2025年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)大题02数列及求和(5大题型+高分必刷)(学生版+解析)

大题02数列及数列求和根据近几年的高考情况，数列是高考数学中必考题目，高频考点，解答题小题都会涉及。一般考查内容之是等差等比数列性质的简单应用。求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识以及子自主学习能力问题。题型一：数列通项公式及裂项求和1（24-25高三下·四川乐山·期末）设等差数列的前n项和为，且，（为常数）(1)求a的值；(2)求的通项公式；(3)若，求数列的前n项和2（24-25高三下·黑龙江大庆·开学考试）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，.(1)求，的通项公式(2)设，数列的前n项和为，求并证明.一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列的前n项和．常见的“裂项”结论有：形如当，时，易知形如当，时，易知形如当，时，易知形如当，时，易知1（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：．(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．题型二：数列通项及错位相减求和

（贵州省毕节市2024-2025学年高三下学期第二次模拟（3月）数学试题）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)令，记数列的前项和为，求证：.设是等差数列，是公比的等比数列，则数列的前n项和的常规求法是错位相减法，取巧可这样做：设，则，其中，.推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住的形式，取和用待定系数法来算就可以了.1（24-25高三下·山西·阶段练习）数列满足．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．2．（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）等比数列中，，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．题型三：数列通项及奇偶项讨论问题

1（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知数列的前项和为，且，(1)证明是等差数列；(2)求；(3)求证：1（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）设数列的前项和为，已知，且为等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前项和.2．（24-25高二下·河南开封·开学考试）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)若，求数列的前2n项和.3．（24-25高三下·广西·开学考试）已知函数且.(1)计算，；(2)求通项公式；(3)设为数列的前n项和，求；题型四：数列证明类问题1（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：；(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．1（24-25高三下·福建福州·阶段练习）已知为数列的前项和，为数列的前项和，.(1)求的通项公式；(2)若，求的最大值；2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)证明：当时，．题型五：数列型定义问题1（2025·江苏苏州·模拟预测）设为正整数，数列是首项为，公差为的等差数列，若存在一组正整数，使得能构成等比数列，则称数列为可拆数列.(1)对任意正整数，判断数列是否为可拆数列；(2)若对任意正整数，数列是可拆数列，求的所有可能值；(3)若存在无穷多个正整数，使得是等比数列，求的取值范围.2（2025·山西吕梁·一模）若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.(1)若数列为“-数列”，写出所有可能的；(2)若“-数列”中，，求的最大值.新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：第一步：提取信息

