浙江专用2025版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第五节两角和与差的正弦余弦和正切公式教案含解析

PAGEPAGE1第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．公式的常用变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).[小题体验]1．cos45°cos15°－sin45°sin15°的值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(3),3)答案：A2．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(3,7)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β))＝eq\f(2,5)，则tan(α＋β)的值为()A．eq\f(29,41) B．eq\f(1,29)C．eq\f(1,41) D．1答案：D3．若sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，则eq\f(tanα,tanβ)＝________.答案：54．(教材习题改编)已知sin(α－π)＝eq\f(3,5)，则cos2α＝________.答案：eq\f(7,25)1．运用公式时要留意审查公式成立的条件，要留意和、差、倍角的相对性，要留意升次、降次的敏捷运用，要留意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，肯定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．[小题纠偏]1．若sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，则cosα＝()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)解析：选C因为sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，所以cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＝eq\f(1,3).2．(2024·温州模拟)已知sinx＋eq\r(3)cosx＝eq\f(6,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝________.解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝coseq\f(π,6)cosx＋sineq\f(π,6)sinx＝eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＝eq\f(1,2)(sinx＋eq\r(3)cosx)＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)eq\a\vs4\al(考点一三角函数公式的基本应用)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α－β)的值为()A．－eq\f(2,11) B．eq\f(2,11)C．eq\f(11,2) D．－eq\f(11,2)解析：选A因为sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).因为tan(π－β)＝eq\f(1,2)＝－tanβ，所以tanβ＝－eq\f(1,2)，则tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq\f(2,11).2．已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝eq\f(1,2)f(x)，则tan2x的值是()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(4,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)解析：选D∵f′(x)＝cosx＋sinx＝eq\f(1,2)sinx－eq\f(1,2)cosx，∴tanx＝－3，∴tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(－6,1－9)＝eq\f(3,4)，故选D.3．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))的值为______．解析：因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5).sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(4,5)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))＝coseq\f(5π,6)cos2α＋sineq\f(5π,6)sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(4＋3\r(3),10).答案：－eq\f(4＋3\r(3),10)4．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).(1)求sinx的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的值．解：(1)因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))))＝eq\f(7\r(2),10).所以sinx＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4,5).(2)因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，故cosx＝－eq\r(1－sin2x)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5)，sin2x＝2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，cos2x＝2cos2x－1＝－eq\f(7,25).所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝cos2xcoseq\f(π,3)－sin2xsineq\f(π,3)＝－eq\f(7,25)×eq\f(1,2)＋eq\f(24,25)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(24\r(3)－7,50).[谨记通法]三角函数公式的应用策略(1)运用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)运用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．eq\a\vs4\al(考点二三角函数公式的逆用与变形应用)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2024·台州模拟)已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，且sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(14),4)，则eq\f(2cos2θ－1,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ)))＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(3,2)解析：选D由sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(14),4)得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(\r(7),4)，∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴0＜eq\f(π,4)－θ＜eq\f(π,4)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(3,4).eq\f(2cos2θ－1,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ)))＝eq\f(cos2θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2θ)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))＝eq\f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(3,2).2．计算：eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值为()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：选Beq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).3．计算：tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝________.解析：∵tan(20°＋40°)＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°)，∴eq\r(3)－eq\r(3)tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，即tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝eq\r(3).答案：eq\r(3)[由题悟法]1．三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应精确找出所给式子与公式的异同，创建条件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，留意公式的正用、逆用和变形运用．2．三角函数公式逆用和变形用应留意的问题(1)公式逆用时肯定要留意公式成立的条件和角之间的关系．