广东省大湾区高三下学期一模数学试题（原卷版）

2025届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.复数满足，其中为虚数单位，则（）A.2 B. C.1 D.3.已知平面向量的夹角为，且，，则（）A.1 B.2 C. D.44.若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（）A.若，，则B若，，则C.若，，，则D.若，，则5.下列四组数据中，方差最小的为（）A. B.C. D.6.早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆和，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角和（和的单位为弧度），由此可计算地球的半径为（）A. B. C. D.7.设函数，则不等式的解集为（）A B.C. D.8.已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（）A.12 B.11 C.10 D.9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线和圆，则（）A.直线l恒过定点（2，0）B.存在k使得直线l与直线垂直C.直线l与圆O相交D.若，直线l被圆O截得的弦长为10.已知函数，则（）A.是奇函数B.的最小正周期为C.在上单调递增D.的最小值为11.设曲线，抛物线，记抛物线的焦点为，，为分别为曲线，上的动点，为曲线的切线，则（）A.若与无公共点，则B.若过点，则被截得的弦长为C.当时，D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则______.13.在中，已知，，则______.14.有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.（1）求；（2）求数列的前项和.16.在中，角对边分别为，为边上的中线.（1）证明：；（2）若，，求的最大值.17.如图，在四棱锥中，平面，，，.（1）证明：；（2）若四棱锥外接球的表面积为，求二面角的余弦值.18.数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题：（1）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：；（2）是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（注：e为自然对数的底数）19.线段的长为3，端点分别在轴和轴上运动，点满足，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）曲线与轴左右