—

对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，第二步：加工信息

—

细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点第三步：迁移转化

—

如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）第四步：计算，得结论

—

结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论1（24-25高三·云南保山·期末）已知表示正整数的最大奇数因数．(1)试求的值；(2)求证：，，其中；(3)记，求．2．（24-25高三·陕西西安·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对于正整数，称为数列的阶差分数列，其中.已知数列满足，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，证明：..一、解答题1．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：．2．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知数列的首项为且.(1)求的通项公式；(2)若求数列的前项和．3．（2025·陕西榆林·模拟预测）数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：.4．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.(1)求；(2)设求数列的前项和．5．（2025·陕西宝鸡·二模）已知：数列的前项和为，，当时．(1)求证：数列为等差数列；(2)记表示不超过的最大整数，设，求数列前2025项和．6．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为．(1)若是等差数列，求k的值；(2)若，，求；(3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．7．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列．(1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列．(2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为．(3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式．1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．2．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．3．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．6．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．7．（2021·全国·高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．8．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.9．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．大题02数列及数列求和根据近几年的高考情况，数列是高考数学中必考题目，高频考点，解答题小题都会涉及。一般考查内容之是等差等比数列性质的简单应用。求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识以及子自主学习能力问题。题型一：数列通项公式及裂项求和1（24-25高三下·四川乐山·期末）设等差数列的前n项和为，且，（为常数）(1)求a的值；(2)求的通项公式；(3)若，求数列的前n项和【思路分析】（1）利用的关系可求得；（2）由（1）可得（3）由（2）可得，利用裂项相消法可求得.【规范答题】【详解】（1）当时，，当时，，因为是等差数列，则时也应满足，即，又，所以，解得；（2）由（1）得（3），2（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，.(1)求，的通项公式(2)设，数列的前n项和为，求并证明.【思路分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式基本量运算求解即得；（2）利用裂项相消法求和，并利用数列的单调性证明不等式.【规范答题】（1）设的公比，因为，所以，即，解得或（舍），所以.设的公差为d，因为，，所以，，所以，解得，所以．（2），所以，因为n为正整数，所以，所以，又因为数列单调递减，所以单调递增，所以，所以.一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列的前n项和．常见的“裂项”结论有：形如当，时，易知形如当，时，易知形如当，时，易知形如当，时，易知1（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：．(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据的关系，即可作差求解，（2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可.【详解】（1）令又①②由①②得到即：，经检验，也成立，故数列的通项公式（2）因为是单调递增数列，且若恒成立，则，解得或，实数的取值范围为或．2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）由的关系作差得到，通过构造即可求证；（2）由（1）得到，裂项相消求和即可；【详解】（1）由题意，当时，，得，，当时，，①，②①-②得，因为，所以则，，，所以是以为首项，3为公比的等比数列.所以，则（2）由，则，所以的前n项和3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用数列前项和与的关系求的通项公式.（2）先求出的表达式，再根据其特点进行求和.【详解】（1）当时：已知，那么，所以.当时：，先展开式子.则，所以.当时，，上式也成立.所以.（2）已知，把代入可得：.可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的.所以.题型二：数列通项及错位相减求和

1（贵州省毕节市2024-2025学年高三下学期第二次模拟（3月）数学试题）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)令，记数列的前项和为，求证：.【思路分析】（1）根据数列的递推式即可求数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求数列的前项和.【规范答题】（1）当时，，当时，，，故.时，上式亦成立.所以数列的通项公式为：（2）因为，所以，所以两式相减得：，所以：.设是等差数列，是公比的等比数列，则数列的前n项和的常规求法是错位相减法，取巧可这样做：设，则，其中，.推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住的形式，取和用待定系数法来算就可以了.1（24-25高三下·山西·阶段练习）数列满足．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）计算，根据等比数列的定义得证；（2）由（1）得，利用分组求和和错位相减法求和.【详解】（1）因为，且，所以数列是等比数列．（2）由（1）得数列是等比数列，且公比，所以，故．所以．故,令,,两式相减得,所以,即.2．（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）等比数列中，，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）结合已知，根据等比数列的基本量运算列式求解首项和公比，然后利用等比数列通项公式求解即可.（2）利用（1）求得，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）等比数列中，，所以公比，又得，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以．（2），所以，故，所以，所以题型三：数列通项及奇偶项讨论问题

