概率论课件 概率07级复习课学习资料

一些基本概念及其要求事件的并、交、差及其运算规律能熟练写出事件的表达式古典概型的概念及其计算公式能熟练进行古典概型的概率计算有利于A的样本点数样本空间容量1事件的运算满足下面的运算规律(1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)结合律A∪B∪C=(A∪B)∪C=A∪(B∪C);A∩B∩C=(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律(A∪B)∩C＝AC∪BC;(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C);(4)对偶律2概率的一些重要性质性质1P(Φ)=0.性质2P(Ā)=1-P(A).性质3对任意有限个互斥事件A1,A2,…,An有性质4P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).

P(A∪B∪C)＝P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)性质5若A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)

3习题1－7

(p33混放模型)

某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个订货4桶白漆，3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数收到订货的概率是多少？解所求概率为4条件概率及其计算设有A、B两事件，P(A)>0，称已知A发生条件下B发生的概率为B的条件概率，记为P(B|A).当P(A)>0时,概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)5例某软件公司在软件研制完成后，需要通过3道测试。已知软件未能通过第1道测试的概率为1/2；若第1道测试通过，则未能通过第2道测试的概率为3/10；若前两道测试通过，则未能通过第3道测试的概率为1/10。试求软件能通过所有这3道测试的概率。6解设Ai=“软件通过第i道测试”，(i=1,2,3)B=“软件通过所有这3道测试”则有B=A1A2A3，所以P(B)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)7全概率公式和贝叶斯公式样本空间的划分的定义。定义设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,

Bn为E的一组事件，若则称B1,B2,…,

Bn为样本空间S的一个划分。（互斥完备组）8设试验E的样本空间为S，A是E的事件，B1,B2,…,

Bn是S的一个划分，全概率公式如果P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…

+P(A|Bn)P(Bn)。贝叶斯公式如果P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则9补充例某宽带运营商提供给客户的Modem分别来自于中国大陆、中国台湾、美国3个产地，份额分别为25%、35%、40%。3个产地产品的次品率分别为5%、4%、2%。现在从这些产品中随机地取一个，问它是次品的概率。解设A=“取到的是一个次品”，

B1=“取到的产品来自于中国大陆”，

B2=“取到的产品来自于中国台湾”，

B3=“取到的产品来自于美国”。10则B1,B2,B3是样本空间的一个划分，且P(B1)=0.25,P(B2)=0.35,P(B3)=0.40,P(A|B1)=0.05,P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.02由全概率公式有用全概率公式解题的关键，是对样本空间进行正确的划分，并且使得经过划分之后的概率容易计算。11例7

(p24)根据以往的临床诊断纪录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：记A={试验反应为阳性}，C={被诊断者患有癌症}，则有现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)=0.005,试求P(C|A)。解从时间上看，是先发生的，客观的，12表明这种检验手段十分有效。由前面数据可得13事件的独立性如果事件A、B满足公式P(B|A)=P(B)或P(AB)=P(A)P(B)

则称事件A、B相互独立。事件独立性的一条重要性质：这四对事件中，只要其中一对独立，则其余三对也独立。试证明14补充例设某车间有三台车床，在一小时内机器不要求工人维护的概率分别是：0.9，0.8，0.85。求一小时内三台车床至少有一台不需工人维护的概率。解设待求概率的事件为A，

记Ai=“第i台车床需工人维护”（i=1,2,3）依事件Ai

的实际意义可知A1,A2,A3

相互独立，且利用概率的性质和独立性可得：15(分布函数)

定义设X是一个随机变量，χ是任意实数，称定义域为(-∞,+∞)，函数值在[0，1]上的实值函数

F(χ)=P(X≤χ)(-∞<χ<+∞)为随机变量X的分布函数。16分布函数F(χ)具有以下基本性质：

10F(χ)是单调不减函数。即对于任意两点χ1，χ2

，当χ1<

χ2

时，有所以总有F(χ1)≤F(χ2)。200≤F(χ)≤1，且30F(χ＋0)=F(χ)，

即任一分布函数是一个右连续函数。17(离散型随机变量的)

分布律如果随机变量X的可能取值为χ1，χ2，…，

χi，…,并以p1，p2，…，pi…,的概率取这些值，则通常用下面的表来表达…pi

…p2

p1

概率…

χi

…

χ2

χ1

X并把这个表所表示的函数称为离散型随机变量X的分布律。18

补充

例3袋中有5个球，分别编号1,2,…,5，从中同时取出3个球，以X表示取出的球的最小号码，求X的分布律。解X的所有可能取值为1,2,3。=———=———=———因此，所求的分布律为0.10.30.6概率321X19连续型随机变量及其概率密度定义如果对于随机变量X的分布函数F(χ)，存在非负函数ƒ(χ)，使对于任意的实数χ有则称X为连续型随机变量，其中函数ƒ(χ)称为X的概率密度函数，简称概率密度，或密度。并称这时X的分布为连续型分布。20概率密度具有下列性质：40F(χ)是连续函数，且在ƒ(χ)的连续点处有F′(χ)=ƒ(χ)。21常用的典型分布1.0-1分布p1－p概率10X分布律2.二项分布分布律223.泊松分布分布律4.均匀分布概率密度235.指数分布概率密度6.正态分布概率密度24标准正态分布如果在一个正态分布中有μ=0,σ2=

