积分计算；若闭合曲线的方程未知，则利用微元法，封闭曲线近似为有向线段的并，其中，即（9）从而有（10）其中，。四、高斯（Gauss）公式的应用高斯公式是数学中我们所熟知的多元函数积分学公式，场是物理学中的重要概念，其中电场、万有引力场都是我们熟悉的场，他们都是保守场，结合这些内容，首先一步步推导电场中的高斯定理，进而利用类比的科学研究方法，推导出万有引力场中的类比高斯定理公式，并且就这两场的的高斯定理的应用进一步阐述。（一）高斯公式的简介为积分学公式的进一步深入，下面学习高斯公式的相关内容。定理：设（1）是分片光滑闭曲面，是围成的空间闭区域；（2）取外侧；（3）函数,,在上连续,具有一阶连续偏导数，则（11）或（12）这里是上点处的法向量的方向余弦。公式（11）（12）称为高斯（Gauss）公式。高斯公式的实质：表达了空间闭曲面上的曲线积分与曲面所围空间区域上的三重积分的关系。散度的概念：设为空间区域上上的向量函数，对上的每一点，定义数量函数，称它为向量函数在处的散度，记作。设为曲面的单位法向量，则就称为曲面的面积元素向量。于是高斯公式就可以写成下面向量形式：（13）引进符号向量，把它当做运算符号看待时，向量场的散度的向量形式是,高斯公式又可以写作：(14)数学意义为：矢量场中闭合曲面所围体上每一点的三重积分和与经由曲面的流量相等。（二）保守场数学里的保守场就是：在保守场中的曲线积分，它只与起点和终点有关，与路径无关。与保守场密切相关的概念有路径无关和无旋矢量场，展开解释说明就是任意一个保守场都是旋度为零且具有与路径无关的性质。矢量场为保守场的充分必要条件是：（15）在物理中，电场力、万有引力都是保守力，从起始点到终点所做的功，都是与路径无关的，不会因为路径的不同而改变，即：和（16）根据斯托克斯定理：得出和，由此对比上面的充分必要条件，可以知道电场、万有引力场都是保守场。（三）高斯公式在电场中的运用利用高等数学中的高斯公式在大学物理静电学的推导，可以得到电场中的高斯定理，它是由库仑定律直接导出的，是物理学中电学部分的重要定理之一，反映了电场的基本属性。如果是任意封闭曲面（通常叫高斯面），则电通量：。假设在真空中有一个正的点电荷，发出的电场线不会中断，所以与发出的电场线垂直的有效曲面，始终是一个球面。以点电荷所在的地方为中心，r为半径，做一个包围它的球面，则有：。设闭合曲面内的电荷总数为，则有：（17）这就是真空中静电场的高斯定理，它可以表述为：通过任意一个闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的所有电荷的代数和除以，与闭合曲面外的电荷没有关系。电荷中的静电力符合库仑定律，所以高斯定理也依赖于电荷间作用力的平方反比律。高斯定理在电场中主要就是用来求场强的分布，虽然在定理的描述中说封闭曲面是任意的，但在由于受数学水平的限制，在求解过程中对于场的分布是有一定要求的，需要在这个场中的电荷分布有高对称性，如果电荷不对称导致场强不对称就无法用高斯公式解决场强分布问题，不过高斯定理仍然是成立的。在用定理求场强分布是，确定了对称的电荷分布和对称的场强分布后，还需要选取合适的高斯面，一般为无厚度几何面，选取原则：高斯面形状是最简单的几何体；所求场强的场点在高斯面上；高斯面要么与垂直，要么与平行；与垂直的部分高斯面上各点场强应相等。高斯面高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。例2求一个均匀带正电球体内外的电场强度分布，设球体带电总量为，球体半径为，如图2所示。图SEQ图\*ARABIC2带电量为Q的球体（虚线为高斯面）分析：当根据电场强度的叠加原理将带电体系划分为无限电荷元时，每个电荷元被作为点电荷，则所有电荷元产生的电场要积分求和的话，就要用到三重积分，显然是比较复杂的。想要简单快速求解就要用到高斯定理，题目给到的已知条件是均匀带点球体，所以说电荷均匀分布在球面上，其电场分布具有球对称性。