1（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知数列的前项和为，且，(1)证明是等差数列；(2)求；(3)求证：【思路分析】（1）根据等差数列的定义即可证明.（2）先根据等差数列的定义得出和是等差数列；再根据等差数列的通项公式求出，及；最后利用等差数列的通项公式即可解答.（3）先变形得出；再根据裂项相消求和即可证明.【规范答题】（1）证明：因为在数列中，，，所以，所以是以1为首项，3为公差的等差数列．（2）由（1）可知是以1为首项，3为公差的等差数列,，所以.同理由，可得.又因为，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，故，则.所以.（3）证明：因为，所以.因为所以，即.1（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）设数列的前项和为，已知，且为等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前项和.【答案】(1)(2).【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，即，所以，即，当时，，当时，，满足上式，所以.（2）由（1）知则，所以数列的前项和为.2．（24-25高二下·河南开封·开学考试）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)若，求数列的前2n项和.【答案】(1)，；(2)；(3)【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；(3)由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为，由，，，，可得，，解得：负的舍去，则，；（2）数列的前n项和，，两式相减可得，化为；（3），则数列的前2n项和.3．（24-25高三下·广西·开学考试）已知函数且.(1)计算，；(2)求通项公式；(3)设为数列的前n项和，求；【答案】(1)；5(2)(3)【详解】（1）由题意可得：，所以；.（2）因为，当n为奇数，则；当n为偶数，则；所以.（3）由（2）可知，若n为奇数，则，可得：当n为偶数时，；故当n为奇数时；所以.题型四：数列证明类问题1（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：；(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．【思路分析】（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式；（2）设，求导，可得的单调性，进而可得结论；（3）由题意需证，由（2）可得，利用放缩法与裂项相消法可证结论.【规范答题】（1）设等差数列公差为成等比数列，则，所以，解得或（舍去），所以；（2）设，当时，单调递减，，所以，由（1）可知，则有，所以不等式恒立．（3）因为，所以要证，只需证：，根据（2）可知，那么，，所以.1（24-25高三下·福建福州·阶段练习）已知为数列的前项和，为数列的前项和，.(1)求的通项公式；(2)若，求的最大值；【答案】(1)(2)5【详解】（1）由，得，所以数列为等差数列，所以，所以.又，所以，设的公差为，即解得所以的通项公式是（2）由（1）知，所以令，得，设，则数列是递增数列.又，所以的最大值为5.2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意得，

①，当时，

②由①②得：，即．又时，满足.（2）由得，.①当n为偶数时，此时，，故②当n为奇数时，综上，当时，．题型五：数列型定义问题1（2025·江苏苏州·模拟预测）设为正整数，数列是首项为，公差为的等差数列，若存在一组正整数，使得能构成等比数列，则称数列为可拆数列.(1)对任意正整数，判断数列是否为可拆数列；(2)若对任意正整数，数列是可拆数列，求的所有可能值；(3)若存在无穷多个正整数，使得是等比数列，求的取值范围.【思路分析】（1）利用可拆数列的定义即可求解；（2）根据定义证明命题等价于是正有理数；（3）利用（2）的结论即可得到结果.【规范答题】（1）根据定义，取，即可得到构成等比数列.所以是可拆数列.（2）先证明一个引理：对任意的正整数，数列包含一个无穷等比数列.证明：由于.故可以取，则此时.从而得到是等比数列.引理证毕，回到原题.①由于包含构成等比数列的三项，故存在非负整数使得，即.从而，这得到一定是正有理数.②若是正有理数，设，则根据引理知数列包含无穷等比数列.所以也包含无穷等比数列，这就意味着对任意正整数，存在使得构成等比数列，从而一定是可拆数列，条件满足.综合①②可知，的所有可能值为全体正有理数.（3）①在此条件下，显然对任意正整数，数列都是可拆数列，根据（2）的结论可知.②若，设，则同样根据（2）中的引理，知数列包含无穷等比数列.所以也包含无穷等比数列，条件满足.综合①②可知，的取值范围是.2（2025·山西吕梁·一模）若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.(1)若数列为“-数列”，写出所有可能的；(2)若“-数列”中，，求的最大值.【思路分析】【分析】（1）利用“数列”的定义，得到关于的不等式组，列出所有满足条件，即可得解；（2）利用“数列”的定义，推得，进而得到，解得；再取，推得符合题意，由此得解；【规范答题】（1）依题意，因为数列为“数列”，则，注意到，故所有可能的为或或.（2）一方面，注意到：对任意的，令，则且，故对任意的恒成立（★），当时，注意到，得，此时，即，解得，故；另一方面，取，则对任意的，故数列为“数列”，此时，即符合题意.综上，n的最大值为.新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：第一步：提取信息

