船舶流体力学习题答案

习题二

2.1设质量力f=(y2+)z+z2»+(z2+zr+x2)j+([2+Q，+),2)4在此力场中，正压流

体和斜压流体是否可以保持静止？说明原因。

解：:Vx/=(2y-2z)i+(2z-2x)j+(x2+xy+y2)k*0

/.(Vx/)=2y3-2Z3+2Z3-2x3+2x3-2/=0

固正压流体不能保持静止，斜压流体可以保持静上。

2.2在自由面以下10m深处，水的绝对压力和表压分别是多少？假定水的密度为

1000kg・"Z大气压为lOlkpa。

解：表压为：

Pi=〃一〃0=pgh=1000*9.81=981OOpa.

绝对压力为：

p=Pi+pQ=98100+101000=199lOOpa.

2.3正立方体水箱内空间每边长0.6m,水箱上面装有一根长30m的垂直水管，内径为25mm,

水管下端与水箱内部上表面齐平，箱底是水平的。若水箱和管装满水(密度为

1000kg试计算：(1)作用在箱底的静水压力；(2)作用在承箱台面上的力。

解：(1)〃=^=1000*9.8*(30+0.6)=300186pa

(2)F=p^v=1000*9.8*(0.2i6+0.015)=2264N.

2.4如题图2.4所示，大气压力为pa=IOOkN•〃产，底部A点出绝对压力为130kN・〃，2,问

压力计B和压力计C所显示的表压各是多少？

题图2.4

解：C表显小:

p<=p,\-pgh、=130-9.81*1=120.43kN•w-2

B表显示：

PB=p,\-pgh2=100+9.81*1*3=139.43kN•tn

2.5倾斜式微压计由贮液杯和倾斜管组成，如题图2.5所示，贮液杯内自由面上的压力为大

气压力几，斜管接待测压力p(<Pa),若p=Pa时斜管中液柱读数为%，试证明

pa-p=pg(a-%)(1+---)sina式中，a为测压时斜管中液柱的读数;

s0sina

s为斜管的横截面积；”为贮液杯的横截面积；。为斜管的倾斜角。

题图2.5

证；由公式(2.4.1)得；

几一〃二夕9(4+〃2).................................⑴

又九=(.一4)sina

hs0=s(a-aQ)

带入(1)式中得：

Pa-P-pg(a_q)Xl+—:—)sina

“sina

2.7潜艇内气压计读数为P|=800mmHg,汞测压计测到的水压读数为p2=400mmHg,若海平

面上汞测压计的大气压力为760mmHg,海水平均密度1026kg•m3

2.8用题图2.8所示装置测量贮水旗A的中心C点处的压力，测得M=60cm,经查发现管路

中的空气没有排除，空气所占的位置如题图2.8所示，水的密度为l()O()kg・〃2-3,水银的密

度为13600kg.nf3,试问这会带来多大的误差。

解：C点实际压强：

Pc=Pa+P\gbh一°.82g+pg+\.5pg

=pa+0.6plg+1.7pg

测量值：p'c=pa+0,6pg

实际值：△//=0・6gg+L70g

Pi

压力误差：巴二生x100%=-8.6%

△/z—△，'

M相对误差为：-———x]00%=-17.6%

2.10如题图2.10所示，圆柱容器内装水，高度为600nlm.再装密度为800kg•机,油，油层

高度为900mm，油面以上的压力为20kpa的空气，求作用于圆柱容器侧面上的压力中心的位

置。

题图2.10

解：取如图坐标系：

上半圆面形心深度为：

4r

%=0.9----=0.6452m

34

下半圆面膨心深度为：

4r

/?.?=0.9-------=1.1548m

3冗

5

hcl处的压强为:Pi=0.2X10+0油g&=25065.1pa

5

hc2处的压强为：p2=0.2X10+P油gx0.9+pg—=29562.6〃。

34

作用「侧面上的力为:

