【2024年7月中考试题观察研讨课件】7. 滨州中考第21题 解析

营造研究氛围

增强几何直观发展代数推理

创新评价方式——2024年滨州市中考题第21题评析滨州市教育科学研究院

邢XX2024.07.16试题评析教学启示312解法探析1PART

ONE1：试题评析试题呈现●

【问题背景】●

某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：●

①如图1，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，则有∠B＝∠C；●

②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB＝AC，即知AB+BD＝AC+CD．若把①中的BD＝CD替换为AB+BD＝AC+CD，还能推出∠B＝∠C吗？●

基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝∠C，并分别提供了不同的证明方法．小民：∵AD⊥BC，∴△ADB与△ADC均为直小军：分别延长DB，DC至E，F两点，使得……角三角形，依据勾股定理，得……【问题解决】（1）完成①的证明；（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整（说明：完成两种证明方法中的任意一种即得5分，两种全部完成得满分7分）．1.试题评析●这道中考题目从外在来看是一道典型的几何证明题，具有一定的探索性、开放性，它以学生熟悉的等腰三角形为载体，从经典的“三线合一”这一性质的逆命题出发进行研究，再现发现问题、提出问题、进而分析问题、解决问题的全过程，蕴含研究图形的基本方法和研究思路。其研究过程即包括对图形形成过程的理解，又包括对图形结构的剖析。其旨在考查学生对等腰三角形性质、直角三角形性质以及全等三角形判定与性质的综合理解和应用能力。题目设计巧妙，通过“三线合一”性质的引入，引导学生深入思考等腰三角形的其他性质，并鼓励学生探索新的证明方法，体现了对学生创新思维和问题解决能力的重视。●

知识覆盖面广：●

注重了情境创设：●

问题设计有层次：●

注重思维过程：●

注重低起高落和引思多解：●

关注了教育价值：1.试题评析●

具体而言，呈现出如下4大特色：●

1.1立足课标要求·基于教材体现●

课标要求：●

教材体现：1.试题评析●

1.2增强几何直观·发展代数推理●

这是一道几何推理与代数推理有机融合的题目。“小军、小民”分别着眼于几何推理与代数推理，模拟数学社团活动，营造了一种探索的场域，通过分层评价的方式，给了不同层级的学生施展水平的机会，引导学生多角度思考问题，是指向深度学习的行动。除此显性的考查外，其实①的证明也蕴藏着两类推理，既可以用常态的几何推理完成这一证明，还可以利用勾股定理通过计算完成线段等长的证明（解法探析中会呈现），进而完成角相等的证明。从这个角度来说，这个第一问是为第二问做了方法上的铺垫，看似很简单的题目也同样给了学生施展代数推理的空间。1.试题评析●

1.3营造研究氛围，涵育探究意识●

本题从数学情境出发，将特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）的知识融合为一体，从考查内容角度看，试题从属于“图形与几何”领域，主要以“等腰三角形三线合一的性质”为背景展开，从“原命题与逆命题”之间的联系出发，引导学生利用已有经验进行探索证明。整个历程充盈着较浓的研究气息，这种情境化的氛围能较好地引动学生的上下求索，激发起学生的自主探究欲望。●

我们看到，本题改变了传统的考查方式，从“问题背景”入手，督使学生在阅读中理解问题，寻找问题的解决方法。如果教师在平时教学中没有真正落实好“做中学”，要顺利完成本题的解答是会存有困难的。考场上学生异彩纷呈的证明方法（10种）印证了学生多角度探索这一点，充分体现了题目的探索性，起到了一定的引领作用。1.试题评析●

1.4多维一体结构化，学评一致多元化●

我们常说“教-学-评（考）”一体化，那如何在考场上体现这个一体化、结构化很重要，作为利害性很强的中考，命制的题目就不会仅仅是一道普普通通的题目，它还承载着风向标的功能，导引着课堂教学的健康发展，具有很强的统领性。●

从显性角度看，试题融含了“三角形与特殊三角形”结构认知，学生在完成整道题目的过程中，就可以形成对特殊三角形的结构化认识；从隐性角度看，试题还可以帮助学生形成“从原命题与逆命题两个角度研究问题”的经验结构化（考查知识素养与核心素养细目表如下页图）；对师生而言，从学与评角度，实现了教学评（考）一致性的结构化经验。1.试题评析●