—

对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，第二步：加工信息

—

细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点第三步：迁移转化

—

如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）第四步：计算，得结论

—

结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论1（24-25高三·云南保山·期末）已知表示正整数的最大奇数因数．(1)试求的值；(2)求证：，，其中；(3)记，求．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）显然7的最大奇数因数为7，从而由于，12的最大奇数因数为3，故．（2）的最大奇数因数显然是它本身，故，对于，设的最大奇数因数为，并设，则，从而成立．（3）．从而，以下累加，，……，，又从而．2．（24-25高三·陕西西安·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对于正整数，称为数列的阶差分数列，其中.已知数列满足，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，证明：.【答案】(1)，；(2)证明见解析.（2）根据已知得，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求，即可证结论.【详解】（1）因为，所以，所以是公差为1的等差数列，所以.因为，所以，所以，即.因为，所以.因为，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，即.（2）因为，所以，则，所以，故..一、解答题1．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见详解【详解】（1）因为，可得，即，可知数列为常数列，则，所以；又因为，则有：若，可得；若，则，两式相减得；且符合上式，所以.（2）由（1）可知：，可得，显然，所以.2．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知数列的首项为且.(1)求的通项公式；(2)若求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）两边同时除以可得则累加可得则经检验也适合上式，所以（2）由（1）可知数列的前项和则①②由两式相减①-②可得：故．3．（2025·陕西榆林·模拟预测）数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）依题可得：，即：，解得，所以.（2）证明：设，则，所以，4．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.(1)求；(2)设求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为.当时，是方程的两根，由韦达定理得，①当时，是方程的两根，由韦达定理得，②由①②，解得；（2）由（1）知，所以，则，对于方程，由韦达定理得，即，所以，所以.5．（2025·陕西宝鸡·二模）已知：数列的前项和为，，当时．(1)求证：数列为等差数列；(2)记表示不超过的最大整数，设，求数列前2025项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意结合整理可得，即可证等差数列；（2）由（1）可得：，分和两种情况，结合取整函数的定义求数列的通项公式，进而求和.【详解】（1）当时，且，可得，整理得，即，且，所以数列为以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可得：，即，由定义可得：，当时，，即，所以；当且时，不是整数，可设，则，则，可得；综上所述：.在上，，，所以.6．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为．(1)若是等差数列，求k的值；(2)若，，求；(3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，.【分析】（1）根据等差数列性质得，即可得参数值；（2）根据已知得，讨论的奇偶性求；（3）由题设有，，，讨论不同的等差中项，结合已知求参数值，判断存在性.【详解】（1）由题意，数列是等差数列，可得，即，即，故．（2）由时，，即，整理得，故．当n是偶数时，；当n是奇数时，，．综上，．（3）若是等比数列，则公比，由题意，故，，．①若为等差中项，则，即，，解得（舍去）；②若为等差中项，则，即，．因为，解得，；③若为等差中项，则，即，．因为，解得，，综上，存在实数k满足题意，．7．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列．(1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列．(2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为．(3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）数列的通项公式为，设数列的一阶差数列为，则，即，所以数列的一阶差数列为，所以的1阶差数列是一个以为首项，2为等差的等差数列，则的2阶差数列是一个以2为首项的常数列，根据二阶等差数列定义可知数列是二阶等差数列.（2）证明：．∵，∴，∴．证毕．（3）计算的各阶等差数列，设的一阶差数列为，二阶差数列为，三阶差数列为，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．∵是一个三阶等差数列，∴是一个常数列，．∵，，2，…，∴，∴．同理可解得，故．【点睛】关键点点睛：先计算出的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列的通项公式1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.2．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【详解】（1）因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，，即，．3．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2）∴5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出．【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．6．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】：由已知条件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：

由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法

由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．那么当时，．综上，猜想对任意的都成立．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.7．（2021·全国·高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+与关系式设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：待定系数法设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立．则有，解得．所以．选①③作条件证明②：因为，是等差数列