2025年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)培优专题02数列(8大题型)(学生版+解析)

培优专题02数列题型1裂项相消复杂型①等差型（1）（2）（3）②根式型（1）（2）（3）③指数型（1）（2）（3）④等差裂和型形如型，如果，则可以分子裂差：一、解答题1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且.(1)写出等差数列的通项公式和求和公式.(2)求；(3)若，记数列前项和为2．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数，点在曲线上，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)设，记，求．3．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：．4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和5．（24-25高三上·河北·期末）数列满足：，.(1)求数列通项；(2)恒成立，求m最小值.6．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.(1)求；(2)设求数列的前项和．题型2错位相减法一、错位相减法求数列的前n项和（1）适用条件若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．（2）基本步骤（3）注意事项①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；一、解答题1．（2025·新疆·二模）已知数列的前项和为，且是等差数列，，．(1)求的通项公式；(2)记，求．2．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知数列的首项为且.(1)求的通项公式；(2)若求数列的前项和．3．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设数列的前项和满足：．(1)求数列的通项；(2)设数列的前项和为，若，求实数的取值范围．4．（24-25高三下·山西·阶段练习）数列满足．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．5．（2025·江西萍乡·一模）已知数列，满足，其中.(1)若，，求；(2)若，，求数列的前n项和；(3)若，证明：.题型3并项求和法并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．一、解答题1．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）记为数列的前项和，已知.(1)求，并证明是等差数列；(2)求.2．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列前项的和.3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．4．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列，其前n项和为，满足.(1)求数列的通项公式以及；(2)若，求题型4倒序相加法将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．一、解答题1．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)求的值.2．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前2024项和.3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）记为数列的前项和，已知：，（）．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求和：．题型5奇偶数列问题1、常见类型①，求的值；则②，求的值（1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则（2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则2、其他类型①数列中连续两项和或积的问题：或②含有类型一、解答题1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．2．（24-25高三下·福建福州·阶段练习）已知为数列的前项和，为数列的前项和，.(1)求的通项公式；(2)若，求的最大值；3．（2024·广东韶关·二模）已知数列的前n项和为，，，．(1)证明：；(2)设，求数列的前2n项和．4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差且恰为等比数列的前三项．(1)求数列与的通项公式：(2)若数列满足：求数列

前n项和;(3)求的前n项和5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)证明：当时，．题型6插入数或项构成新数列问题1、插入数构成等差数列在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解个数构成等差数列，公差记为，所以：2、插入数构成等比数列在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解个数构成等比数列，公差记为，所以：3、插入数混合型混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。一、解答题1．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由.2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足(1)求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和.3．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列的前n项和为，(1)求数列的通项公式;(2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知是公比大于0的等比数列，且，.(1)求的通项公式；(2)求的前项和；(3)若，在与之间插入个，得到一个新数列.是否存在正整数，使得数列的前项之和?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.5．（24-25高三下·山东德州·开学考试）已知数列的前项和为满足，且，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数）题型7数列与不等式交汇一、解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：1、数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；2、解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；3、不等关系证明中进行适当的放缩．二、常见放缩公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．（7）；（8）．一、解答题1．