2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2.1第1课时排列与排列数公式练习新人教A版选修2-3

PAGEPAGE11.2.1第1课时排列与排列数公式,[A基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有()A．72种 B．84种C．120种 D．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有Ceq\o\al(3,10)＝120(种)．2．方程Ceq\o\al(x,28)＝Ceq\o\al(3x－8,28)的解为()A．4或9 B．4C．9 D．5解析：选A.当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.3．将2名女老师，4名男老师分成2个小组，分别支配到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女老师和2名男老师组成，则不同的支配方案共有()A．24种 B．12种C．10种 D．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有Ceq\o\al(1,2)＝2种选法；其次步，为甲地选2名男老师，有Ceq\o\al(2,4)＝6种选法；第三步，剩下的3名老师到乙地，故不同的支配方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简Ceq\o\al(97,98)＋2Ceq\o\al(96,98)＋Ceq\o\al(95,98)等于()A．Ceq\o\al(97,99) B．Ceq\o\al(97,100)C．Ceq\o\al(98,99) D．Ceq\o\al(98,100)解析：选B.由组合数的性质知，Ceq\o\al(97,98)＋2Ceq\o\al(96,98)＋Ceq\o\al(95,98)＝(Ceq\o\al(97,98)＋Ceq\o\al(96,98))＋(Ceq\o\al(96,98)＋Ceq\o\al(95,98))＝Ceq\o\al(97,99)＋Ceq\o\al(96,99)＝Ceq\o\al(97,100).5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()A．2人或3人 B．3人或4人C．3人 D．4人解析：选A.设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(1,8－n)＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A.6．若Aeq\o\al(3,n)＝6Ceq\o\al(4,n)，则n的值为________．解析：由题意知n(n－1)(n－2)＝6·eq\f(n（n－1）（n－2）（n－3）,4×3×2×1)，化简得eq\f(n－3,4)＝1，所以n＝7.答案：77．某单位需同时参与甲、乙、丙三个会议，甲需2人参与，乙、丙各需1人参与，从10人中选派4人参与这三个会议，不同的支配方法有________种．解析：从10人中选派4人有Ceq\o\al(4,10)种方法，对选出的4人详细支配会议有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＝2520种．答案：25208．若Ceq\o\al(m－1,n)∶Ceq\o\al(m,n)∶Ceq\o\al(m＋1,n)＝3∶4∶5，则n－m＝________．解析：由题意知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(m－1,n),Ceq\o\al(m,n))＝\f(3,4)，,\f(Ceq\o\al(m,n),Ceq\o\al(m＋1,n))＝\f(4,5)，))由组合数公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n－7m＋3＝0，,9m－4n＋5＝0，))解得：n＝62，m＝27.n－m＝62－27＝35.答案：359．推断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？解：(1)与依次无关是组合问题，共有Ceq\o\al(5,10)种不同分法．(2)大小依次已确定，故是组合问题，构成三位数共有Ceq\o\al(3,9)个．(3)握手无先后依次，故是组合问题，共需握手Ceq\o\al(2,10)次．10．(1)解方程：Ceq\o\al(x－2,x＋2)＋Ceq\o\al(x－3,x＋2)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3)；(2)解不等式：eq\f(1,Ceq\o\al(3,x))－eq\f(1,Ceq\o\al(4,x))＜eq\f(2,Ceq\o\al(5,x)).解：(1)原方程可化为Ceq\o\al(x－2,x＋3)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3)，即Ceq\o\al(5,x＋3)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3)，所以eq\f(（x＋3）！,5！（x－2）！)＝eq\f(（x＋3）！,10·x！)，所以eq\f(1,120（x－2）！)＝eq\f(1,10·x（x－1）·（x－2）！)，所以x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3，经检验知，x＝4是原方程的解．(2)通过将原不等式化简可以得到eq\f(6,x（x－1）（x－2）)－eq\f(24,x（x－1）（x－2）（x－3）)＜eq\f(240,x（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）).由x≥5，得x2－11x－12＜0，解得5≤x＜12.因为x∈N*，所以x∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B实力提升]11．式子Ceq\o\al(m＋2,10)＋Ceq\o\al(17－m,10)(m∈N*)的值的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋2≤10，,17－m≤10，))得7≤m≤8，所以m＝7或8.当m＝7时，原式＝Ceq\o\al(9,10)＋Ceq\o\al(10,10).当m＝8时，原式＝Ceq\o\al(10,10)＋Ceq\o\al(9,10)，故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有()A．35种 B．70种C．30种 D．65种解析：选B.先从7人中选出3人有Ceq\o\al(3,7)＝35种状况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种状况，故不同的调整方案种数为2Ceq\o\al(3,7)＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(7×6,2×1)＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5),\s\do5(3×2×1))＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参与，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最终决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场竞赛？解：可分为如下几类竞赛：(1)小组循环赛：每组有Ceq\o\al(2,4)＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，依据赛制规则，16