《空间直线方程》课件

空间直线方程空间解析几何中的重要内容掌握空间直线的各种表示方法课程目标掌握空间直线方程理解各种表示方法及其几何意义学会方程转换灵活运用不同方程形式解决问题应用到实际问题空间直线的概念定义空间中一维图形特征无限延伸、无粗细确定条件一点和一个方向空间直线的几何表示点-方向表示一个点加一个方向向量两点表示通过两个不同点确定两平面交线两个不平行平面的交线空间直线方程的类型一般方程两平面交线形式对称式方程各坐标表达式相等参数方程引入参数表示向量方程位置向量与方向向量两点式方程通过两点确定1.空间直线的一般方程两平面相交两个不平行平面必相交于一条直线方程组表示两个平面方程联立一般式{A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0{A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0一般方程的定义1平面方程Ax+By+Cz+D=02两平面交线两个不平行平面的交线是空间中的一条直线3一般方程{A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0{A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0一般方程的特点几何直观体现了两平面相交的几何事实不唯一性同一直线可有无数组平面方程判别条件两平面法向量不平行计算复杂性某些问题求解不便一般方程的示例已知条件直线通过点(1,2,3)且垂直于平面2x-y+3z=0确定平面第一个平面：过点(1,2,3)且法向量为(2,-1,3)2(x-1)-(y-2)+3(z-3)=0第二个平面任选一个过该点且不平行于第一个平面的平面如x=1得到方程组{2x-y+3z-9=0{x=12.空间直线的对称式方程1基于点-方向表示已知点和方向向量2各坐标等比例变化三个坐标的变化率相等3对称式表达(x-x₀)/m=(y-y₀)/n=(z-z₀)/p对称式方程的定义1方程表示(x-x₀)/m=(y-y₀)/n=(z-z₀)/p2已知条件点P₀(x₀,y₀,z₀)和方向向量s=(m,n,p)3几何意义从P₀点出发，三个坐标按比例m:n:p变化对称式方程的特点方向明确直接体现方向向量分母不为零方向向量分量不能全为零简洁变换容易转换为参数方程特殊情况某分量为零需特殊处理对称式方程的示例(2,3,1)已知点P₀坐标(3,1,2)方向向量s=(3,1,2)(x-2)/3对称式(x-2)/3=(y-3)/1=(z-1)/23.空间直线的参数方程1引入参数t用单一参数表示点在直线上的位置2参数意义表示点沿直线运动的比例系数3方程形式x=x₀+mty=y₀+ntz=z₀+pt参数方程的定义参数表达x=x₀+mt,y=y₀+nt,z=z₀+pt已知条件点P₀(x₀,y₀,z₀)和方向向量s=(m,n,p)参数范围t∈(-∞,+∞)参数方程的特点直观性表示点随参数变化的轨迹t=0时位于起点P₀t增大时沿方向向量移动灵活性便于研究直线上的点可计算特定参数值对应点可确定特定点的参数值应用广泛在应用领域优势明显计算机图形学常用物理运动学分析常用参数方程的示例已知条件直线通过点(1,-2,3)，方向向量为(2,4,-1)代入公式P₀=(1,-2,3),s=(2,4,-1)写出方程x=1+2ty=-2+4tz=3-t验证t=0时得到P₀点t=1时得到点(3,2,2)4.空间直线的向量方程向量表示用位置向量表示空间点1方程形式r=r₀+ts2几何意义从r₀开始沿s方向移动3便捷性运算简洁，形式统一4向量方程的定义基础概念用向量形式表示空间直线方程表示r=r₀+ts，其中t为参数向量含义r₀是定点位置向量s是直线方向向量r是直线上任意点位置向量向量方程的特点形式简洁一个方程表达三维信息计算便利向量运算简化问题易于转换与参数方程直接对应高级应用在物理和工程中广泛使用向量方程的示例1已知条件直线通过点(2,0,3)且方向向量为(1,2,-1)2确定向量r₀=(2,0,3)s=(1,2,-1)3向量方程r=(2,0,3)+t(1,2,-1)4展开形式r=(2+t,2t,3-t)5.空间直线的两点式方程基本原理两点确定一条直线利用两点坐标构建方程方程形式(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)=(z-z₁)/(z₂-z₁)几何意义经过两点的直线上各点坐标满足等比关系两点式方程的定义已知两点P₁(x₁,y₁,z₁)和P₂(x₂,y₂,z₂)方向向量s=(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁)方程形式(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)=(z-z₁)/(z₂-z₁)两点式方程的特点直观几何意义直接体现两点确定直线分母不为零要求两点各对应坐标不相等特殊处理若某分量相等，需特殊表示转换灵活易于转为对称式或参数式两点式方程的示例已知条件直线通过点P₁(1,2,3)和P₂(4,0,5)计算方向向量s=(4-1,0-2,5-3)=(3,-2,2)代入公式(x-1)/3=(y-2)/(-2)=(z-3)/2化简(x-1)/3=(y-2)/(-2)=(z-3)/2方程之间的转换一般方程两平面方程组对称式方程三个分式相等参数方程三个坐标的参数表示向量方程位置向量表示两点式方程通过两点表示一般方程转对称式方程一般方程{A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0{A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0求方向向量s=(n₁×n₂)s=(|B₁C₁|,|C₁A₁|,|A₁B₁|)(|B₂C₂||C₂