1，即X的密度函数为则称X服从标准正态分布，记为X~N(0,1)。而把分布函数特别记为2526补充例公共汽车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高X服从N(170,62)(单位:cm)，试确定车门的高度。解设车门的高度为h厘米，根据要求应有P(X>h)<0.01，即P(X≤h)≥0.99,查表可知标准正态分布的上0.01分位点是2.326，即要求解出h≥183.96≈184即车门的高度应不低于184cm。27随机变量的函数的分布当离散型随机变量X取某一可能值χi时，随机变量的函数取值为如果的值各不相等，则随机变量的分布律为中有相等的，但如果则应把相等的那些所对应的概率合并相加，作为Y取可能值的概率，这样才能得到随机变量的函数的分布律。28X为连续型随机变量设X为连续型随机变量，其密度函数为是一个已知的连续函数，X的函数，这时求Y的密度函数有两种方法。用公式(2)先求Y的分布函数然后进一步再求出Y的密度函数29定理用公式设随机变量X的密度函数为是单调而且有一阶连续导数的函数，30例2

(p62)设随机变量X具有概率密度为解Y的值域在区间(8,16)内，利用公式(5.2)可得31的密度函数为32联合分布函数定义设(X,Y)是二维随机变量，对于任意的实数x,y，称二元函数：为二维随机变量(x,y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。33即对任意固定的y，对任意固定的χ，3435边缘分布边缘分布函数边缘概率密度函数36补充例设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为求关于X，关于Y的边缘分布函数37补充例设二维随机变量(x,y)的联合密度函数为求边缘概率密度函数38相互独立的随机变量分别是二维随机变量(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数，若对于所有的x,y

有那么称随机变量X和Y是相互独立的。39连续型随机变量

相互独立的等价条件设(X,Y)是连续型随机变量，分别是其概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的条件等价于几乎处处成立。40(续)补充例设二维随机变量(x,y)的联合密度函数为已求得边缘概率密度为容易看到X、Y是相互独立的。41(续)补充例设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为已求得关于X，关于Y的边缘分布函数为因此，X和Y相互独立。42随机变量的数字特征数学期望（均值）43数学期望的重要性质后面两个性质可以推广到任意有限个随机变量的情形。44随机变量函数的数学期望例设X的分布为1p20X例12

(四)设一电路中电流I(A)与电阻R(Ω)是两个相互独立的随机变量，其密度函数分别为试求电压V=IR的均值。45补

充例

(四)

某公司生产的机器其无障碍工作时间X的密度函数为公司每售出一台机器获利1600元，若机器售出后使用1.2万小时内出现故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之间出现故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用2万小时以后出现故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均利润。46习题4－13(p140)设X1、

X2相互独立且它们的密度函数分别为求47方差与标准差48方差的性质49正态分布的随机变量的线性组合的分布本章做过的补充作业50标准化随机变量协方差和相关系数协方差相关系数51六个典型分布的特征52定理

切比雪夫(Chebyshev)不等式设随机变量X的数学期望和方差为则对于任意正数ε，下面的不等式成立。53切比雪夫不等式常用于未知X的分布，只知道E(X),D(X)的情况下，不能准确计算事件{|X-E(X)|<ε}的概率时，对其概率的下限的估计，而且时常使用它的等价形式习题4－32

(p142)已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率p。54解设每毫升血液中白细胞数为X，按题意，所求为55独立同分布的中心极限定理当n很大时，近似地近似地56补充例(五)设一个车间里有400台同类型的机器，每台机器需要用电量为Q瓦。由于工艺关系，每台机器并不连续开动，开动的时间只占工作总时间的3/4，假定各台机器的停、开是相互独立的。问应该供电多少瓦，才能以99%的概率保证该车间的机器正常工作？在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。57补充例(五)为了测定一台机床的重量，把它分解为75个部件来称量。假定每个部件的称量误差(单位：kg)服从区间(

1,1)上的均匀分布，且每个部件的称量误差相互独立，试求机床重量的总误差的绝对值不超过10kg的概率。解设第i个部件的称量误差为

Xi(i=1,2,…75),58由题意知Xi(i=1,2,…75)相互独立且都服从区间(

1,1)上的均匀分布，并有(i=1,2,…75)用独立同分布的中心极限定理4作计算可近似地得59于是，所求概率为即机床重量的总误差的绝对值不超过10kg的概率近似为0.9544。60例1

(p151

)一个加法器同时收到20个噪声电压设它们是相互独立的随机变量，且都服从区间(0,10)上的均匀分布，求P{V>105}的近似值。61解因为每个Vk都服从(0,10)上的均匀分布，即由定理四，近似地有Z～N(0,1)，62于是63补充习题(五)某单位设置有一电话总机，共有200部电话分机。设每部电话分机使用外线通话是相互独立的。设每时刻每台分机有5%的概率要使用外线通话，问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每台分机要使用外线时可供使用？64统计学中经常用到的几个概念总体与个体随机样本样本容量样本值统计量样本均值与样本方差统计与抽样分布65定义

(统计量p159)设X1,

…,Xn

是来自总体X的一个样本，g(X1,

…,Xn

)是X1,

…,Xn

的函数。若g中不含未知参数，则称g(X1,

…,Xn

)是一个统计量。66几个常用的统计量(1)样本均值(2)样本方差(3)样本标准差67(4)样本k阶(原点)矩(5)样本k阶(中心)矩样本方差的简算公式68其中的g是一个连续函数。统计学的三大分布69三大分布的定义及其上α

分位点的意义。p162,p164;p165,p166;p166,p167;(不论服从什么分布，只要均值和方差存在)70这是对一般分布的结论。从上面结论看到，下面结论是专门针对正态总体的71则有72则有下面的结论73评价标准74矩估计法矩估计法就是用样本矩作为相应的总体矩的估计量。以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。这叫替换原理，这种估计方法称为矩估计法。这种估计法要求把待估参数表示为总体矩的函数。矩估计的计算过程、做过的作业题75极大似然估计法极大似然估计法只适用于总体的分布类型是已知的统计模型。方法为：1.写出关于样本的似然函