10.4三元一次方程组的解法（第1课时三元一次方程组的解法）人教版2024-2025学年数学

人教版（2024）七年级数学下册第十章二元一次方程组10.4三元一次方程组的解法第1课时三元一次方程组的解法新知探究问题在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛.积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场?思考（1）题目中有几个未知量?（2）题目中有哪些等量关系?（3）如何用方程表示这些等量关系?设这支球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.x+y+z=223x+y=47x=4z+2①胜的场数+平的场数+负的场数=22；②胜场积分+平场积分+负场积分=47；③胜的场数=负的场数×4+2.等量关系:例题讲解例1

解三元一次方程组3x+4z=7，2x+3y+z=9，5x-9y+7z=8.①②③解:②×3+③，得11x+10z=35.④①与④组成方程组3x+4y=7，11x+10z=35.解这个方程组，得x=5，z=-2.把x=5，z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，

因此，这个三元一次方程组的解为

z=-2.x=5，还有其他解法吗?+3y-9y3x+4z=7，2x+3y+z=9，5x-9y+7z=8.①②③解：由①，得④

把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组

整理，得9y-5z=13z-27y=-11解这个方程组，得

z=-2把z=-2代入④，得x=5因此，这个三元一次方程组的解为

z=-2.x=5，加减法比代入法更简单.概念归纳三元一次方程组必须满足的三个条件：方程组中一共含有三个未知数.含有未知数的项的次数都是1.含有三个整式方程.(不一定每个方程都含有三个未知数)一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.课堂练习解下列三元一次方程组:【选自教材P109练习】x-2y=-9，y-z=3，2z+x=47；（1）x=22，

解得（2）4x-9z=17，3x+y+15z=18，x+2y+3z=2；x=5，y=-2，

解得解下列三元一次方程组:【选自教材P109练习】x+y=3，y+z=4，z+x=5；（3）（4）x=2，y=1，z=3.解得3x-y+z=4，2x+3y-z=12，x+y+z=6.x=2，y=3，z=1.解得分层练习基础题1.

下列方程组中是三元一次方程组的是(

)B

B

D

BA.1个

B.2个

C.3个

D.4个

D

B

C

综合应用题

C

AA.3

B.4

C.5

D.6

CA.125

B.119

C.113

D.71

BA.5个

B.6个

C.7个

D.8个

18.用3.50元买了面值分别为10分、20分、50分的三种邮票共18枚，其中10分邮票的总价与20分邮票的总价相同，则50分邮票共买了___枚.3

情景导入解三元一次方程组的基本思路是什么？三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元①代入消元法②加减消元法x+y+z=6，2x+y=5，6y=2z.x=2，y=1，z=3.解得新知探究例2

在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.把

a，b，c看作未知数把已知

x、y值代入原式a-b+c=04a+2b+c=325a+5b+c=60分析：怎样消元解方程组最简单?a-b+c=04a+2b+c=325a+5b+c=60①②③解：根据题意，列得三元一次方程组②-①，得③-①，得④与⑤组成二元一次方程组a+b=1，4a+b=10.④⑤解这个方程组，得a=3，b=-2.把a=2，b=-2代入①，得因此a，b，c的值分别为3，-2，-5.a+b=1.④4a+b=10.⑤c=-5.例题讲解

三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.x+y+z=14

100z+10y+x+99=100x+10y+z解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.①②③解这个方程组，得y=7，z=3.x=4，因此这个三位数是473.x+y+z=14

100z+10y+x+99=100x+10y+z概念归纳①审②设③列④解⑤验⑥答审题，找题目中的等量关系列三元一次方程组解应用题的一般步骤：设未知数根据等量关系，列出相应的方程组用“代入消元法”或“加减消元法”解方程组检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义写出答案(包括单位名称)课堂练习

解:设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z.x+y+z=352x=y+5

根据题意，列得三元一次方程组解得y=15，z=10.x=10，因此，甲、乙、丙三个数分别为10，15，10.【选自教材P111

练习第1题】2.在等式z=ax+by+c中，当x=1，y=2时，z=8；当x=2，y=1时，z=5；当x=-1，y=-1时，z=4；求a，b，c的值.a+2b+c=8，2a+b+c=5，-a-b+c=4.①②③解：根据题意，列得三元一次方程组解这个方程组，得b=2，c=5.a=-1，【选自教材P111

练习第2题】因此，a、b、c的值分别为-1，2，5.分层练习基础题1.一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和，求这个三位数.

综合应用题2.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身和1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么安排多少名工人缝制衣袖，多少名工人缝制衣身，多少名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套？

创新拓展题

（3）学校现准备采购若干英语簿、数学簿以及作文本，已知采购2本英语簿、2本数学簿、1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿、8本数学簿、2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿、300本数学簿、100本作文本需要多少钱？

习题1.解下列三元一次方程组:y=2x-7，5x+3y+2z=2，3x-4z=4；(1)(2)4x+9y=12，3y-2z=1，

解得解得2.解下列三元一次方程组:2x+4y+3z=9，3x-2y+5z=11，5x-6y+7z=13.(2)(1)

2x-y+2z=27；解得解得

解：根据题意，得三元一次方程组

解得

因此a的值为6，b的值为-11，c的值为3.

解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.根据题意，列得三元一次方程组解得因此这个三位数是245.5.甲地到乙地全程是3.3km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那从甲地到乙地需51min