2025广东高考：数学必考知识点总结

2025广东高考：数学必考知识点总结

以下是2025年广东高考数学可能的必考知识点总结：一、函数1.函数的概念与性质-定义域、值域：能够根据函数的表达式求出定义域（如分式函数分母不为零、偶次根式下非负等），以及通过函数的单调性、极值等方法求值域。-单调性、奇偶性：掌握函数单调性的定义、判断方法（如定义法、导数法），以及利用单调性解不等式；对于奇偶性，要能判断函数是否为奇函数或偶函数，并且知道奇偶性的性质，如奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。-函数的图象：熟练掌握一些基本函数（如一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等）的图象特征，并且能够根据函数的性质画出函数图象，或者根据图象分析函数的性质。2.函数的类型-一次函数、二次函数：二次函数的顶点式、一般式、零点式，二次函数的对称轴、最值等是重点内容。-指数函数与对数函数：指数函数\(y=a^{x}(a>0,a\neq1)\)和对数函数\(y=\log_{a}x(a>0,a\neq1)\)的性质，包括定义域、值域、单调性、图象等，以及指数对数的运算性质，如\(a^{m}\timesa^{n}=a^{m+n}\)，\(\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N\)等。-幂函数\(y=x^{\alpha}\)：不同\(\alpha\)值时幂函数的图象和性质，如\(\alpha=1\)时为一次函数，\(\alpha=2\)时为二次函数，\(\alpha=\frac{1}{2}\)时的图象特征等。二、导数1.导数的概念与运算-导数的定义：函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)处的导数\(f^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Deltax\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+\Deltax)-f(x_{0})}{\Deltax}\)，能够根据定义求简单函数的导数。-导数的基本公式：如\((x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}\)，\((\sinx)^{\prime}=\cosx\)，\((\cosx)^{\prime}=-\sinx\)，\((e^{x})^{\prime}=e^{x}\)，\((\lnx)^{\prime}=\frac{1}{x}\)等。-导数的运算法则：\((u\pmv)^{\prime}=u^{\prime}\pmv^{\prime}\)，\((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\)，\((\frac{u}{v})^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}(v\neq0)\)。2.导数的应用-切线问题：求曲线\(y=f(x)\)在某点处的切线方程，先求该点处的导数得到切线斜率，再利用点斜式写出切线方程。-单调性与极值、最值：根据导数的正负判断函数的单调性，\(f^{\prime}(x)>0\)时函数单调递增，\(f^{\prime}(x)<0\)时函数单调递减；通过导数为零的点判断函数的极值点，再比较极值点和区间端点的值得到函数的最值。三、三角函数1.三角函数的概念与性质-弧度制与角度制的转换：\(180^{\circ}=\pi\)弧度，能够熟练进行两者之间的转换。-三角函数的定义：在单位圆中定义\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)，以及根据三角函数定义求特殊角（如\(30^{\circ}\)、\(45^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)等）的三角函数值。-三角函数的图象和性质：-正弦函数\(y=\sinx\)：图象是正弦曲线，周期为\(2\pi\)，值域为\([-1,1]\)，在\([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi](k\inZ)\)上单调递增，在\([\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi](k\inZ)\)上单调递减。-余弦函数\(y=\cosx\)：图象是余弦曲线，周期为\(2\pi\)，值域为\([-1,1]\)，在\([2k\pi-\pi,2k\pi](k\inZ)\)上单调递增，在\([2k\pi,2k\pi+\pi](k\inZ)\)上单调递减。-正切函数\(y=\tanx\)：图象是正切曲线，周期为\(\pi\)，定义域为\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)，在\((-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)(k\inZ)\)上单调递增。2.三角恒等变换-两角和与差的公式：\(\sin(A\pmB)=\sinA\cosB\pm\cosA\sinB\)，\(\cos(A\pmB)=\cosA\cosB\mp\sinA\sinB\)，\(\tan(A\pmB)=\frac{\tanA\pm\tanB}{1\mp\tanA\tanB}\)。-二倍角公式：\(\sin2A=2\sinA\cosA\)，\(\cos2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A=2\cos^{2}A-1=1-2\sin^{2}A\)，\(\tan2A=\frac{2\tanA}{1-\tan^{2}A}\)。-辅助角公式：\(a\sinx+b\cosx=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(x+\varphi)\)，其中\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)。四、数列1.数列的概念与通项公式-数列的定义：按照一定顺序排列的一列数，能够根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，或者根据数列的递推关系求出通项公式。