（2025·四川巴中·一模）已知数列的通项公式为.(1)求证：；(2)令，证明：.2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，设数列的前项和，求证：.3．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：；(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．4．（24-25高三上·河南安阳·期末）已知数列满足，且.(1)证明是等差数列，并求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和；(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.5．（2025·云南昆明·一模）已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式；(3)若，求的取值范围.6．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）设数列的前项和为，(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设，求证：题型8数列中的新定义问题数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.一、解答题1．（2025·山西吕梁·一模）若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.(1)若数列为“-数列”，写出所有可能的；(2)若“-数列”中，，求的最大值.2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列．(1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列．(2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为．(3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式．3．（2025·江西九江·一模）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列．(1)若，写出一个数列(2)若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列：(3)若数列是等差数列，求的最小正整数．4．（2025·山东聊城·一模）若各项为正数的无穷数列满足：对于都有，其中为非零常数，则称数列为“平方等差数列”.(1)判断无穷数列和是否是“平方等差数列”，并说明理由；(2)若是“平方等差数列”.（ⅰ）证明：存在正整数，使得不等式成立；（ⅱ）证明：存在正整数，使得.5．（24-25高三下·北京·开学考试）设数列：，已知，定义数表，其中.(1)若，写出；(2)若A，B是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”；(3)若数列A与B中的1共有n个，求证：数表中1的个数不大于．培优专题02数列题型1裂项相消复杂型①等差型（1）（2）（3）②根式型（1）（2）（3）③指数型（1）（2）（3）④等差裂和型形如型，如果，则可以分子裂差：一、解答题1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且.(1)写出等差数列的通项公式和求和公式.(2)求；(3)若，记数列前项和为【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接写出通项公式和求和公式即可；（2）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而写；（3）应用裂项相消法求和即可.【详解】（1）,（2）设公差为，结合题设有，解得，故.（3）由（2）有，故.2．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数，点在曲线上，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)设，记，求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将点代入，化简推出，利用等差数列的定义即可证得；（2）由（1）求出数列的通项公式，继而求得数列的通项公式，推出，通过裂项相消法求出.【详解】（1）因为点在曲线上，所以，且，，故数列是首项为1，公差为4的等差数列．（2）由（1）知，则．因为，所以，则，故．3．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见详解【分析】（1）分析可知数列为常数列，即可得数列的通项公式，根据前n项和与通项公式之间的关系可得数列的通项公式；（2）由（1）可知：，利用裂项相消法求，进而分析证明.【详解】（1）因为，可得，即，可知数列为常数列，则，所以；又因为，则有：若，可得；若，则，两式相减得；且符合上式，所以.（2）由（1）可知：，可得，显然，所以.4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）由的关系作差得到，通过构造即可求证；（2）由（1）得到，裂项相消求和即可；【详解】（1）由题意，当时，，得，，当时，，①，②①-②得，因为，所以则，，，所以是以为首项，3为公比的等比数列.所以，则（2）由，则，所以的前n项和5．（24-25高三上·河北·期末）数列满足：，.(1)求数列通项；(2)恒成立，求m最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用已知求，，构造，两式相减得：，又构造，两式相除得：，得出通项公式；（2）由裂项相消:，求和即可.【详解】（1）由，，两式相减得：，时，符合等式，故，，两式相除得：故n为奇数时，n为偶数时，综上，对任意，.（2）由故，最小值为.6．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.(1)求；(2)设求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别令、，根据韦达定理和等差数列的通项公式计算即可求解；（2）由（1）求出，根据韦达定理求得，进而，结合等差数列前项和公式和裂项相消法计算即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为.当时，是方程的两根，由韦达定理得，①当时，是方程的两根，由韦达定理得，②由①②，解得；（2）由（1）知，所以，则，对于方程，由韦达定理得，即，所以，所以.题型2错位相减法一、错位相减法求数列的前n项和（1）适用条件若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．（2）基本步骤（3）注意事项①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；一、解答题1．（2025·新疆·二模）已知数列的前项和为，且是等差数列，，．(1)求的通项公式；(2)记，求．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）分和，结合得到数列是等比数列，利用裂项相消得到数列的公差，进而得到通项公式；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，所以当时，解得，当时，解得，由可知，即，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，设等差数列的公差为，则，解得，又因为，故；（2）①，②，①-②，得，即．