2025年中考数学二轮复习-专题8半角模型【课件】

专题八半角模型

类型一90°角夹45°角

（1）等腰直角三角形夹半角：如图，在△ABC中，AB＝AC，

∠BAC＝90°，∠DAE＝45°→将△ABD绕点A旋转至△ACF，使AB

与AC重合，连接EF→△AEF≌△AED.

（2）正方形夹半角：如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°→

将△ADF绕点A旋转至△ABG，使AD与AB重合→△AEG≌△AEF.

1.

数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45°角的三

角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重

合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边

AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN.

（1）如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到

点H在直线AB上，求证：∠CNM＝∠CNH；证明：（1）∵△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，∴CM＝CH，∠DCM＝∠BCH.

∵四边形ABCD为正方形，∴DCB＝90°.∵∠MCN＝45°，∴∠DCM＋∠BCN＝∠DCB－∠MCN＝45°，∴∠BCH＋∠BCN＝45°，∴∠MCN＝∠HCN＝45°.在△MCN和△HCN中，CM＝CH，∠MCN＝∠HCN，CN＝CN，∴△MCN≌△HCN（SAS），∴∠CNM＝∠CNH.

（2）在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F，求证：

△CEF∽△CNM.

（2）由（1）可得∠CNM＝∠CNH.

∵四边形ABCD是正方形，BD是

对角线，∴∠FBN＝∠MCN＝45°，∴△FBN∽△HCN∽△MCN，∴∠BFN＝∠CMN.

∵∠BFN＝

∠CFE，∴∠CFE＝∠CMN.

又∵∠FCE＝∠MCN，∴△CEF∽△CNM.

2.

（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E，F在

BC上，且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2＋CF2；（1）证明：如图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACM，连

接MF，则△ACM≌△ABE，∴CM＝BE，AM＝AE，∠ACM＝∠B＝∠ACB＝45°，∴∠MCF＝90°，即△MCF为直角三角形.又易得△AMF≌△AEF（SAS），∴MF＝EF.

在Rt△MCF中，MF2＝MC2＋CF2，∴EF2＝BE2＋CF2.（2）如图②，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且

∠EAF＝∠CEF＝45°，若BE＝3，DF＝1，求EF的长.（2）解：如图②，分别延长AD，AB与直线EF交于点M，N，将

△AFM绕点A顺时针旋转90°得到△AGN，连接EG.

∵∠CEF＝45°，四边形ABCD是矩形，∴△DMF，△BEN都是等腰

直角三角形，

3.

如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且

∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H.

（1）求证：MN＝BM＋DN，AH＝AB；（1）证明：如图，将△ADN旋转至△ABE，则△ADN≌△ABE，∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN，∠ABE＝∠D＝90°，∴∠ABE＋

∠ABM＝180°，∴E，B，M三点共线.∵∠MAN＝45°，∴∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠BAE＋∠BAM＝45°，即∠MAE＝45°，∴∠MAE＝∠MAN.

又∵AE＝AN，AM＝AM，∴△AEM≌△ANM

（SAS），

（2）若BM＝2，DN＝3，求AH的长.（2）解：设AH＝x.由（1）可得正方形的边长为x.∵BM＝2，DN＝

3，∴CM＝x－2，CN＝x－3.由（1）可得MN＝BM＋DN＝2＋3＝5.∵CN2＋CM2＝MN2，即（x－

3）2＋（x－2）2＝25，解得x1＝6，x2＝－1（舍去），∴AH的长为6.

类型二120°角夹60°角

如图，AB＝AC＝BC，BD＝CD，∠BDC＝120°，∠EDF＝

60°→将△BDE绕点D旋转至△CDG，使DB与DC重合，连接

EF→△DFG≌△DFE.

1.

如图，D是等边三角形ABC外一点，且BD＝CD，∠BDC＝

120°，M，N分别是边AB，AC上一点，且∠MDN＝60°.（1）探索线段BM，MN，CN之间的数量关系，并说明理由；解：（1）MN＝BM＋CN.

理由如下：如图，将△MDB绕点D旋转至△HDC，则△HDC≌△MDB，∴DH＝DM，CH＝BM，∠HDC＝∠MDB，∠HCD＝∠MBD.

易得∠MBD＝∠NCD＝90°，∴∠HCD＋∠NCD＝180°，∴N，C，H三点共线.又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠MDB＋∠NDC＝60°，∴∠HDC＋∠NDC＝60°，∴∠HDN＝∠MDN＝60°.又∵DH＝DM，DN＝

DN，∴△HDN≌△MDN（SAS），∴MN＝HN＝CH＋CN＝BM＋CN.

（2）求△AMN与△ABC的周长的比值.

解：∵∠BAC＝120°，∴∠MAN＝60°，∠ABC＝∠C＝30°.如图，将△ANC绕点A顺时针旋转120°得到△AGB，

连接GM，则△AGB≌△ANC，∴AG＝AN，GB＝NC，∠GAB＝∠NAC