2024-2025学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式教案含解析新人教A版选修4-5

PAGEPAGE1三排序不等式1．依次和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的依次积之和(简称依次和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于依次和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤依次和．[点睛]排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．eq\o(\s\up7(用排序不等式证明不等式(所证不等式),\s\do5(中字母大小依次已确定)))[例1]已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：eq\f(a5,b3c3)＋eq\f(b5,c3a3)＋eq\f(c5,a3b3)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).[思路点拨]分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可干脆构造两个数组，再用排序不等式证明即可．[证明]∵a≥b>0，于是eq\f(1,a)≤eq\f(1,b)，又c>0，从而eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)，同理eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)，从而eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab).又由于依次和不小于乱序和，故可得eq\f(a5,b3c3)＋eq\f(b5,c3a3)＋eq\f(c5,a3b3)≥eq\f(b5,b3c3)＋eq\f(c5,c3a3)＋eq\f(a5,a3b3)＝eq\f(b2,c3)＋eq\f(c2,a3)＋eq\f(a2,b3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∵a2≥b2≥c2，\f(1,c3)≥\f(1,b3)≥\f(1,a3)))≥eq\f(c2,c3)＋eq\f(a2,a3)＋eq\f(b2,b3)＝eq\f(1,c)＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于细致视察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所须要的带有大小依次的两个数组．1．已知0<α<β<γ<eq\f(π,2)，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγ·cosα>eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明：∵0<α<β<γ<eq\f(π,2)，且y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))为增函数，y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))为减函数，∴0<sinα<sinβ<sinγ，cosα>cosβ>cosγ>0.∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn.由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列，由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小依次作出假设)[例2]设a，b，c为正数，求证：eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.[思路点拨]本题考查排序不等式的应用，解答本题须要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小依次，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明．[证明]由对称性，不妨设a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)，故由排序不等式：依次和≥乱序和，得eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥eq\f(a12,ab)＋eq\f(b12,bc)＋eq\f(c12,ca)＝eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a).①又因为a11≥b11≥c11，eq\f(1,a)≤eq\f(1,b)≤eq\f(1,c).再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得eq\f(a11,a)＋eq\f(b11,b)＋eq\f(c11,c)≤eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a).②所以由①②得eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.在排序不等式的条件中须要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的状况，要依据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设a，b，c都是正数，求证：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0，由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，eq\f(1,c)≥eq\f(1,b)≥eq\f(1,a).由排序不等式，知ab×eq\f(1,c)＋ac×eq\f(1,b)＋bc×eq\f(1,a)≥ab×eq\f(1,b)＋ac×eq\f(1,a)＋bc×eq\f(1,c)＝a＋c＋b，即eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.4．设a1，a2，a3为正数，求证：eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)≥a1＋a2＋a3.证明：不妨设a1≥a2≥a3>0，于是eq\f(1,a1)≤eq\f(1,a2)≤eq\f(1,a3)，a2a3≤a3a1≤a1a2，由排序不等式：依次和≥乱序和得eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a3a1,a2)＋eq\f(a2a3,a1)≥eq\f(1,a2)·a2a3＋eq\f(1,a3)·a3a1＋eq\f(1,a1)·a1a2＝a3＋a1＋a2.即eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)≥a1＋a2＋a3.1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的依次和、反序和分别是()A．100,85 B．100,80C．95,80 D．95,85解析：选B由依次和与反序和的定义可知依次和为100，反序和为80.2．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1D.eq\f(1,2)解析：选A因为0<a1<a2,0<b1<b2，所以由排序不等式可知a1b1＋a2b2最大．3．锐角三角形中，设P＝eq\f(a＋b＋c,2)，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的大小关系为()A．P≥Q B．P＝QC．P≤Q D．不能确定解析：选C不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，则由排序不等式有Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝P＝eq\f(a＋b＋c,2).4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花()A．76元 B．20元C．84元 D．96元解析：选A设a1＝1(件)，a2＝2(件)，a3＝3(件)，b1＝10(元)，b2＝13(元)，b3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3＋a2b2＋a3b1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤依次和知，依次和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32286．设正实数a1，a2，…，an的任一排列为a1′，a2′，…，an′，则eq\f(a1,\a\vs4\al(a1′))＋eq\f(a2,\a\vs4\al(a2′))＋…＋eq\f(an,\a\vs4\al(an′))的最小值为________．解析：不妨设0<a1≤a2≤a3…≤an，则eq\f(1,a1)≥eq\f(1,a2)≥…≥eq\f(1,an).其反序和为eq\f(a1,a1)＋eq\f(a2,a2)＋…＋eq\f(an,an)＝n，则由乱序和不小于反序和知eq\f(a1,\a\vs4\al(a1′))＋eq\f(a2,\a\vs4\al(a2′))＋…＋eq\f(an,\a\vs4\al(an′))≥eq\f(a1,a1)＋eq\f(a2,a2)＋…＋eq\f(an,an)＝n，∴eq\f(a1,\a\vs4\al(a1′))＋eq\f(a2,\a\vs4\al(a2′))＋…＋eq\f(an,\a\vs4\al(an′))的最小值为n.答案：n7．设a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一个排序，则a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是________．解析：a1＋2a2＋3a3＋4a4的最大值为12＋22＋32＋42＝30，最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20，∴a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是[20,30]．答案：[20,30]8．设a，b，c是正实数，用排序不等式证明aabbcc≥(abc)eq\f(a＋b＋c,3).证明：由所证不等式的对称性，不妨设a≥b≥c>0，则lga≥lgb≥lgc，据排序不等式有：alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algc，alga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgc，以上两式相加，再两边同加alga＋blgb＋clgc，整理得3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)，即lg(aabbcc)≥eq\f(a＋b＋c,3)·lg(abc)，故aabbcc≥(abc)eq\f(a＋b＋c,3).9．某学校实行投篮竞赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m分钟，其次人投n分钟，第三人投p分钟，某班级三名运动员A，B，C每分钟能投进的次数分别为a，b，c，已知m＞n＞p，a＞b＞c，如何派三人上场能取得最佳成果？解：∵m＞n＞p，a＞b＞c，且由排序不等式知依次和为最大值，∴最大值为ma＋nb＋pc，此时分数最高，∴三人上场依次是A第一，B其次，C第三．10．已知0<a≤b≤c，求证：eq\f(c2,a＋b)＋eq\f(b2,a＋c)＋eq\f(a2,b＋c)≥eq\f(a2,a＋b)＋eq\f(b2,b＋c)＋eq\f(c2,c＋a).证明：因为0<a≤b≤c，所以