(2)留意特别角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，肯定要考虑引入特别角，把“值变角”构造适合公式的形式．[即时应用]1．(2024·金华十校联考)sin5°cos55°－cos175°sin55°的值是()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)解析：选Dsin5°cos55°－cos175°sin55°＝sin5°cos55°＋cos5°sin55°＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).2．若tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＋2coseq\f(π,4)cos2α的值为____________．解析：由tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，得(tanα－3)(3tanα－1)＝0，所以tanα＝3或tanα＝eq\f(1,3).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以tanα＝3，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＋2coseq\f(π,4)cos2α＝eq\f(\r(2),2)sin2α＋eq\f(\r(2),2)cos2α＋eq\f(\r(2)1＋cos2α,2)＝eq\f(\r(2),2)sin2α＋eq\r(2)cos2α＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋eq\r(2)·eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(2tanα,tan2α＋1)＋eq\r(2)·eq\f(1－tan2α,tan2α＋1)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2×3,32＋1)＋eq\r(2)×eq\f(1－32,32＋1)＋eq\f(\r(2),2)＝0.答案：0eq\a\vs4\al(考点三角的变换)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，求cos(α＋β)．解：∵0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，∴－eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)－β＜eq\f(π,2)，eq\f(π,4)＜α－eq\f(β,2)＜π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(5),3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(4\r(5),9)，∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27)，∴cos(α＋β)＝2cos2eq\f(α＋β,2)－1＝2×eq\f(49×5,729)－1＝－eq\f(239,729).[由题悟法]利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[即时应用]1．已知tan(α＋β)＝1，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))的值为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,5)解析：选Btaneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))＝eq\f(1－\f(1,3),1＋1×\f(1,3))＝eq\f(1,2).2．(2024·福建师大附中检测)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝()A．－eq\f(7,8) B．－eq\f(1,4)C．eq\f(1,4) D．eq\f(7,8)解析：选Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝－eq\f(7,8).一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2024·宁波模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A．eq\f(1,7) B．7C．－eq\f(1,7) D．－7解析：选A因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，所以tanα＝－eq\f(3,4)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(－\f(3,4)＋1,1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).2．已知sin2α＝eq\f(1,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)解析：选D依题意得cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)(cosα＋sinα)2＝eq\f(1,2)(1＋sin2α)＝eq\f(2,3).3．已知sinα＝eq\f(1,3)＋cosα，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))的值为()A．－eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)解析：选A因为sinα＝eq\f(1,3)＋cosα，所以sinα－cosα＝eq\f(1,3)，所以eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,sinαcos\f(π,4)＋cosαsin\f(π,4))＝eq\f(cosα－sinαcosα＋sinα,\f(\r(2),2)sinα＋cosα)＝eq\f(－\f(1,3),\f(\r(2),2))＝－eq\f(\r(2),3).4．(2024·衢州模拟)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝2，则eq\f(tanx,tan2x)的值为________．解析：由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(tanx＋1,1－tanx)＝2，解得tanx＝eq\f(1,3)，所以eq\f(tanx,tan2x)＝eq\f(1－tan2x,2)＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)5．设sinα＝2cosα，则tan2α的值为________．解析：由题可知，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝()A．－eq\f(4,3) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)或0 D．eq\f(4,3)或0解析：选D∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sin2α＝1＋cos2α，,sin22α＋cos22α＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α＝0，,cos2α＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α＝\f(4,5)，,cos2α＝\f(3,5)，))∴tan2α＝0或tan2α＝eq\f(4,3).2．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，则sin2α的值为()A．－eq\f(1,18) B．eq\f(1,18)C．－eq\f(17,18) D．eq\f(17,18)解析：选C由3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，可得3(cos2α－sin2α)＝eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)，又由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2),2)，所以1＋2sinαcosα＝eq\f(1,18)，故sin2α＝－eq\f(17,18).3．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝()A.eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(5\r(3),9) D．－eq\f(\r(6),9)解析：选C∵0＜α＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)＋α＜eq\f(3π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2\r(2),3).又－eq\f(π,2)＜β＜0，则eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)－eq\f(β,2)＜eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(6),3).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9).4．(2024·“七彩阳光”联盟适应性考试)已知函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x－m在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A．[－eq\r(3)，2) B．[－eq\r(3)，eq\r(3))C．[eq\r(3)，2) D．[0,2)解析：选C令f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x－m＝0，则有m＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以有2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))∈[－eq\r(3)，2]．