2．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知数列的首项为且.(1)求的通项公式；(2)若求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意利用累加求和即可；（2）利用错位相减法求出结果即可．【详解】（1）两边同时除以可得则累加可得则经检验也适合上式，所以（2）由（1）可知数列的前项和则①②由两式相减①-②可得：故．3．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设数列的前项和满足：．(1)求数列的通项；(2)设数列的前项和为，若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系可得，解得，再根据等差数列的定义求解即可；（2）利用错位相减法求出，再结合一元二次函数的图象和性质求解即可.【详解】（1）由可得当时，，所以，解得，所以，又，解得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，解得，当时，满足，故.（2）由（1）可得，所以①，②，①②得，所以，若，即，整理得对恒成立，当时，恒成立，当时，对于一元二次方程在处取得最小值，所以只需即可，解得，综上实数的取值范围为.4．（24-25高三下·山西·阶段练习）数列满足．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）计算，根据等比数列的定义得证；（2）由（1）得，利用分组求和和错位相减法求和.【详解】（1）因为，且，所以数列是等比数列．（2）由（1）得数列是等比数列，且公比，所以，故．所以．故,令,,两式相减得,所以,即.5．（2025·江西萍乡·一模）已知数列，满足，其中.(1)若，，求；(2)若，，求数列的前n项和；(3)若，证明：.【答案】(1)90(2)(3)证明见解析【分析】（1）应用已知分组求和计算即可；（2）应用错位相减法计算求和；（3）先做差再应用等比数列求和，再做差证明即可.【详解】（1）由题意，当时，，因为，所以，当时，，两式相减，可得.所以.（2）当时，，因为，所以，所以，设的前项和为，则，两式相减得，所以.（3）根据题意有，，所以，则，因为，所以：令，则，所以，所以，所以.题型3并项求和法并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．一、解答题1．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）记为数列的前项和，已知.(1)求，并证明是等差数列；(2)求.【答案】(1)，证明见解析(2)【分析】（1）直接代入可得，再代入，结合的值求出；再由仿写出，作差后得到，即可证明结果.（2）由（1）知数列为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可.【详解】（1）已知，当时，；当时，，所以.因为①，所以②.②-①得，，整理得，所以（常数），，所以是首项为6，公差为4的等差数列.（2）由（1）知，.所以.2．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列前项的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果.（2）根据题意，由（1）可得数列的通项公式，然后由并项求和法代入计算，即可得到结果.【详解】（1）①当时，或（舍去），②当时，，，上述两式相减，整理得，又，所以，所以是以3为首项，公差为4的等差数列，.（2）由（1）知，所以，.3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用数列前项和与的关系求的通项公式.（2）先求出的表达式，再根据其特点进行求和.【详解】（1）当时：已知，那么，所以.当时：，先展开式子.则，所以.当时，，上式也成立.所以.（2）已知，把代入可得：.可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的.所以.4．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列，其前n项和为，满足.(1)求数列的通项公式以及；(2)若，求【答案】(1)；(2)【分析】（1）由，结合可得答案；（2）由（1）可得时，，然后当，时，可得，其中为小于的最大整数，据此可得当，其中时，可得，最后由分组求和可得答案.【详解】（1），则，因.则两式相减得：.又各项均为正数，则.又时，，则是以1为首项，公差为2的等差数列，则，；（2）由（1）时，，则.则，当，设，注意到，其中为小于的最大整数.则当，其中时，.则当时，.又注意到时，.则.【点睛】关键点睛：对于较复杂数列的求和，可适当引入参数，也可适当分组，从而将较复杂数列转化为已学习过数列的组合.题型4倒序相加法将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．一、解答题1．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式.（2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；.（3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解.【详解】（1）由数列满足：，当时，可得，两式相减，可得，所以，当，可得，所以，适合上式，所以数列的通项公式为.（2）由数列满足，则.（3）由（2）知，可得，则，两式相加可得，所以.2．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前2024项和.【答案】(1)(2)1012【分析】（1）由题意得，再利用可求出，（2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果.【详解】（1）因为点均在函数的图象上，所以，当时，，即，当时，，因为满足上式，所以；（2）因为，所以，因为，所以，所以①，又②，①+②，得，所以.3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）记为数列的前项和，已知：，（）．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求和：．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）根据，利用等差数列定义即可得证，并结合与的关系式，求出.（2）利用前项和的倒序相加法，结合组合的性质即可求出结果.【详解】（1）由，有，又，故，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，故，两式相减得，即，所以，因此的通项公式为．（2）设，则由（1）知，又，两式相加得：，因为，，，所以.题型5奇偶数列问题1、常见类型①，求的值；则②，求的值（1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则（2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则2、其他类型①数列中连续两项和或积的问题：或②含有类型一、解答题1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可求得，进而利用的关系可求通项公式；（2）分n为偶数或n为奇数两种情况，利用并项求和法可求.