计数原理近三年高考真题(带解析)

计数原理近三年高考真题（昔解析）

一、单选题

1.（2021.江苏.高考真题）下图是某项工程的网络图（单位:天），则从开始节点①到终止

节点⑧的路径共有（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分步乘法计算原理即可求解.

【详解】

由图可知，由①f④有3条路径，由④T⑥有2条路径，由⑥T⑧有2条路径，根据

分步乘法计算原理可得从①一⑧共有3x2x2=12条路径.

故选：B

2.（2021・全国•高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个。不相邻的概

率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D,0.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用占典概型的概率公式可求概率.

【详解】

解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共1（）种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6种方法,

故2个0不相邻的概率为2=0.6,

故选：C.

3.（2021.全国•高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、

冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项每个项H至少分配1名

志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.12（）种C.24（）种D.480种

【答案】C

【解析】

【分析】

先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，

排列，乘法原理求得.

【详解】

根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配I名志愿者，可以先从5

名志愿者中任选2人，组成一个小组，有仁种选法；然后连同其余三人，看成四个元

素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有

41种，根据乘法原理，完成这件事，共有C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】

本题考杳排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用

先选后排思想求解.

4.（2020.海南.高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去

一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

【答案】C

【解析】

【分析】

首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【详解】

第一步，将3名学生分成两个组，有C；C；=3种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有8=2种安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6种

故选：C

【点睛】

解答本类问题时•般采取先组后排的策略.

5.（2020・北京•高考真题）在（«-2）5的展开式中，寸的系数为（）.

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定/的系数即可.

【详解】

（4-2）5展开式的通项公式为：&=G（_2）’=（-2/禺x?，

令?=2可得：r=I,则/的系数为：（—2）C=（-2）x5=—10.

故选：C.

【点睛】

二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第•步根据所给出的条

件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中〃和「的隐含

条件，即〃，「均为非负整数，且应r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第

二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

6.（2020•全国•高考真题（理））（工十二）。+»的展开式中的系数为（）

x

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【解析】

【分析】

求得（"»展开式的通项公式为产y"wN且，W5）,即可求得X+?与

*+»展开式的乘积为-了或C。口尸2形式，对，分别赋值为3,1即可求得的

系数，问题得解.

【详解】

a+y）s展开式的通项公式为加=C#"y（reN且「45）

所以X+—的各项与（K+“展开式的通项的乘积可表示为：

I工；

5rr6rr

xTr+l=xC；xy=C；x-y和工&=21Gxs-y=C；xj）产

XX

在产y中，令厂=3,可得：M=C%3y3,该项中丁）,3的系数为10,

在《。”=。；丁-?，+2中，令r=i,可得：217；=C[x3y3,该项中尸产的系数为5

所以Vy3的系数为10+5=15

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析

能力，属于中档题.

7.（2019・全国•高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学

相邻的概率是

A.-B.-C.—D.1

6432

【答案】D

【解析】

男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.

【详解】

两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻

的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是g.故选D.

【点睛】

本题考行常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养.采取等同法，利用

等价转化的思想解题.

8.（2019・全国•高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重

卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻"——”,如图就是一重

卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学

计算等数学素养，"重卦''中每•爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有

3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算.

【详解】

由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有26情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有

C；,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为q二三，故选A.

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【点睛】

对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问

题还是组合问题.本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满

足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题.

9.(2019・全国•高考真题(理))(1+2X2)(1+x)”的展开式中一的系数为

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】

【分析】

本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数.

【详解】

由题意得V的系数为C、+2c=4+8=12,故选A.

【点睛】

本题主要考查一项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.

10.(2011.全国.高考真超(理))[+?)(2x-£]5的展开式中各项系数的和为2,虹该

展开式中常数项为

A.-40B.-20C.20D.40

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

令x=l得.故原式=(X+-)(2A--)5.

xx

(2.x--)5的通项=C/(2x)5-2r(-x-'r=C/(-l)r25-^-5-2r,

X

由5-2r=l得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-l得r=3,对应的常数项=40,

故所求的常数项为40,

故选D

二、双空题

11.(2021•浙江・高考真题)已知多项式(x—1)3+*+1『=/+卬/+//+。/+4，则

q=,%+%+/=.

【答案】5:10.

【解析】

【分析】

根据二项展开式定理，分别求出3-1)3,(x+4)』的展开式，即可得出结论.

【详解】

(X-\)3=X3-3X2+3X-\,

(x+1)4=x4+4./+6./+4.r+1,

所以％=1+4=5q=-3+6=3,

%=3+4=7,4=-1+1=0,

所以生+6+(=10.

故答案为：5,10.

12.(2019•浙江•高考真题)在二项式(夜+工)9的展开式中，常数项是：系数为

有理数的项的个数是.

【答案】16x/25

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写

出二项展开式的通项入手，根据要求，考察T的事指数，使问题得解.

【详解】

（72+6的通项为产G（&）9f的（厂=0,1,2…9）

可得常数项为1=《（行户=16>/2,

因系数为有理数,r=135,7,9,有系却却凡加共5个项

【点睛】

此类问题解法比较明确,首要的是要准确记忆通项公式，特别是“哥指数”不能记混，其

次，计算要细心，确保结果正确.

三、填空题

13.（2022.上海.高考真题）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大

的四位数的个数为

【答案】17

【解析】

【分析】

先分类再分步，按千位为3,4,2分为三类，再逐次安排百位和十位，即可计算出满足条

件的四位数个数.

【详解】

千位为3和4时，组成的四位数都比2134大，有2国=12个，

千位为2时，百位为3或4的四位数都比2134大，有2A；=4个，

千位为2时，百位为1,只有2143比2134大，有1个，

则组成的四位数比2134大的一共有17个.

故答案为：17.

14.（2022・上海•高考真题）在（丁+gJ的展开式中,含士•项的系数为

X

【答案】66

【解析】

【分析】

写出展开式的通项，令丫的指数为T，求出参数的值，代入通项后即可得解.

【详解】

卜+J展开式的通项为酊=C；2.①『工1‘=小*%-〃，

令36-4r=Y,可得厂=10,因此展开式中含［项的系数为C：；=66.

x

故答案为：66.

15.（2021•天津•高考真题）在"『+£[的展开式中，炉的系数是

【答案】160

【解析】

【分析】

求出二项式的展开式通项，令x的指数为6即可求出.

【详解】

（2?+「的展开式的通项为7；+1=晨（2/厂•仁）=2…，

令18-4r=6,解得r=3,

所以/的系数是2,C；=160.

故答案为：160.

16.（2020・天津・高考真题）在x+4的展开式中，/的系数是_________.

Ix~）

【答案】10

【解析】

【分析】

写出二项展开式的通项公式，整理后令》的指数为2,即可求出.

【详解】

因为1+捻）的展开式的通项公式为信卜C[2,•尸■r=0,1,2,3,4§,

令5—31=2,解得r=l.

所以W的系数为C；x2=10.

故答案为：10.

【点睛】

本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.

17.（2020•全国•高考真题（理））（』+2"的展开式中常数项是（用数字作答）.

X

【答案】240

【解析】

【分析】

写出（小十1）二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】

X）

其二项式展开通项:

C；⑵""3,

当12-3r=0,解得r=4

的展开式中常数项是：C<24=C^16=15X!6=240.

kx）

故答案为：240.

【点睛】

本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定