《2022版课标》中关于学业水平考试的评价建议中指出，“科学制定评分标准。评分标准应具有科学性、可操作性。对开放性、综合性较强的试题，合理设计多层次任务的评分标准。”本题的评分标准进行了改革创新，对第二问的评分做出如下说明：正确完成两种证明方法中的任意一种即得5分，两种全部正确完成得满分7分。这种评分标准形式具有一定的创新性和灵活性，旨在激发考生的探究意识，激励考生追求极致，勇于挑战，敢于迎难而上的拼搏进取精神。●

另外，本题目对问题的描述也展现了对问题的探究过程和心路历程。我们知道，学业水平考试只是对学生在初中阶段的终结性评价，对学生人生的长轴而言，仍是过程性评价，并不是终生评价，对学生（人）的评价始终在路上。故关注发展、关注潜能更加重要。2PART

TWO2：解法探析2.解法探析●第（1）问3分。●法（1）原试题给出的参考答案：●通过垂直平分线证明●∵

AD⊥BC，BD＝CD，●∴

AD是BC的垂直平分线●∴

AB＝AC●∴

∠B＝∠C．2.解法探析●法（2）通过全等知识证明。●∵AD⊥BC●∴∠ADB=∠ADC=90°●在△ABD和△ACD中●AD=AD，∠ADB=∠ADC，BD=CD●∴△ABD≌△ACD（SAS）●∴∠B=∠C2.解法探析●法（3）通过勾股定理证明●∵

AD⊥BC●∴

∠ADB=∠ADC=90°●∴

△ABD和△ACD都是直角三角形2222●∴

AB

AD

BD

，AC

AD

CD三种方法可以看成两类：●∵

AD=AD，BD=CD●∴

AB=AC一是几何推理（两种），二是代数推理。这一问虽然很简单，但它也为第二问的两类推理方法的呈现做了隐性地铺垫。●∴

∠B=∠C2.解法探析●

第（2）问共7分，题目提供了两种不同的证明方法，正确完成任意一种得5分，两种全部正确完成得7分。如果每题都有部分正确，按得分比较高的方法占主导根据步骤赋分，另一种方法部分正确得1分，将两个分数相加作为第（2）问的总得分。●

小军的方法（6种）：●

法（1）用中垂线：原试题给出的参考答案——证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA．∵AB＋BD＝AC＋CD，∴