F=(P|+〃2)s=30.88kN

,……0.11x0.64

上半圆面，求压力中心:h=0.6452H-------------------=0.6843m

仍n…71、

0.6452x-r2

2

.,.....0.11xr

hnl=1.1548H-------------------=1.1766m

1.1548x-r2

2

R、h(P\+叫h(p?=Rh(p

“产奶+—%0950帆

(P|+〃2)S

2.11船闸宽6m,关上两扇闸门正好形成120。角的人字形(见题图2.11),闸门高6m,下校装

在门底以上0.6m处，上校装在底面以上5.4m处。当闸门一侧挡水深度在底部以上4.5m,另

一侧为1.5m时，求水的压力引起的闸门之间的作用力，以及两校上的约束反力。

解：分析其中的一扇门，一侧压力

仆=pg砥》=344kN

压力中心(1.73,1.5)m

另一侧&=pghc2s2=38.2kN

压力中心(1.73,0.5)m

(1)以过较接处垂线为轴£M=xl+(N「NJ；=0

X=l52.94kN

Y=Gx=264.9kN

闸门之间的相互作用力N=Vx2+r2=305.86kN

Y

tgO=—=1.732。=60°。

(2)

Z工=+42+彳十"2—N]=0

M+”152.86RN.....................(1)

ZX，=N、d「N2d2-x2d-^^rdr.....⑵

由(1),(2)得：X)=-H.12kN

—=164.0kN

EFy=Y^Y2-Y=O

得X=X=132.45kN

习题三

3.1已知二维速度场v=3y2f+2xj求(x,y)=(2,1)点的：(1)速度；(2)当地加速

度；(3)迁移加速度；(4)与速度矢量平行的加速度分量；(5)与速度方向垂直的加速度分

量。

解：v=3/+2xj

(1)v(2,l)=3i4-4j

(2)&当地啜=。

(3)x方向a迂=v、4+v、T=3y2.o+2.r6)，=24i

dxdy

L2

Y方向a迁=vv-^+vv-^-=3y-2+2^0=6j

dxydy

——3-4.

(4)v方向角e=-i+—j

t55

ci-ix+a与地=24i+6，

Ia»en|=96/2596/25et=11.52z+15.36j

(5)a»en=O=4/5/-3/5j

I|=78/2578/25e”=12.48z-9.36j

3.2已知二维速度场V、=工2-）抹十%“’.二一2个，一丁，压力场为〃=4V-2y2,求

（x,y）=（2』）点的：（1）加速度分量见,（2）压力变化器.

cv5v

解：。=」DvL=".v）v=v上+v-Lv=35

Dtdxydy

Dv一dvcv

=Uv=(iv-+v、―v=15

Dtydxydy

Dpdpdvxdv

-=-iv,-ivv--=260

Dtdtxdxy分

3.3对下列速度场，式中a为常数，求流线簇，并画出流谱。

（1）Vv=tzy,vv=0;

(2)ay

X-+y

ay_ax

(3)v=

X-2T，Vy——22

x4-yx+y

/cos夕sin。

(4)V,=——,v=^^.

r~0r~

dxdy

解：(1)——=—dy=O

ay匕

dxdydx小

(2)=----------:----=—

axa-*y

x+y~x~+y~

Lnx=lny+cx=cy

dx_dy

⑶xdx=-ydy

ayax

x~+y~x~+y~

+y=c

drrdOdrcosOdO

(4)-----=------=-------

cos。sin6?rsin。

Lnr=lnsin9+c

r=csin，

3.4已知V1.=ar+/v=-〃y-『,v=o,a为常数，求流线和迹线。

流线一^二dz

解:

ax+ry

Inax+t~=-\nay+t~

(ax+t2)(〃y+J)=cl

z=c2

dx

=dt

ax+rxr-at=t-

力2

一--y1+ay=-f

力

-odz=。

6/一z

力

解非线性方程，形如)，'/p(x)y(x)=QM

dyQ(x)

——=------dx-p(x)dx

yMy(x)

ln()，)=Y(x)-Jp(xg

-fp(x)rfv-fp(x)dtr-\p(x}dx

y=ce3+eJ]Qedx

齐次方程解非齐次方程的解

a,2t2

x=cle

aaa

所得迹线方程)，=Ge"-二r十二2t-12

aa~a

Z=eg

3.5试推导圆柱坐标系的质量守恒方程：

阻+史卫。+曳孕2+0”叫)=0圆柱坐标系中的微元控制体如图3.5所示。

dtrdxrcrrdO

解:

dtrdxrdrrdO

dp.,n,d(rp^Jdr-d0d{rpvr)dO-dx.d(rpv(,)drclx

dtdxdrd。

微元内的质量变化沿x方向流出的质量

3.6设空间不可压流的两个分速为

22

v、=cuC+by+cz,vv=-dxy-eyz-fzx

式中，a、b、c、d、e、f为常数，求第三个分速V：。

解：质量守恒:

