2024高考高考数学二轮复习第二部分第七讲函数与导数微专题2函数与方程函数的实际应用学案理

PAGEPAGE1微专题2函数与方程、函数的实际应用命题者说考题统计考情点击2024·全国卷Ⅰ·T9·函数的零点2024·全国卷Ⅲ·T15·函数的零点2024·浙江高考·T11·方程组的实际应用2024·全国卷Ⅲ·T11·函数的零点从近5年高考状况来看，本部分内容始终是高考的热点，尤其是对函数的零点、方程的根的个数的判定及利用零点存在性定理推断零点是否存在和零点存在区间的考查较为频繁，一般会将本部分内容学问与函数的图象和性质结合起来考查，综合性较强，一般以选择题、填空题形式出现，解题时要充分利用函数与方程、数形结合等思想。考向一推断函数零点的个数或所在区间【例1】(1)函数f(x)＝log2x－eq\f(1,x)的零点所在的区间为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2) D．(2,3)(2)函数f(x)＝4cos2eq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________。解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数。feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log2eq\f(1,2)－eq\f(1,\f(1,2))＝－1－2＝－3<0，f(1)＝log21－eq\f(1,1)＝0－1<0，f(2)＝log22－eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)>0，f(3)＝log23－eq\f(1,3)>1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)>0，即f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)＝log2x－eq\f(1,x)的零点在区间(1,2)内。故选C。(2)f(x)＝4cos2eq\f(x,2)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,2)－1))－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|。在同一坐标系中作出两个函数y＝sin2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示。令ln(x＋1)＝1，则x＝e－1。视察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点。答案(1)C(2)2(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：①函数零点值大致存在区间的确定。②零点个数的确定。③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定。(2)推断函数零点个数的主要方法：①解方程f(x)＝0，干脆求零点。②利用零点存在定理。③数形结合法：对于给定的函数不能干脆求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题。变|式|训|练1．(2024·南宁摸底)设函数f(x)＝lnx－2x＋6，则f(x)零点的个数为()A．3B．2C．1D．0解析令f(x)＝0，则lnx＝2x－6，令g(x)＝lnx，h(x)＝2x－6(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，简单看出函数f(x)零点的个数为2，故选B。答案B2．已知函数f(x)满意：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝eq\f(1,2)log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是()A．5B．6C．7D．8解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解。故选A。答案A考向二依据函数的零点求参数的范围【例2】已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．1解析解法一：令f(x)＝0，则x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，则g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－eq\f(1,ex－1)＝eq\f(e2x－1－1,ex－1)，当g′(x)＝0时，x＝1，故当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，当x＝1时，函数g(x)取得最小值2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数h(x)取得最小值－1，若－a<0，h(1)＝－ag(1)时，此时函数h(x)和－ag(x)有一个交点，即－a×2＝－1⇒a＝eq\f(1,2)。故选C。解法二：f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－2x＋a(e1－x＋ex－1)＝f(x)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，而f(x)有唯一的零点，则f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝－1＋2a＝0，解得a＝eq\f(1,2)。故选C。答案C利用函数零点的状况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解。(2)分别参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解。(3)转化为两熟识的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。变|式|训|练已知在区间(0,2]上的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－3，x∈0，1]，,2x－1－1，x∈1，2]，))且g(x)＝f(x)－mx在区间(0,2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))解析由函数g(x)＝f(x)－mx在(0,2]内有且仅有两个不同的零点，得y＝f(x)，y＝mx在(0,2]内的图象有且仅有两个不同的交点。当y＝mx与y＝eq\f(1,x)－3在x∈(0,1]相切时，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－eq\f(9,4)，结合图象可得当－eq\f(9,4)<m≤－2或0<m≤eq\f(1,2)时，函数g(x)＝f(x)－mx在(0,2]内有且仅有两个不同的零点。故选A。答案A考向三函数的实际应用【例3】(1)某城市为了解游客人数的改变规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2024年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图。依据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，改变比较平稳(2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x；当年产量不小于80千件时，G(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450。已知每件产品的售价为0.05万元。