5.4.2+正、余弦函数的性质+教学设计

教学设计课题正弦函数、余弦函数的性质课型新授课R章/单元复习课£专题复习课£习题/试卷讲评课£学科实践活动课£其他£教学内容分析本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过函数图像，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题。是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。学习者分析本节的主要内容是正弦、余弦函数的性质，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的性质，了解研究函数性质的一般套路，上一节学习了正弦、余弦函数的图象，为本节研究正弦函数、余弦函数的性质、奠定了基础，所以利用正弦函数、余弦函数的图象获得其性质不是一件难事，但是进行代数论证比较困难.为此，首先要培养学生的代数说理习惯，其次要给予完整的代数论证过程，还要采取具体化的方法进行说明，即选择图象上一个点，通过这个点的变化说明图象的变换，并渗透换元转化的思想方法．学习目标确定1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义，培养数学抽象的核心素养；2.会求常见三角函数的的周期，提升数学运算的核心素养；3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心，提升直观想象的核心素养。学习重点难点重点：y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性；难点：1.正弦函数和余弦函数的周期性，以及周期函数、(最小正)周期的意义；2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．学习活动设计过程学习内容与教师活动（引领性问题）学生任务或学习活动设计设计意图或评价目标环节一引入：通过前期对指数函数、对数函数的学习，你知道对函数性质的研究的一般思路吗？教师：上节课我们已经学习正弦函数、余弦函数的图象，本节课让我们一起利用函数的图象研究正弦函数、余弦函数的性质.（学生思考或相互讨论）研究函数性质的一般思路：绘制函数图象——观察图象、发现性质——证明性质设计意图：回顾前面所学知识，利用已有的经验解决新问题，形成一般观念；评价目标：提升逻辑推理数学核心素养。问题1：类比以往对函数性质的研究，思考本节课可研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？追问1：通过上一节，利用单位圆构建正（余）弦函数图象过程中，观察单位圆上点的纵坐标和横坐标的变化规律，思考正、余弦函数除了这些性质之外还有其他特别之处吗？阅读资料：如果现在是早上9点钟,问你:24小时以后是几点钟?你会毫不犹豫地回答:还是早上9点钟.因为你很清楚,0点、1点、2点、3点……23点,每隔24小时就重复出现一次,如果今天是星期一,问你:7天以后是星期几?你也会回答:还是星期一.因为你很清楚,星期一、星期二……星期天,每隔7天就重复出现一次.相同的间隔重复出现的现象称为周期现象,如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象,如日出日落、月圆月缺、四季交替等.追问2：正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢?根据正余弦函数图像或者单位圆的坐标特点，推测一下周期是多少？学生思考总结：根据研究函数的经验，我们可探究正弦函数、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最大（小）值等.追问1思考预设：单位圆上点的横纵坐标都有“周而复始”的变化（引出周期性），追问2思考预设：猜测周期为2π（除了利用单位圆上点的纵坐标来解释；也可以让学生观察正弦函数图象得到：正弦函数在0，2π内的图象，向左或向右平移2π个单位长度，即在区间−2π，0，2π，4π内会出现相同的图象.教师适当启发，引导学生发现横坐标每隔4π或−4π个单位长度，也会出现纵坐标相同的点.直至推广至2设计意图：明确研究函数的一般方法，形成一般观念和整体意识，直观地理解正弦函数的周期性，了解最小正周期。评价目标：以提升直观想象数学核心素养。环节二探究1：观察f(x)的部分图象,函数图象每相隔多少个单位重复出现?小组讨论，并归纳得出对于f(x)始终有什么规律，能否写出f(x)的一个规律式子呢？问题1:由诱导公式一:sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx.结合正(余)弦函数图像以及表达式f(x)=sinx，g(x)=cosx能否写出类似的规律式子？探究1思考预设：每相隔1个单位重复出现,引导学生得出始终有f(x+1)=f(x)。问题1：学生思考、讨论.当自变量x的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等.可利用诱导公式sinx+2kπ=sinx（教师可引导学生分别讨论k=1和k设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为今后系统学习周期性做好铺垫；通过类比一般周期的概念，达成理解正弦函数的周期的目标。评价目标：进而提升学生的逻辑推理及数学运算的数学核心素养。阅读课本P201页有关周期性的概念：【说一说】你对一般函数周期的定义的理解，并根据定义阐述一下正（余）弦函数的周期的推理。(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数．