江+江+”

dxdydz

2cix+(-dx-ez)=

dz

••v二=——十(d-2a)xz+H(x,y)

3.7如题图3.7所示，气体以速度u(x)在多孔壁圆管中流动，管径为4),气体从壁面维孔被

吸出的平均速度为v,试证明下列式成立：

dp+d(pu)_4/TV

dtdxd。

解：质量守恒:

|—Jv+fpv-nds=0

JcvdtJcs

84d(/H

-K-纱\

乃2

初2(（be-（—）7i+d（）idxdv=0

ax

明d4

+(ap-

初W)

Y4

3.8已知理想不可压流场v=2；o，＞—y2上试求*方向的压力梯度及（1,2）点的压力梯度

的大小，不计重力影响。

解：动量守恒：pR=P.注

Dtox:

已知不可压v=2町炉一V工定常

•*-V,=2xyv2=-/

叫也匕+叫“人…生

dtdx{dx2dxy朋

2y（2孙）+2«*=嘿

O2dp

-2町二f

dx

空V+或V、=_曳

12

dx1dx2dx2

3二dp

辿+氾+氾

dxdydz

3.9证明柱点附近的流场V|=&,v、=一"L），,V.=O为N-S方程的一个精确解,式中,

LL

U。，L为常数，并计算压力场p（x,y）.

dv5vcv

证明：连续方程—+—v+4=0

dxdydz

N-S方程

n〃=-gp(g)2+/(j)

n〃=-3夕(牛)/+/(1)

所以p+=c

习题四

4.1如题图4.1所示，海平面上空气通过管道被吸进真空箱，管道内的流动不考虑粘性和

压缩性影响，现测出管道A-A截面上的静压力为9.6X104R7,求该截面气流的速度。

4.2如题图4.2所示，用皮托管测量水的流速时，它的低端开口面向来流，其轴线与来流平

性，管内水位高出水面5cm，求水流速度。

4.3鱼雷在5m深的水下以50kn的速度运动，根据相对性原理，这种运动可视为无穷远处来

流以流速50kn绕鱼雷流动。

解：（1）由伯努力方程：

@+工江十五

2P2P

P.=Ps+--彳-)=43821Pa

(2)由伯努力方程：

以2P._]PB

---H--------1---

2P2P

--）+oJ=30/wIs

P

开始出现空泡的航速为30m/s

4.4如题图4.4所示，只要给虹吸管以足够的吸力，吸取容器中的流体形成连续的流动，这

一流动将一直持续下去直到吸干容器中的流体为止，不考虑损耗，求：（1）出口速度（2）

虹吸管中的最低压力。

解：（1）由伯努力方程：

③

7F^

至+45卜&•+()

-Hg二

2P2P

4_U2

一2Hg题图4.4

又;U[S]=u2s2

(2)由

与+&+（”+L）g=g+%Hg

2P2p

=P3=P「P（"+L）g

4.5在文特利管中有空气流动。在其最窄截面处开一孔截小竖管（见题图4.5）,小管插

在水中，水面在管轴线以下0.2m处，截面2-2通大气。以知管径dl=20mm,d2=40mm.问流

量多大时才能将水吸入气流中。

2p2p

又•/gS]=u2s2

要将水吸入水流中，则有

P1-P2="水gh=1.96x10'〃。

u2=14.75/7?/5

流量为Q=u2s2=0.02035in/s

4.6两块二维平行平板各长2L,相距b（见题图406）,且b«L.板间有不可压缩流体，当上板以

缓慢的匀速V向下板靠拢时,流体从两侧被挤出，可以不计粘性作用，求距平板中心x处

的流速和压力。

:.uv=ux/b题图4,6

u,=ul/b

正+工武+团

2夕2夕

22

pA.=p/2(^-L>v)