【详解】（1）因为，所以，即，又，所以，所以，即，当时，，当时，也适合上式，所以．（2）由（1）知，则，当n为偶数时，，当n为奇数时，为偶数，，所以.2．（24-25高三下·福建福州·阶段练习）已知为数列的前项和，为数列的前项和，.(1)求的通项公式；(2)若，求的最大值；【答案】(1)(2)5【分析】（1）根据递推公式得出等差数列再应用基本量运算得出通项公式；（2）分组求和分别求出，再计算化简结合指数函数单调性计算求解；【详解】（1）由，得，所以数列为等差数列，所以，所以.又，所以，设的公差为，即解得所以的通项公式是（2）由（1）知，所以令，得，设，则数列是递增数列.又，所以的最大值为5.3．（2024·广东韶关·二模）已知数列的前n项和为，，，．(1)证明：；(2)设，求数列的前2n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据进行求解；（2）在（1）基础上，得到，从而得到，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案.【详解】（1）证明：由题可知，当时，解得．又因为，将其与两式相减得：，因为，所以．（2）当n为大于1的奇数时，有，，，…，，累加得．又满足上式，所以n为奇数时，；当n为大于2的偶数时，有，，，…，，累加得．又满足上式．综上可知，．所以，.【点睛】数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和.4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差且恰为等比数列的前三项．(1)求数列与的通项公式：(2)若数列满足：求数列

前n项和;(3)求的前n项和【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质可得，即可得到等差数列的通项公式，从而可得等比数列的公比，再由等比数列的通项公式，即可得到结果；（2）根据题意，结合等差数列以及等比数列的求和公式代入计算，由分组求和法，即可得到结果；（3）根据题意，分为奇数与为偶数讨论，结合并项求和法，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由为等比数列可得，即，即，解得或（舍），所以，又的前三项为，即，即，公比，所以.（2）因为，则.（3）因为，即，设数列的前项和为，当为奇数时，；当为偶数时，；综上所述，.5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先根据等差数列的通项公式得到，再根据得到，接着用“累乘法”可得数列的通项公式.（2）分为偶数与奇数两种情况，表示出，结合作差法比较与的大小.【详解】（1）由题意得，

①，当时，

②由①②得：，即．又时，满足.（2）由得，.①当n为偶数时，此时，，故②当n为奇数时，综上，当时，．题型6插入数或项构成新数列问题1、插入数构成等差数列在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解个数构成等差数列，公差记为，所以：2、插入数构成等比数列在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解个数构成等比数列，公差记为，所以：3、插入数混合型混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。一、解答题1．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）当时，求出的值，当时，由，得，两式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（2）求得，假设存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，可得出，整理得出，联立可得出结论.【详解】（1）当时，由①，得②.由①②得，，即.当时，，解得.所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.（2）不存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列.理由如下：依题意得，即，解得.假设存在项、、成等比数列（其中），则，即，整理得.联立，解得，这与已知条件矛盾.所以不存项、、（其中、、成等差数列）成等比数列.2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足(1)求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解；（2）根据条件及（1）中结果，得到，再利用错位相减法，即可求解.【详解】（1）①，当时，②，由①②，得，即，又当时，，满足，所以.（2）由（1）知，所以，则，所以③，④，由③④得：，所以.3．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列的前n项和为，(1)求数列的通项公式;(2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由已知可得，然后求数列的通项公式即可；（2）由题意可得项数，然后结合等比数列的求和公式代入计算，即可求解．【详解】（1）由，得，两式相减得，即，，得等比数列的公比，又当时，，所以，所以（2）数列为：3，，，1，1，，，，，以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数，当时共有项数，当时共有项数，所以.4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知是公比大于0的等比数列，且，.(1)求的通项公式；(2)求的前项和；(3)若，在与之间插入个，得到一个新数列.是否存在正整数，使得数列的前项之和?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据题意可得出关于的方程，解出的值，即可求得数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法可求得；（3）对在新数列中的位置分析，求得在新数列中为第项，然后对分组求和，得,赋值即可求得的值.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，，整理可得，因为，解得，故.（2）因为，所以，.（3）由题意可知，设在数列中的项为，则由题意可知，，所以当时，，当时，，，当时，，，因为且，所以当时，.5．（24-25高三下·山东德州·开学考试）已知数列的前项和为满足，且，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由条件结合等差数列通项公式求数列的通项公式，再由与关系求，由取求，当时，用替换，两式相除可得结论；（2）由（1）可得，等式两边同乘，两式相减可得，再利用错位相减法求结论；（3）由（1）结合等差数列等比数列求和公式求，再求，结合等差数列求和公式化简不等式求结论.【详解】（1）因为，所以是以为首项，为公差的等差数列.所以.当时，又满足关系，故.数列，当时，，当时，.所以，；（2）由题可知①②①-②得.③④③-④得；（3）依题意，数列中之前的所有项中包括项中的项，设其和为，则数列中之前的所有项中包括项中的项，设其和为，则于是所以，当时，当时，因为，所以，于是，，因此，所以，，所以，又，所以，，，得成立的最大整数的值为.【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于利用错位相减法先求出，然后再次利用错位相减法求结论.