-等差数列：-通项公式\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，其中\(a_{1}\)为首项，\(d\)为公差。-前\(n\)项和公式\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)。-等比数列：-通项公式\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)，其中\(a_{1}\)为首项，\(q\)为公比\((q\neq0)\)。-前\(n\)项和公式\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},&q=1\\\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q},&q\neq1\end{cases}\)。2.数列的综合应用-数列与函数的联系：数列可以看作是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，能够用函数的观点来研究数列的单调性、最值等问题。-数列的实际应用：如增长率问题、分期付款问题等，通过建立数列模型来解决实际问题。五、立体几何1.空间几何体-空间几何体的结构特征：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等几何体的定义、性质，如棱柱的侧棱平行且相等，棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形等。-空间几何体的表面积和体积：-棱柱的表面积\(S=2S_{底}+S_{侧}\)，体积\(V=S_{底}h\)；棱锥的表面积\(S=S_{底}+S_{侧}\)，体积\(V=\frac{1}{3}S_{底}h\)。-圆柱的表面积\(S=2\pir^{2}+2\pirh\)，体积\(V=\pir^{2}h\)；圆锥的表面积\(S=\pir^{2}+\pirl\)（\(l\)为母线长），体积\(V=\frac{1}{3}\pir^{2}h\)；球的表面积\(S=4\piR^{2}\)，体积\(V=\frac{4}{3}\piR^{3}\)。2.空间点、线、面的位置关系-平面的基本性质：公理1（如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内）、公理2（过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面）、公理3（如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线）。-线面、面面的位置关系：线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理，如线面平行的判定定理是如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；线面垂直的判定定理是如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面等。六、解析几何1.直线与圆-直线的方程：点斜式\(y-y_{1}=k(x-x_{1})\)，斜截式\(y=kx+b\)，一般式\(Ax+By+C=0(A,B不同时为0)\)。-直线的位置关系：两条直线平行\(k_{1}=k_{2}\)（斜率存在时），垂直\(k_{1}\timesk_{2}=-1\)（斜率存在时）；能够根据直线方程求出两直线的交点坐标。-圆的方程：标准方程\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)（圆心为\((a,b)\)，半径为\(r\)），一般方程\(x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\)（\(D^{2}+E^{2}-4F>0\)）。-直线与圆的位置关系：通过圆心到直线的距离\(d\)与半径\(r\)的大小关系判断，\(d>r\)时相离，\(d=r\)时相切，\(d<r\)时相交。2.圆锥曲线-椭圆：标准方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)或\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)，性质包括长轴\(2a\)、短轴\(2b\)、焦距\(2c(c^{2}=a^{2}-b^{2})\)，离心率\(e=\frac{c}{a}(0<e<1)\)。-双曲线：标准方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)\)或\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)\)，性质包括实轴\(2a\)、虚轴\(2b\)、焦距\(2c(c^{2}=a^{2}+b^{2})\)，离心率\(e=\frac{c}{a}(e>1)\)，渐近线方程\(y=\pm\frac{b}{a}x\)（焦点在\(x\)轴上）或\(y=\pm\frac{a}{b}x\)（焦点在\(y\)轴上）。-抛物线：标准方程\(y^{2}=2px(p>0)\)（开口向右）、\(y^{2}=-2px(p>0)\)（开口向左）、\(x^{2}=2py(p>0)\)（开口向上）、\(x^{2}=-2py(p>0)\)（开口向下），性质包括焦点坐标、准线方程，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离等。七、概率与统计1.概率-随机事件的概率：了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握概率的基本概念\(P(A)=\frac{m}{n}\)（\(n\)为基本事件总数，\(m\)为事件\(A\)包含的基本事件数）。-古典概型：满足有限性和等可能性的概率模型，能够计算古典概型中事件的概率。-几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型，计算公式为\(P(A)=\frac{构成事件A的区域长度(面积或体积)}{试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)}\)。2.统计-抽样方法：简单随机抽样（抽签法、随机数法）、系统抽样、分层抽样，能够根据具体情况选择合适的抽样方法。-用样本估计总体：-用样本的频率分布估计总体分布：通过制作频