通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元。解析(1)通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，从图视察C是正确的，D也正确，1～6月比较平稳，7～12月波动较大。故选A。(2)因为每件产品的售价为0.05万元，所以x千件产品的销售额为0.05×1000x＝50x(万元)。①当0<x<80时，年利润L(x)＝50x－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950，所以当x＝60时，L(x)取得最大值，且最大值为L(60)＝950(万元)；②当x≥80时，L(x)＝50x－51x－eq\f(10000,x)＋1450－250＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤1200－2eq\r(x·\f(10000,x))＝1200－200＝1000，当且仅当x＝eq\f(10000,x)，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元。由于950<1000，所以当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1000万元。答案(1)A(2)1000解决函数实际应用题的2个关键点(1)仔细读题，缜密审题，精确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题。(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要找寻它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解。变|式|训|练1．(2024·昆明调研)下图是1951～2024年我国年平均气温改变图。依据上图，下列结论正确的是()A．1951年以来，我国年平均气温逐年增高B．1951年以来，我国年平均气温在2024年再创新高C．2000年以来，我国年平均气温都高于1981～2010年的平均值D．2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值解析由1951～2024年我国年平均气温改变图可以看出，年平均气温有上升的也有降低的，所以A错误；2024年的年平均气温不是最高的，所以B错误；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以C错误；2000年以来，只有2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，故D正确。故选D。答案D2．(2024·马鞍山一模)某高校为提升科研实力，安排逐年加大科研经费投入。若该高校2024年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费起先超过2000万元的年份是________。(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2024年B．2024年C．2024年D．2024年解析若2024年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2024年科研经费超过2000万元。故选B。答案B1．(考向一)(2024·昆明调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x－1，x>1，,x3－3x＋1，x≤1，))则函数f(x)的零点个数为________。解析解法一：当x>1时，由log2(x－1)＝0得x＝2，即x＝2为函数f(x)在区间(1，＋∞)上的一个零点；当x≤1时，因为f(x)＝x3－3x＋1，所以f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝－1或x＝1，因为当x<－1时，f′(x)>0，当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，所以x＝－1为函数f(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上的极大值点，因为f(－1)＝3>0，f(1)＝－1<0，且当x→－∞时，f(x)→－∞，所以函数f(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上有两个不同的零点。综上，函数f(x)的零点个数为3。解法二：当x>1时，作出函数y＝log2(x－1)的图象如图①所示，当x≤1时，由f(x)＝x3－3x＋1＝0得，x3＝3x－1，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y＝x3和y＝3x－1的图象如图②所示，由图①，②可知函数f(x)的零点个数为3。答案32．(考向一)(2024·洛阳统考)已知函数f(x)满意f(1－x)＝f(1＋x)＝f(x－1)(x∈R)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则方程|cosπx|－f(x)＝0在[－1,3]上的全部根之和为()A．8 B．9C．10 D．11解析方程|cosπx|－f(x)＝0在[－1,3]上的全部根之和即y＝|cosπx|与y＝f(x)在[－1,3]上的图象交点的横坐标之和。由f(1－x)＝f(1＋x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称，由f(1－x)＝f(x－1)得f(x)的图象关于y轴对称，由f(1＋x)＝f(x－1)得f(x)的一个周期为2，而当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝|cosπx|在[－1,3]上的大致图象，如图所示。易知两图象在[－1,3]上共有11个交点，又y＝f(x)，y＝|cosπx|的图象都关于直线x＝1对称，故这11个交点也关于直线x＝1对称，故全部根之和为11。故选D。答案D3．(考向二)已知函数f(x)＝eq\f(|x|,x＋2)－kx2(x∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，1)C．(0,1) D．(1，＋∞)解析因为x＝0是函数f(x)的零点，则函数f(x)＝eq\f(|x|,x＋2)－kx2(k∈R)有四个不同的零点，等价于方程k＝eq\f(1,|x|x＋2)有三个不同的根，即方程eq\f(1,k)＝|x|(x＋2)有三个不同的根。记函数g(x)＝|x|(x＋2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,－x2－2x，x<0。))由题意y＝eq\f(1,k)与y＝g(x)有三个不同的交点，作图可知(图略)0<eq\f(1,k)<1，所以k>1。故选D。答案D4．(考向二)(2024·四川统考)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，x＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))|x|＋1，x≠0，))若关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的零点，则a的取值范围是()A．(1,2) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))解析作出f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))|x|＋1，x≠0的图象如图所示。设t＝f(x)，则原方程化为2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，由图象可知，若关于x的方程2f2(x