A₂||A₂B₂|)求直线上一点解方程组得一特解P₀(x₀,y₀,z₀)对称式方程(x-x₀)/m=(y-y₀)/n=(z-z₀)/p对称式方程转参数方程1对称式方程(x-x₀)/m=(y-y₀)/n=(z-z₀)/p=t2引入参数t令(x-x₀)/m=(y-y₀)/n=(z-z₀)/p=t3分别求解x-x₀=mty-y₀=ntz-z₀=pt4参数方程x=x₀+mty=y₀+ntz=z₀+pt参数方程转向量方程1参数方程x=x₀+mty=y₀+ntz=z₀+pt2构造向量位置向量r₀=(x₀,y₀,z₀)方向向量s=(m,n,p)3向量方程r=r₀+tsr=(x₀,y₀,z₀)+t(m,n,p)两点式方程转其他形式1其他方程对称式、参数式、向量式2方向向量s=P₂-P₁=(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁)3两点式方程(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)=(z-z₁)/(z₂-z₁)空间直线的方向向量表示方向指示直线的走向不唯一性同比例向量表示相同方向基础作用构建各种直线方程的核心要素计算应用用于求解夹角、垂直性等问题方向向量的定义基本概念平行于直线的非零向量表示形式s=(m,n,p)，其中m,n,p不全为零几何意义指示直线的空间方向确定直线的"指向"方向向量的性质成比例性k·s与s表示相同方向1非零性至少有一个分量不为零2平行判定方向向量平行则直线平行3垂直判定方向向量垂直则直线垂直4方向向量的计算从对称式计算(x-x₀)/m=(y-y₀)/n=(z-z₀)/p方向向量s=(m,n,p)从参数方程计算x=x₀+mt,y=y₀+nt,z=z₀+pt方向向量s=(m,n,p)从两点式计算已知P₁(x₁,y₁,z₁)与P₂(x₂,y₂,z₂)方向向量s=(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁)从一般式计算两平面法向量的叉乘s=n₁×n₂空间直线的方向数和方向余弦方向数方向向量的三个分量m,n,p方向余弦单位方向向量的分量cosα,cosβ,cosγ关系式cos²α+cos²β+cos²γ=1cosα=m/|s|,cosβ=n/|s|,cosγ=p/|s|方向数的定义和计算方向数定义方向向量s=(m,n,p)的三个分量计算方法从直线方程中直接提取几何意义表示直线沿三个坐标轴的变化率方向余弦的定义和计算定义直线与坐标轴正方向的夹角余弦值cosα,cosβ,cosγ计算公式cosα=m/√(m²+n²+p²)cosβ=n/√(m²+n²+p²)cosγ=p/√(m²+n²+p²)性质cos²α+cos²β+cos²γ=1表示单位向量的三个分量空间直线的位置关系平行直线的判定方向向量平行s₁//s₂数学表达s₁=λs₂(λ≠0)判定条件m₁/m₂=n₁/n₂=p₁/p₂几何意义两直线在空间中保持相同方向相交直线的判定基本概念两直线有一个公共点判定方法两直线的一般方程联立有解向量表示r₁=r₁₀+t₁s₁r₂=r₂₀+t₂s₂存在t₁,t₂使r₁=r₂必要条件方向向量不平行两直线在同一平面内异面直线的判定0公共点没有交点≠0混合积(s₁×s₂)·(r₁₀-r₂₀)≠03维度无法在同一平面内垂直直线的判定基本条件方向向量垂直数学表达s₁·s₂=0分量表示m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0几何意义两直线所成角度为90°空间直线的夹角定义两直线方向向量的夹角取值范围0°≤θ≤90°计算方法利用向量的点积公式夹角的定义几何定义两直线所成的最小角度数学定义两直线方向向量间的夹角取值范围θ∈[0°,90°]不考虑方向，取锐角或直角夹角的计算公式1夹角公式cosθ=|s₁·s₂|/(|s₁|·|s₂|)2分量表示cosθ=|m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂|/√[(m₁²+n₁²+p₁²)(m₂²+n₂²+p₂²)]3单位向量简化若使用单位方向向量，则cosθ=|e₁·e₂|夹角计算示例已知条件L₁:方向向量s₁=(1,2,2)L₂:方向向量s₂=(2,1,-1)计算点积s₁·s₂=1×2+2×1+2×(-1)=2+2-2=2计算模长|s₁|=√(1²+2²+2²)=√9=3|s₂|=√(2²+1²+(-1)²)=√6代入公式cosθ=|2|/(3×√6)=2/(3×√6)≈0.272θ≈74.2°空间直线与平面的位置关系直线与平面平行的判定基本条件直线方向向量与平面法向量垂直1数学表达s·n=02分量形式mA+nB+pC=03几何意义直线在平面内或与平面平行4直线与平面相交的判定1基本条件直线方向向量与平面法向量不垂直2数学表达s·n≠03分量形式mA+nB+pC≠0直线与平面垂直的判定基本条件直线方向向量与平面法向量平行数学表达s=λn(λ≠0)分量形式m/A=n/B=p/C(A,B,C不全为0)几何意义直线与平面成90°角直线与平面的夹角1夹角定义直线与其在平面上的射影的夹角的余角2计算公式sinθ=|s·n|/(|s|·|n|)3分量表示sinθ=|mA+nB+pC|/√[(m²+n²+p²)(A²+B²+C²)]点到直线的距离几何意义点到直线的最短距离点与直线所在直线垂直向量表示d=|PQ×s|/|s|其中P为直线上一点，Q为给定点，s为方向向量距离公式的推导已知条件直线L:r=r₀+ts点Q(x₀,y₀,z₀)向量PQPQ=Q-P=(x₀,y₀,z₀)-(x,y,z)垂直分解PQ=PQ_∥+PQ_⊥其中PQ_∥平行于s，PQ_⊥垂直于s距离公式d=|PQ_⊥|=|PQ×s|/|s|距离计算示例1已知条件直线L:(x-1)/2=(y-3)/(-1)=(z-2)/2点Q(2,1,3)