∠E＝∠F，∴BE＋BD＝CF＋CD，又

BE＝BA，CF＝CA，∴DE＝DF，∴

∠E＝∠EAB，∠F＝∠FAC，∵AD⊥BC，又

∠ABC＝∠E＋∠EAB，∠ACB＝∠F＋∠FAC，∴

AD是EF的垂直平分线，∴∠ABC＝∠ACB.∴AE＝AF，2.解法探析●

法（2）用全等：分别延长DB、DC至E、F两点，使得BE=BA，CF=CA●

∵

AB+BD=AC+CD●

∴

BE+BD=CF+CD●

∴

DE=DF●

∴

∠E=∠F●

∵

AD⊥BC●

又

BE=BA，CF=CA●

∴

∠ADB=∠ADC=90°●

在△ABD和△ACD中●

∴

∠E=∠EAB，∠F=∠FAC●

又

∠ABC=∠E+∠EAB，∠ACB=∠F+∠FAC●

∴

∠ABC=∠ACB●

AD=AD，∠ADE=∠ADF，DE=DF●

∴

△ADE≌△ADF（SAS）2.解法探析●

法（3）迭次用全等：在法（2）证出△ADE≌△ADF后，再证●

∴

△ADE≌△ADF（SAS）●

∴

∠E=∠F，AE=AF●

又

BE=BA，CF=CA●

∴

∠E=∠EAB，∠F=∠FA

C●

在△ABE和△ACF中●

∠E=∠F，AE=AF，∠EAB=∠FA

C●

∴

△ABE≌△ACF（ASA）●

∴

AB=AC●

∴

∠ABC=∠ACB2.解法探析●法（4）在法（3）证出△ABE≌△ACF后，再证：●∴

△ABE≌△ACF（ASA）●∴

∠ABE=∠ACF●又

∠ABE+∠ABC=180°,∠ACF+∠ACB=180°●

∴

∠ABC=∠ACB2.解法探析●

法（5）在法（2）证出△ADE≌△ADF后，再证●

∴

△ADE≌△ADF（SAS）●

∴

∠E=∠F，∠EAD=∠FAD●

又

BE=BA，CF=CA●

在△BAD和△CAD中●

∠BAD=∠CAD●

AD=AD●

∴

∠E=∠EAB，∠F=∠FAC●

∴

∠EAB=∠FAC●

∠ADB=∠ADC●

∴

△BAD≌△CAD（ASA）●

∴

∠ABC=∠ACB●

又

∠BAD=∠EAD-∠EAB

，∠CAD=∠FAD-∠FAC●

∴

∠BAD=∠CAD2.解法探析●

法（6）在法（5）证得∠BAD=∠CAD后，再证●∴

∠BAD=∠CAD●又

∠BAD+∠ABD=90°,∠CAD+∠ACD-=90°●∴

∠ABD=∠ACD●∴

∠ABC=∠ACB2.解法探析●

小民的方法（10种）：●

法（1）原试题给出的参考答案（降维）：●

证明：∵

AD⊥BC，●

∴

△ADB与△ADC均为直角三角形，●

根据勾股定理，得●

又

AB+BD＝AC+CD

①，●

∴

AB－BD＝AC－CD

②，●

①＋②，得2AB＝2AC，●

即

AB＝AC，●

AD2＝AB2－BD2，AD2＝AC2－CD2，●

∴

AB2－BD2＝AC2－CD2，●

∴

(AB－BD)(AB＋BD)＝(AC－CD)(AC＋CD)●

∴

∠ABC＝∠ACB.2.解法探析●

法2.降维代换比对●

根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2●

∵

AB+BD=AC+CD●

∴

AD2

BD2

BD

AD2

CD

CD2●

∵

AD=AD●

∴

BD=CD？●

∵

AB+BD=AC+CD●

∴

AB=AC●

∴

∠B=∠C2.解法探析●

法3.

降维代换+因式分解●

根据勾股定理得：●

AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2●

∴AB2-BD2=AC2-CD2●

∴(AB+AC)(CD-BD)=(BD+CD)(BD-CD)●

∴(CD-BD)(AB+AC+BD+CD)=0●

又AB+AC+BD+CD≠0●

∴CD=BD●

∴AB2-AC2=BD2-CD2●

∴(AB+AC)(AB-AC)=(BD+CD)(BD-CD)●

∵

AB+BD=AC+CD●

∴AB=AC●

∴

AB-AC=CD-BD●

∴∠B=∠C2.解法探析●

法4.

升维用加+等式性质●

根据勾股定理得：AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2●

∴

AB2-BD2=AC2-CD2●

∵

AB+BD=AC+CD①●

∴

(AB+BD)2=(AC+CD)2●

即

AB2+BD2+2AB·BD=AC2+CD2+2AC·CD

②●

①+②得：2AB2+2AB·BD=2AC2+2AC·CD●

∴

2AB(AB+BD)=2AC(AC+CD)●

∴

AB=AC●

∴

∠B=∠C2.解法探析●法5.

升维用减+等式性质●得出上面解法（4）中的①②结论后，②-①得：●2BD2+2AB·BD=2CD2+2AC·CD●∴

2BD(BD+AB)=2CD(CD+AC)●∴AB=AC●∴∠B=∠C2.解法探析●

法6.升维用减+相似●

根据勾股定理得：●

AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2●

∴AB2-BD2=AC2-CD2●

∴

AB2+CD2=AC2+BD2●

∵AB+BD=AC+CD●

∴AB-CD=AC-BD①-②得

2AB·CD=2AC·BD∴AB·CD=AC·BD∴①又∠ADB=∠ADC=90°∴△ADB∽△ADC∴∠B=∠C●

∴(AB-CD)2=(AC-BD)2●

即AB2+CD2-2AB·CD=AC2+BD2-2AC·BD

②2.解法探析●法7.

升维用减+三角函数●得出解法（6）中AB·CD=AC·BD后，再证●∴AB·CD=AC·BDCD

BD

●∴AC

ABBDABCDAC●又cos

B

，cosC

●∴cosB=cosC●∠B、∠C均为锐角●∴∠B=∠C2.解法探析●

法8.

升维代入+恒等变形●

根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2

①●

∵AB+BD=AC+CD●

∴

(AB+BD)2=(AC+CD)2●

即

AB2+BD2+2AB·BD=AC2+CD2+2AC·CD②●

把①代入②得：AD2+BD2+BD2+2AB·BD=AC2+CD2+CD2+2AC·CD●

∴

2BD2+2AB·BD=2CD2+2AC·CD●

∴2BD(BD+AB)=2CD(CD+AC)●

∵AB+BD=AC+CD●

∴BD=CD，AB=AC●

∴∠B=∠C2.解法探析∴

2BD（AC+CD）=2CD