4.7一水槽在同一侧面有大小相同的两小孔，两孔在同一铅垂线上相距h,下孔离水面距离为

H（见题图4.7）,求两孔射流交点的位置。

解：

g=J2g(”一〃)

4=12gH

x=uj]=u2t2=>t2=\lH-h/Ht}

2

y=\/2gt[=]/2^+h

r,=727777

x=yj4H(H-h)

4.8一大贮水箱底部开有一面积为s°的小圆孔（见题图4.8）,水在定常出流时孔口处的速度

为v0,试证明距离孔口下面7处水流截面积为s=7?_^

证:

s（M=s%

s0处s处都是Po

所以

辰+2gz

4.9水槽截面积为直桶形，贮水4m深。打开底部直径为60mm的圆孔，试求两分钟后

的水深是多少？

解：

5昌=冬丹

止+乙+的=江+区

2P2p

2gh

...v2=

1-5/4)

s2v2t=si(4-/?)

.•.当f=12()s时

h=1.5608/7?

4.10水平放置的u型弯管如题图4.10所示,弯管两平行轴线相距为1,管截面积由sl=50变

到s2=10,s2截面通大气。水流体积流量q=0.01,求水流对穹管的作用力及做用点的位置。

UP._02,P

-----1----=------1----2

2P2P

又因为$昌二s,%

V)=2m/sv2=1Om/s

R1=[(Pi-凡)+2£cos

P^I]^-[(P2-P(,)+PWe

Rv=[(P2-P〃)+P]应sin9

代入R=360,R=0

**)

对1-1截面由动量距方程

r=R2s2l/RK=0.28/

4.11如图4.11所示，弯嘴管头

/〃Rr=KP「几)+PM—[(P?一几)+pu；氏cos0

解：

Ry=[(P2-P“)+042]S2sin<9

.•.0=90?

马=16m/s

P[_Pa=12.8xl04〃〃

，・％»=V252

\\=4/9m/s

M=OAR人-0.2Ry=32Nm

4.12如题图4.12所示，一平板垂直插入水柱内，水柱速度为30m/s,总流量为30kg/s、分流

量为12kg/s,试求水柱作用在平板上的力和水流偏转角。

题图4.12

解：由连续方程

4=4+4

二〃-4=18依/$

设平板水流合力为尸，方向向左

则：乂匕sina-4匕=0

F=0QVQ-02v2cosa

目匕=%=%则

sina=2/3

F=497.5N

习题5

5.1已知vx=y+2z,vv=z4-2x,v.=x+2y,求：

（1）涡量及涡线方程；（2）在z=0平面的面积dSR.OOOl上的涡通量。

解：（I）

5Vc^v..6VeVc)v..eV

Q=修——+心-')j+1-，汝

dydzdzdxdxdy

=(2-l)z+(2-l)j+(2-lU

=i+j+k

所以流线方程为y=x+cI,z=y+c2

(2)J=卜"=2*0.5*0.0001=0.0001nr/s

5.4设在(1,0)点上有「=「o的旋涡，在(/，())点上有「=一「。的旋涡，求下列路线的

速度环流。

(|)x2+y2=4;

(2)(x-l)2+y2=l;

⑶工=±2»=±2的方框。

(4)x=±0.5,y=±().5的方框。

解.：(1)由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0,所以j1壮/=2卜0以s=0

cS

(4)由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0,所以-jvdl=0

c

5.6如题图5.6所示，初始在(0,1)、(-1,0)、(0,1)和(0,-1)四点上有环量「等于常

值的点涡，求其运动轨迹3

解：取其中一点(-1,0)作为研究对象。

以=%+以八cos45+%cos45

3r

由于四个涡相对位置将不会改变，转动角速度为:

V3r

vv=——=—

ar4"

3r

v=wt=——t

4乃

用极坐标表示为尸1,0=—t

4乃

同理，其他点的轨迹与之相同。

5.10如题图5.10所示有一形涡，强度为，两平行线段延伸至无穷远，求x轴上各点的诱导

速度。

解：令(0,a)点为A点，(O.-a)为B点

在OA段与OB段

v.=—^―(cos90+.a)

Ta

%=-----(Zcos0+.)