解：在球面外任取一点，过点做一个半径为的球面作为高斯面，因为球面上各点的法线方向与场强方向一致，所以通过该球面的电通量为：（18）此时，该球面包围的电荷为：（19）根据高斯定理可得：（20）点的电场强度为：（19）对于球内任一点，同样过作一半径为的球形高斯面，通过该球面的电通量为：（21）此时，该球面包围的电荷为：（22）由高斯定理可得：（23）此时必有：（24）（四）高斯定理在万有引力场中的应用万有引力是自然界普遍存在的弱相互作用力，相比与和静电力有关的的静电场，与万有引力有关的场是万有引力场场，这两个力都是保守力，形成的场也都是保守场，还是有源场。比较万有引力定律与库仑定律的数学表达式，发现他们具有相似的表达形式，都遵循平方反比定律，而且静电场中的高斯定理是反平方定律的必然结果，所以把万有引力场同静电场类比，得到任意闭面内的万有引力场强通量：，所以万有引力场中的类比高斯定理公式为：（25）与静电场中的高斯定理具有类似的形式。该公式它可以表述为：对任意闭合曲面S的引力场强的通量等于该曲面内所包围的总质量除以，负号表示吸引力。电场中面对具有严格对称性的电荷分布时，使用高斯定理是一个便捷有效地方法，所以高斯定理在静电场中有着重要的地位，同样的，在万有引力场中面对具有严格对称性的质量分布时，运用类比的高斯定理公式进行求解会便捷许多。例3一个密度（密度为半径的函数）关于球对称分布的大球，如图3所示，求球外质点受到的引力大小？图SEQ图\*ARABIC3对称质量分布的大球与封闭的球面分析：对球外质点的吸引作用就好像球质量集中在球心一样，如果直接应用万有引力定律，就要把大球细分成薄的球壳,球壳再细分成圆环，圆环又细分成质元,再应用质点间的万有引力定律，结合矢量迭加原理证明，但计算复杂，则想到运用类比的高斯定理公式解答。解：已知对称质量分布的大球密度为，质量为，半径为，球心为，球外质点在距球心距离为的点，现以为圆心，为半径，作一封闭的球面，由（26）得（27）根据球的对称性知：，（28）由知球外质点受到的引力大小为：（29）五、斯托克斯（Stokes）公式的应用（一）斯托克斯公式简介斯托克斯公式是曲面积分情况下微积分基本公式的扩展，它也是格林公式的扩展，该公式在曲面块上的第二类曲面积分与边界曲线上的第二类曲线积分之间建立了联系。右手法则右手四指沿着边界曲线的方向,大拇指所指的就是曲面的正向边界，如图所示：图SEQ图\*ARABIC4定理叙述设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线，的方向与的法向量符合右手法则，则（30）公式（29）称为斯托克斯（Stokes）公式。当曲面S是面上的一块平面闭区域时，斯托克斯公式就变成格林公式，所以格林公式是斯托克斯公式的特殊情况，斯托克斯公式是格林公式从平面到空间的推广。（二）Stokes公式中P、Q、R的物理意义有前面公式物理意义的铺垫，下面我们就对斯托克斯公式中P、Q、R的物理意义进行阐述，让大家对斯托克斯公式有更清晰地理解。对物理学中任意一个矢量场，它的分量表示，它可以是电场，也可以是大气环流场等等。这样子的一个任意矢量场,它沿着任意闭曲线的环流和以为边界的区域面积分之间的关系，应该遵循斯托克斯公式给出的运算法则。求任意矢量场的环流，能够导出如下关系式：（31）导出的关系式与斯托克斯公式左边有完全相同的形式。将斯托克斯公式得到的关系式（32）与斯托克斯公式的数学表达式进行比较，有：，，（33）从而：（34）所以，斯托克斯公式中的P、Q、R在矢量场的问题中可以用某一个物理量在三个方向上的分量表示，进而给出了斯托克斯公式中P、Q、R的物理意义。旋度与环流量设为空间区域上的向量函数。对上每一点，定义向量函数（35）称它为向量函数在处的旋度，记作：(36)设是曲线的正向上的单位切向量的方向余弦，向量称为弧长元素向量，于是斯托克斯公式就可