2025版高中数学第一章导数及其应用1.7.2定积分在物理中的应用练习含解析新人教A版选修2-2

PAGEPAGE11.7.2定积分在物理中的应用课时过关·实力提升基础巩固1.若某质点沿直线以v=3t+2(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度运动,则该质点在第3s到第6s间的运动路程s为()A.46m B.46.5m C.87m D.47m解析:s=36vdt=36(3答案:B2.物体以速度v(t)=3t2-2t+4做直线运动,它在第3秒内的位移是()A.12 B.14 C.16 D.18解析:s=23(3t2-2t+4)dt=(t3-t2+4t)|23=(27-9+12)-(8-答案:D3.若火车紧急刹车的速度(单位:m/s)为v(t)=则刹车后火车行驶的距离约为m.(精确到0.1m)

解析:停止时车速为0,由v(t)=10-t+108t+2=所以s=0==32+216ln3≈269.3(m).答案:269.34.若某物体以v(t)=t2-3t+8(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度运动,则其在前30s内的平均速度为.

解析:由定积分的物理意义,得s=030(t2-3==7890(m),v=答案:263m/s5.在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力F(x)(单位:N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位:m)成正比.假如用1N的力能拉长弹簧1cm,那么为了将弹簧拉长6cm需做功J.

解析:设F(x)=kx(常数k是比例系数),由题意知,当F(x)=1N时,x=0.01m,可得k=100.由变力做功公式,得到将弹簧拉长6cm需做的功W=00.06100xdx=50答案:0.186.某物体在力F(x)(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向运动,力—位移曲线如图所示.求该物体从x=0处运动到x=4(单位:m)处,力F(x)做的功.分析:先依据图象确定力关于位移的函数关系式,再利用定积分求解.解:由力—位移曲线可知F(x)=10,0≤x≤2,3x+4,2<x≤4,因此该物体从x=0处运动到x=实力提升1.假如某质点以初速度v(0)=1(v的单位:m/s),加速度a(t)=6t(a的单位:m/s2)做直线运动,则质点在t=2s时的瞬时速度为()A.5m/s B.7m/sC.9m/s D.13m/s解析:v(2)-v(0)=02a(t)dt=所以v(2)=v(0)+3×22=1+12=13(m/s).答案:D2.汽车以36km/h的速度行驶,到某处须要减速停车,设汽车以等加速度a=-5m/s2刹车,从起先刹车到停车,汽车行驶的路程为()A.5m B.9.8m C.10m D.15m解析:v0=36km/h=10m/s,a=-5m/s2.设ts后速度为v,则v=v0+0tadt=10-令v=0,得t=2s.设汽车由起先刹车到停车所行驶的路程为s,则s=02vdt=02(10-5答案:C3.某物体在力F(x)=15-3x2(力的单位:N,位移的单位:m)的作用下沿与力F(x)成30°角的方向由x=1m直线运动到x=2m处,作用力F(x)所做的功W为()A.BC.4D解析:W=12F(x)cos30°dx=3212(15-3x2)dx=32(15x-x3答案:C4.某物体做变速直线运动,其v-t曲线如图所示,该物体在12~6s间运动的路程s解析:v(t)由变速直线运动的路程公式,可得所求路程s=126v(t)dt=12=t2|1所以物体在12~6答案:495.一辆汽车做变速直线运动,其速度函数v=v(t)=(其中时间t的单位:s,速度v的单位:m/s)(1)求汽车前2s行驶的路程s1;(2)求汽车前30s行驶的路程s2;(3)求汽车1min内行驶的路程s.分析:先依据题意求出各时间段上的速度函数,再在对应时间段上求定积分.解:(1)当0≤t≤2时,v=3t2.则s1=023t2d(2)当0≤t≤2时,v=3t2;当2<t≤10时,v=2t+4;当10<t≤30时,v=24.所以s2=023t2dt+210=t3|02+(=8+(140-12)+24×(30-10)=616(m).(3)s=023t2dt+210(2t+4)dt+105824dt=t3|02+(t2+4t)|210+=8+128+24×48+(-16+24×2)=1320(m)6.★如图,一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B,C运动到D,其中AB=50m,BC=40m,CD=30m,变力F=14x+5,0≤x≤90,20,x>90(其中x为距离,单位:m,变力F的单位:N),在AB段运动时F与运动方向成30°角,在BC段运动时F与运动方向成45°角,在CD段运动时F与运动方向相同.求物体由A运动到D变力分析:当变力与物体运动方向夹角为θ时,需求出它在运动方向上的分力F1=Fcosθ,再用定积分公式计算.解:在AB段运动时,F在运动方向上的分力F1=Fcos30°