题型7数列与不等式交汇一、解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：1、数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；2、解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；3、不等关系证明中进行适当的放缩．二、常见放缩公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．（7）；（8）．一、解答题1．（2025·四川巴中·一模）已知数列的通项公式为.(1)求证：；(2)令，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)结合数列的通项公式和单调性求证即可.(2)先求出数列的通项公式，然后结合裂项法对证的等式进行放缩，从而得到要证的不等式即可.【详解】（1）可知数列单调递减，则当时，取最大值为故得证.（2）当时，得证.2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，设数列的前项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）令，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，即可求得该数列的通项公式；（2）求出，求得，利用裂项相消法求出，即可证得结论成立.【详解】（1）数列的前项和为，对任意的，，当时，则有，可得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，可得，所以数列为等比数列，且其首项和公比都为，所以.（2）由（1）可得，则，则，所以，所以.3．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：；(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式；（2）设，求导，可得的单调性，进而可得结论；（3）由题意需证，由（2）可得，利用放缩法与裂项相消法可证结论.【详解】（1）设等差数列公差为成等比数列，则，所以，解得或（舍去），所以；（2）设，当时，单调递减，，所以，由（1）可知，则有，所以不等式恒立．（3）因为，所以要证，只需证：，根据（2）可知，那么，，所以.4．（24-25高三上·河南安阳·期末）已知数列满足，且.(1)证明是等差数列，并求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和；(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析，(2)(3)【分析】（1）对递推式变形结合等差数列的概念即可证明，然后根据等差数列的通项公式求解即可；（2）由（1）知，然后利用错位相减法求和即可；（3）利用裂项相消法求和化简已知得，存在，使得成立，分离参数，变形后利用基本不等式求解最值即可得解.【详解】（1）由，可得，又，所以是1为首项1为公差的等差数列，所以，所以；（2）由（1）知，所以，，两式相减，得，故；（3）由（1）知，所以，由题可知，存在，使得成立，所以，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故实数的取值范围是.5．（2025·云南昆明·一模）已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式；(3)若，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由已知等式变形得出，化简得出，结合等差数列的定义可证得结论成立；（2）结合（1）中的结论可得出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式；（3）由参变量分离法得出，令，分析数列的单调性，即可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为各项均为正数的数列的前项和为，则对任意的，，当时，，即，所以，，因此，数列是等差数列，且其首项为，公差为.（2）由（1）可得，则当时，，也满足，故，.（3）由可得，令，则则，即，所以，数列为单调递增数列，则，因此，的取值范围是.6．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）设数列的前项和为，(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设，求证：【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据作差计算可得；（2）由（1）可得，利用分组求和法及裂项相消法计算可得；（3）首先利用作差法证明（），从而得到（），利用放缩法证明即可.【详解】（1）因为，即，当时，，所以；当时，，所以，而也满足上式，；（2）因为，，，，；（3）由（1）可得，因为（），所以（）所以（），【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是推导出（）.题型8数列中的新定义问题数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.一、解答题1．（2025·山西吕梁·一模）若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.(1)若数列为“-数列”，写出所有可能的；(2)若“-数列”中，，求的最大值.【答案】(1)或或(2)【分析】（1）利用“数列”的定义，得到关于的不等式组，列出所有满足条件，即可得解；（2）利用“数列”的定义，推得，进而得到，解得；再取，推得符合题意，由此得解；【详解】（1）依题意，因为数列为“数列”，则，注意到，故所有可能的为或或.（2）一方面，注意到：对任意的，令，则且，故对任意的恒成立（★），当时，注意到，得，此时，即，解得，故；另一方面，取，则对任意的，故数列为“数列”，此时，即符合题意.综上，n的最大值为.2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列．(1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列．(2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为．(3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据二阶等差数列的定义即可证得结果.（2）再分组求和，即可求得结果.（3）计算的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列，再用累加法计算得.【详解】（1）数列的通项公式为，设数列的一阶差数列为，则，即，所以数列的一阶差数列为，所以的1阶差数列是一个以为首项，2为等差的等差数列，则的2阶差数列是一个以2为首项的常数列，根据二阶等差数列定义可知数列是二阶等差数列.（2）证明：．∵，∴，∴．证毕．（3）计算的各阶等差数列，设的一阶差数列为，二阶差数列为，三阶差数列为，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．∵是一个三阶等差数列，∴是一个常数列，．∵，，2，…，∴，∴．同理可解得，故．【点睛】关键点点睛：先计算出的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，