______________叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.问题2：正余弦函数周期的推理：_____________________.【注意】对周期函数的三点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．(3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期．阅读教科书5.4.2节“1．周期性”中的内容．预设答案：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数f(x)的周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期；周期函数的代数关系是f(x+T)=f(x)；周期函数的图象每隔一个周期就会重复出现．问题2预设答案：由x∈R,都有fx+2k设计意图：阅读并阐述一般周期函数的定义式，通过阅读理解考查学生对函数周期这一性质的理解；根据掌握情况可以拓展相关的其他式子。评价目标：提升学生的数学抽象，逻辑推理的核心素养。问题3：我们知道，sin（+）=sin（），sin（+）=sin，sin（+）=sin，…，那么是正弦函数y=sinx的一个周期吗？为什么？从函数值变化的角度解释：为什么可以说2kπ（k∈Z）是正弦函数的周期？做一做:判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于sin(π2+π4)＝sineq\f(π,4)，则eq\f(π,2)是函数y＝sinx的一个周期．()(2)因为sin(x3+4π)＝sineq\f(x,3)，所以函数y＝sineq\f(x,3)的周期为4π.()(3)对任意实数x，若有f(x＋1)＝f(x)，则f(x)是周期函数，T＝1是f(x)的一个周期．()学生回答，教师启发学生说全．问题3预设答案：不是．比如sin（+）≠sin．根据诱导公式可知，当x取正弦函数定义域内的每一个自变量的值时，自变量的值每增加2kπ（k∈Z）个单位，函数值都用重复出现．做一做答案：(1)(×)(2)(×)(3)(√)设计意图：进一步理解周期函数定义式；评价目标：进而提升学生的逻辑推理数学核心素养。环节三例2求下列函数的周期：（1）y＝3sinx，x∈R；（2）y＝cos2x，x∈R；（3）y＝2sin，QUOTE12x−π6x∈R．解析：（1）∀x∈R，有3sin(x+2π)=3sinx，由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．（2）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y=cosz的周期为2π，即cos(z+2π)＝cosz，于是cos(2x+2π)＝cos2x，所以cos2(x+π)＝cos2x，x∈R．由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．（3）令z＝，由x∈R得z∈R，且y=2sinz的周期为2π，即2sin(z+2π)＝2sinz，于是2sin(+2π)＝2sin()，所以2sin[(x+4π)－]＝2sin()，x∈R．由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解函数y＝Asin(ωx+φ)的周期，为后续学习做准备；评价目标：提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养。探究2：回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？通过小组讨论，并加以小结。问题预设答案：自变量x的系数设计意图：引导学生找出导致周期变化的主要原因，并且小结整理。评价目标：提升学生的逻辑推理的核心素养。小结：对于周期问题，求解的步骤如下：第一步，先用换元法转换：比如“（2）y＝cos2x，x∈R”，令2x＝t，所以y=cost；第二步，利用已知的三角函数的周期找关系：由cos（2π+t）＝cost，代入可得：第三步，根据定义变形：变形可得：cos2（π+x）＝cos2x，于是就有f(x+π)＝f(x)；第四步，确定结论：根据定义可知其周期为π．结论：仿照上述分析过程可得函数y＝Asin(ωx+φ)和y＝Acos(ωx+φ)（其中A，，为常数，且，）的周期为：T＝．一般地，如果函数y＝f(x)的周期是T，那么函数y＝f(ωx)的周期是．环节四问题4：观察正弦曲线和余弦曲线，它们关于原点或y轴对称吗？具有奇偶性吗？你可以通过代数思想加以推理么？预设答案：正弦曲线关于原点轴对称．余弦曲线关于y轴对称.也可由诱导公式sin−x=−sinx；cos−x=cos设计意图：通过研究函数的奇偶性，总结方法：一是函数图象，二是奇偶性定义。评价目标：进而提升学生的直观想象，逻辑推理数学核心素养。问题5：知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助?预设答案：（1）函数的周期性可以简化对图象和性质的研究过程.对于一个周期函数，如果知道了周期，在对函数的探究过程中就可以从一个周期入手，只要认识到一个周期上函数的图象与性质，那么整个定义域上函数的图象和性质就都完全清楚了.（2）知道一个函数的奇偶性，同样也可以缩小我们研究函数的范围，因为奇、偶函数的图象分别关于原点、y轴对称，所以只需要搞清楚函数在y轴右侧的图象与性质，那么，整个定义域内的图象与性质就都知道了，可以提高我们研究函数的效率．设计意图：了解周期性和奇偶性的意义，为下面的研究做铺垫.评价目标：提升学