19.2.3一次函数与方程、不等式（第一课时）课件 2024-2025学年人教版八年级数学

19.2.3一次函数与方程、不等式（课时1）第十九章一次函数下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？(1)2x+1=3; (2)2x+1=0;

(3)2x+1=-1.探究新知可以看出，这3个方程的等号左边都是2x＋1，等号右边分别是3，0，-1.探究新知1.从“数”的角度看：一次函数问题方程的解2x+1=32x+1=0

2x+1=﹣1可以看作函数y=2x+1，当y=3时，求x的值可以看作函数y=2x+1，当y=0时，求x的值可以看作函数y=2x+1，当y=﹣1时，求x的值x=1x=

x=﹣1探究新知2.从“形”的角度看：一次函数问题图象2x+1=32x+1=02x+1=-132121-2Oxy-1-13y=2x+1在直线y=2x+1上取纵坐标为3的点，求其横坐标在直线y=2x+1上取纵坐标为0的点，求其横坐标在直线y=2x+1上取纵坐标为-1的点，求其横坐标2x+1=0的解2x+1=-1的解2x+1=3的解探究新知【问题1】已知一次函数y=3x+2，求函数值y＞2，y＜0，y＜-1时，自变量x的取值范围.【问题2】当y＞2时，3x+2大于几？当y＜0，y＜-1时，3x+2又小于几呢？怎样列式表示？可以写成3x+2＞2，3x+2＜0，3x+2＜-1的形式，就变成了一元一次不等式．自变量x的取值范围依次是x＞0，x＜

，x＜-1.探究新知下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？

（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．可以看出，这3个不等式的不等号左边都是3x+2，而不等号及不等号右边却有不同.探究新知1.从“数”的角度看：一次函数问题方程的解3x+2>23x+2<0

3x+2<﹣1可以看作函数y=3x+2，当y>2时，求x的取值范围可以看作函数y=3x+2，当y<0时，求x的取值范围可以看作函数y=3x+2，当y<﹣1时，求x的取值范围x>0x<

x<﹣1探究新知2.从“形”的角度看：一次函数问题图象3x+2>23x+2<03x+2<-1在直线y=3x+2上取纵坐标大于2的点，求其横坐标的范围在直线y=3x+2上取纵坐标小于0的点，求其横坐标的范围在直线y=3x+2上取纵坐标小于﹣1的点，求其横坐标的范围32121-2Oxy-1-13y=3x+2y=2y=0y=-1归纳总结从数的角度看：求ax+b>0(或<0)(a,b是常数，a≠0)的解集一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)，求自变量x的取值范围从形的角度看：求ax+b>0(或<0)(a,b是常数，a≠0)的解集求直线y=ax+b在x轴上方(或下方)部分的自变量x的取值范围数形结合因为任何一元一次不等式都可以转化为

ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大于0（或小于0）时，求自变量x相应的取值范围.练一练画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：（1）不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集;（2）当x取何值时，y<3？解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).

O

B(2,0) A(0,6) y练一练解：（1）由图象可知，不等式-3x+6>0的解集是图象位于x轴上方的x的取值范围，即x<2；不等式-3x+6<0的解集是图象位于x轴下方的x的取值范围，即x>2；O

B(2,0) A(0,6) 31 y（2）由图象可知，当x>1时，y<3.(1,3)归纳总结利用图象法解一元一次不等式的一般步骤：1.将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的形式；2.画出函数图象并确定函数图象与x轴的交点坐标；3.根据函数图象确定对应不等式的解集.ACBA新知导入思考：y-2x=20是二元一次方程还是函数？一次函数的一般形式为y=kx+b(k≠0).y-2x=20y=2x+20方程的角度二元一次方程函数的角度一次函数一次函数与二元一次方程之间有什么关系呢？探究新知1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升．两个气球都上升了1h．（1）请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y(m)与气球上升时间x(min)的函数关系．气球1海拔高度：y=x+5；气球2海拔高度：y=0.5x+15．h1h2探究新知由函数图象的定义可知：直线y=0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y=0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？15105-5510Oxyy=0.5x+15探究新知（2）什么时刻两个气球位于同一高度？这时的高度是多少？气球上升了多长时间？解：（2）在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y，则问题得到解决.h1h2探究新知气球1海拔高度：y=x+5气球2海拔高度：y=0.5x+15从数的角度看：就是求x为何值时，两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15有相同的值y.解方程组y=x+5

y=0.5x+15这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.探究新知从形的角度看：在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.y=x+5y=0.5x+15302520151051020155Oxy二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．这两条直线的交点坐标为(20，25)，这也说明当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.

探究新知观察函数图象，直接回答下列问题：（1）在什么时候，1号气球比2号气球高？（2）在什么时候，2号气球比1号气球高？（1）20min后，1号气球比2号气球高.（2）0~20min时，2号气球比1号气球高.302520151051020y=x+5y=0.5x+15155Oxy气球1海拔高度：y=x+5气球2海拔高度：y=0.5x+15归纳总结一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．归纳总结从数的角度看：一次函数y=kx+b(k≠0)二元一次方程y-kx=b(k≠0)从形的角度看：以二元一次方程y=kx+b(其中k，b为常数，k≠0)的解为坐标的点组成的图形一次函数y-kx=b的图象直线y=kx＋b上每一点的坐标均为这个二元一次方程的解.归纳总结由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从数的角度看