湖北省第十届（2025届）高三下学期4月调研模拟考试数学试题

第十届湖北省高三（4月）调研模拟考试数学试卷命题单位：黄冈市教科院审题单位：宜昌市教科院2025.4本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.3.已知函数，若，则的最小值为（）A. B. C. D.4.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（）A. B. C. D.5.已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（）A.1 B. C.3 D.26.已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，为上一点，轴，过的直线分别交轴和线段于，两点，直线交轴于点，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.7.已知函数，若，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.8.如图，半径为1的与半径为2的内切于点，沿的圆弧无滑动的滚动一周.若上一定点从点出发随着的滚动而运动，设点的轨迹为，则（）A.是半径为的圆 B.是半径为1的圆C.是长度为2的线段 D.是长度为4的线段二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数B.若事件，相互独立，且，，则事件，不互斥C.若随机变量，，则D.若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望10.已知，，分别为的内角，，所对的边，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.，11.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是（）A. B.直线的斜率为C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则______.13.已知函数恰有2个极值点，则实数的取值范围为______.14.甲乙丙三个班级共同分配9个三好学生名额，每班至少1个名额，用表示这三个班级中分配的最少名额数，则的数学期望______.四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为.（1）求；（2）设数列满足，求数列的前项和.16.（本小题满分15分）设函数，.（1）当，时，讨论的单调性；（2）若，且和（为的导函数）的零点均在集合中，求的极小值.17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，分别是椭圆：的左焦点，右顶点，过的直线交椭圆于，两点，当轴时，的面积为.（1）求；（2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值.18.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，为矩形，且，，.（1）求证：平面；（2）若（在的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且.（I）求点到平面的距离；（II）求平面与平面所成夹角的正弦值.19.（本小题满分17分）一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉.（1）在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率；（2）设，是离散型随机变量，在给定事件条件下的期望定义为其中为的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求；（3）若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式.

湖北省第十届高三（4月）联考数学参考答案及评分细则一、选择题1.C2.A3.C4.D5.D6.B二、多选题9.BCD10.ABD11.BCD（注：第9，10，11题有错选得0分，仅部分选对的选对一个各得2分）三、填空题12. 13. 14.8.解析：圆运动到，两圆相切于点，点从运动到，易知，所以，所以，所以的轨迹为圆中过，的直径，长度为4.10.解析：依题意有，所以，所以，所以，A正确；，所以B正确；因为，所以，，所以，所以，C错；易知，，为锐角，且，，，，，.D正确，选ABD.11.解析：，所以，所以A错，，所以在点处切线斜率为，所以，B正确；联立及得，所以，所以，所以C正确；，所以，累加得，又，所以，所以，D正确，选BCD.14解析：易知，，所以，，所以.法二：列举.三个班名额分配：1，1，7共3种；1，2，6共6种；1，3，5共6种；1，4，4共3种；2，2，5共3种；2，3，4共6种；3，3，3共1种，总计28种，其中名额最少是1的有18种，名额最少是2的有9种，名额都是3的有1种.依次求的概率分别为，，，期望为.15.解析：（1）由题意，所以，所以，所以.（2），所以，所以.所以.16.解析：（1），.当时，，在上单增，当时，令，或，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，（2），令，所以或令，或，又，且，，互不相等，所以，所以所以或或.经检验，符合，所以，，令，或，当，，，，，所以时，取得极小值.17.解析：（1）依题意有，当轴时，，，.解得，.（2）设直线：，设，，联立得所以，所以.，所以，的中点为，.又的轨迹是以为圆心，半径的圆，所以.令，，记，，所以，时，注：若利用导数或其它方法求得最大值，结论正确，照样给满分。18.解析：（1）在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，又矩形中，，（2）由（1）知，平面，，所以平面，平面，所以，又在三角形中可求得，在直角三角形中可求得，又，又所以，又，所以，（I）取中点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，所以，，设平面的法向量则，所以，取，又，所以到平面的距离.注：过点作等腰三角形腰上的高，证明为点到平面的距离，然后等积法，，求得结果照样给满分.（II），，设平面的法向量，所以