因为有两个不同的零点，结合图形可知，m∈[eq\r(3)，2)．5．已知cosα＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则cos(α－β)的值等于()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(23,27)解析：选D∵cosα＝eq\f(1,3)，2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，∴cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,9)，sin2α＝eq\r(1－cos22α)＝eq\f(4\r(2),9)，又∵cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(2\r(2),3)，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋eq\f(4\r(2),9)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(23,27).6．(2024·杭州二中模拟)已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，则tanα＝________；tan2α＝________.解析：由sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)两边平方可得sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝eq\f(5,2)，故eq\f(sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(5,2)，即eq\f(tan2α＋4tanα＋4,tan2α＋1)＝eq\f(5,2)，解得tanα＝3或tanα＝－eq\f(1,3).当tanα＝3时，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4)；当tanα＝－eq\f(1,3)时，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).答案：3或－eq\f(1,3)－eq\f(3,4)7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，则cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝________.解析：cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1.答案：－18．(2024·安徽两校阶段性测试)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝2eq\r(2)cos2α，则sin2α＝________.解析：由已知得eq\f(\r(2),2)(cosα＋sinα)＝2eq\r(2)(cosα－sinα)·(cosα＋sinα)，所以cosα＋sinα＝0或cosα－sinα＝eq\f(1,4)，由cosα＋sinα＝0得tanα＝－1，因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＋sinα＝0不满意条件；由cosα－sinα＝eq\f(1,4)，两边平方得1－sin2α＝eq\f(1,16)，所以sin2α＝eq\f(15,16).答案：eq\f(15,16)9．(2024·杭州七校联考)已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－eq\f(7\r(2),10).(1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值．解：(1)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).因为tanα＝2，所以cos2α＝eq\f(1－4,1＋4)＝－eq\f(3,5).(2)因为α∈(0，π)，tanα＝2，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).因为cos2α＝－eq\f(3,5)，所以2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sin2α＝eq\f(4,5).因为β∈(0，π)，cosβ＝－eq\f(7\r(2),10)，所以sinβ＝eq\f(\r(2),10)且β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7\r(2),10)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),10)＝－eq\f(\r(2),2).因为2α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以2α－β＝－eq\f(π,4).10．已知向量a＝(sinωx，cosωx)，b＝(cosφ，sinφ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，\f(π,3)＜φ＜π))，函数f(x)＝a·b的最小正周期为2π，其图象经过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3),2))).(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且f(α)＝eq\f(3,5)，f(β)＝eq\f(12,13)，求f(2α－β)的值．解：(1)依题意有f(x)＝a·b＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ＝sin(ωx＋φ)．∵函数f(x)的最小正周期为2π，∴T＝eq\f(2π,ω)＝2π，解得ω＝1.将点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3),2)))代入函数f(x)的解析式，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z或eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.∵eq\f(π,3)＜φ＜π，∴eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(2π,3)，∴φ＝eq\f(π,2).故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx.(2)依题意有cosα＝eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(12,13)，而α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13)，∴sin2α＝eq\f(24,25)，cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(9,25)－eq\f(16,25)＝－eq\f(7,25)，∴f(2α－β)＝cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝－eq\f(7,25)×eq\f(12,13)＋eq\f(24,25)×eq\f(5,13)＝eq\f(36,325).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知平面对量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，f(x)＝a·b＋4cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx，若存在m∈R，对随意的x∈R，f(x)≥f(m)，则f(m)＝()A．2＋2eq\r(3) B．3C．0 D．2－2eq\r(3)解析：选C依题意得f(x)＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋eq\r(3)sin2x＝sin2x＋3cos2x＋eq\r(3)sin2x＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＋2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2，因此函数f(x)的最小值是－2＋2＝0，即有f(m)＝0.2．设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))对一切x∈R恒成立，则①feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝0；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,10)))))＜eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))))；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)；⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交．以上结论正确的是________(填序号)．解析：f(x)＝asin2x＋bcos2x＝eq\r(a2＋b2)sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))，因为对一切x∈R，f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))恒成立，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝±1，可得φ＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，故f(x)＝±eq\r(a2＋b2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝±eq\r(a2＋b2)·sineq