2024高考数学二轮复习第一部分送分专题第6讲排列组合二项式定理练习理

PAGEPAGE1第6讲排列、组合、二项式定理一、选择题1．设i为虚数单位，则(x＋i)6的绽开式中含x4的项为()A．－15x4 B．15x4C．－20ix4 D．20ix4解析：(x＋i)6的绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－rir(r＝0,1,2，…，6)，令r＝2，得含x4的项为Ceq\o\al(2,6)x4i2＝－15x4，故选A.答案：A2．用0,1，…，9这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．279解析：0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．答案：B3．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法()A．10 B．16C．20 D．24解析：一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有Aeq\o\al(2,5)＝20种坐法．答案：C4．二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9x－\f(1,3\r(3,x))))9的绽开式中x的系数等于()A．84 B．24C．6 D．－24解析：依据二项式定理可知，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))r99－＝令9－eq\f(4,3)r＝1，得r＝6，所以x的系数为Ceq\o\al(6,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))6×93＝84，故选A.答案：A5．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有()A．18种 B．27种C．37种 D．212种解析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；其次类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为Ceq\o\al(3,7)，为35种．共计37种取法．故选C.答案：C6．已知(1＋ax)(1＋x)5的绽开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝Ceq\o\al(1,5)x＝5x，T3＝Ceq\o\al(2,5)x2＝10x2，所以x2的系数为10＋5a＝5，所以a＝－1，故选D.答案：D7．在二项式(1－2x)n的绽开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则绽开式的中间项的系数为()A．－960 B．960C．1120 D．1680解析：依据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的绽开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则(1－2x)8的绽开式的中间项为第5项，且T5＝Ceq\o\al(4,8)(－2)4x4＝1120x4，即绽开式的中间项的系数为1120，故选C.答案：C8．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)等于()A．27 B．28C．7 D．8解析：取x＝－1得(－1)4(－1＋3)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，①取x＝－3得(－3)4(－3＋3)8＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，②①与②两式左、右两边分别相减得28＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝7.答案：C9．从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有()A．240种 B．360种C．480种 D．600种解析：分两步，第一步，先选4名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙肯定去，丙肯定不去，有Ceq\o\al(2,5)＝10种不同选法，其次类，甲不去，则乙肯定不去，丙可能去也可能不去，有Ceq\o\al(4,6)＝15种不同选法，所以不同的选法有10＋15＝25(种)．其次步，4名网络歌手同时去4个地区演出，有Aeq\o\al(4,4)＝24种方案．由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有25×24＝600(种)．答案：D10．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9·(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为()A．1或－3 B．－1或3C．1 D．－3解析：令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.答案：A11．某学校派出5名优秀老师去边远地区的三所中学进行教学沟通，每所中学至少派一名老师，则不同的安排方法有()A．80种 B．90种C．120种 D．150种解析：有两类状况：①其中一所学校3名老师，另两所学校各一名老师的分法有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝60种；②其中一所学校1名老师，另两所学校各两名老师的分法有Ceq\o\al(1,5)×eq\f(C\o\al(2,4),2)×Aeq\o\al(3,3)＝90种．所以共有60＋90＝150种．故选D.答案：D12．两对夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为平安起见，首尾肯定要排两位爸爸，另外，两个小孩肯定要排在一起，则这6人的入园依次排法种数为()A．48 B．36C．24 D．12解析：分三步：①先分派两位爸爸，必需一首一尾，有Aeq\o\al(2,2)＝2种排法；②两个小孩肯定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其依次有Aeq\o\al(2,2)＝2种排法；③将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．故选C.答案：C二、填空题13．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(x))))4绽开式的常数项为54，且a>0，则a＝__________.解析：依题意，二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(x))))4的绽开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)·(eq\r(x))4－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,4)·ar·x2－r.令2－r＝0得r＝2.因此，二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(x))))4的绽开式中的常数项是T3＝Ceq\o\al(2,4)·a2＝6a2＝54，a2＝9.又a>0，因此a＝3.答案：314．若直线x＋ay－1＝0与2x－y＋5＝0垂直，则二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2－\f(1,x)))5的绽开式中x4的系数为__________．解析：由两条直线垂直，得1×2＋a×(－1)＝0，得a＝2，所以二项式为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))5，其通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x2)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)r25－rCeq\o\al(r,5)x10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2，所以二项式的绽开式中x4的系数为23Ceq\o\al(2,5)＝80.答案：8015．现有5名老师要带3个爱好小组外出学习考察，要求每个爱好小组的带队老师至多2人，但其中甲老师和乙老师均不能单独带队，则不同的带队方案有__________种．(用数字作答)解析：第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再安排到3个小组中，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18种；其次类，先把另外的3人安排到3个小组，再把甲、乙安排到其中2个小组，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)＝36种，依据分类加法计数原理可得，共有36＋18＝54种．答案：5416．从1,3,5,7,9中任取2个数，从0,2,4,6中任取2个数组成没有重复数字的四位数，若将全部个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是__________．解析：①形如“1××5”，中间所缺的两数只能从0,2,4,6中选取，有Aeq\o\al(2,4)＝12个．②形如“2××5”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝24个．③形如“3××5”，同①有Aeq\o\al(2,4)