22

z.\\=2(v1+v2)=---(x+\/a+x)

习题六

6.1平面不可压缩流动的速度场为

(1)匕=y,o=—x;

(2)vx=x-y,vy=x+y:

22

(3)匕=x-y,vv=一2孙一y;

判断以上流场是否满足速度势和流函数存在条件，进而求出。

解：

。存在

VxV=()

9存在

ma(-vv)

~dx=dy

(1)0存在=-2

dxdy

决一Vj

=0(j)v

dx6

f,,x-+y-

(P=\-V0+vQ=-----+Jc

MT•.电

(2)

3匕d(-v)_d(-x-y)_

—1••••—y——1

dxdydy

Sv、,d(v)

(3)―=••归

dxdy

3

=jvxcbc+vydy=x/3+x2/2ry2-y2/2+c

'=2x1.…妇S

(4)2xi1」.归

dxoy

32

(p=\-\、.dx+vxdy=-y/3+xy+yx+c

6.2证明函数f=xyzt是速度势函数，而且流场不随时间变化。

证：f=xyzt

i)vV=o

2)V(V。)=0

.•./是速度势函数

流线方程生=业=也=无=包=生

yztxztyxtyzxzyx

流场不随时间变化

6.3有一种二维不可压缩无旋流动，已知Q二米y,k为常数，求V、,。

解:

・.•无旋"R=o

Hx2y

=kx:.v、,=kx2+cy

OX

--3Vx决八)

不可rrr压--+———=0

dxdy

.5一份，v=ky2+ex

eyv

22

:.vy=k(x-y)+c

6.4己知速度势，求复势和流函数：

X

(1)(D=to+—~~-；

x+y

(2)6=—、；

x+y

⑶①=]nf

(x+a『+y-

解：

按题意，应有西

w=。+i(p

1)①二Ur+-二为均匀流动，叠加一偶极子

JT+)广

:.w=Uz+\/z

1(P=U(四)+(三)=Uyi+:〕=></)=Uy--

z・zr+)广厂+y

2)6=/+^上方为均匀流动，叠加一偶极子旋转90?

x+y

w=Uz+i/z

izxix

i(P=U(iy)+/„,(—)=Uyi^--n夕=Uy+--

z»zxxrr

3)0=In*—〃),+)；=InRe(z-a)2-\nRe(z+a)2

(x+ay

_,z-a

/.w=21n------

z+a

22

8=In/,„(z-a)-InIm(z+a)=In

x+a

6.5分析如下流动是由那些基本流动组成：

解•：(1)匀直流点涡偶极子

(2)点源点汇两点涡

(3)两源一汇

6.6累函数W=Az”,式中A为实常数，n二)/a,4/2,0<a〈万/2,4/2〈水)时，试分析

该函数所代表的平面无旋运动。

解：匀直流流动方向改表

6.8设好势为

W(z)=(l+i)ln(z2+1)+(2-3i)ln(z2+4)+l/z

求(1)沿圆周f=9的速度环量「；(2)通过该园的体积流量

解：

W(z)=(l+i)ln(z2+1)+(2-3z)ln(z2+4)+1/z

点涡i[ln(z+/)+ln(z2-/)]+3/[ln(z+2i)+ln(z-2/)]

在f+),2《9内

i—[ln(z4-0+ln(z2-z)]+—川n(z+2i)+ln(z-2c)]

2/2/r

r=s；r

27r令47r

点源——[ln(z+/)+ln(z--/)]+——[ln(z+2z)+ln(z-2z)J

242兀

Q=\2冗

1/z是偶极子无涡无源

6.9直径为2m的圆柱在水下10m深处以速度lOm/s做水平运动(见题图6.9),水面大气压

Po=lO1325N/〃J,水密度P=]ooo依//'，不考虑波浪影响，试计算A、B、C、D四

点压力。

题图6.9

解：

P-P^=().5夕匕(1-4sin26)+pgA/z

22

对于A,C点〃八、c=().5/?vz(1-4sin/9)4-pgMi=249AkN/m

22

对于B,D点Pg=0.5pvx(1-4sin6)+p^A/z=39.6kN/m

2

pD=0.5pvx(l-4sin0]+pgbh=59.2kN/nr

6.10在题6.9中，圆柱在做水平运动的同时以60r/min的角速度绕自身轴旋转，试决定驻点

的位置，并计算B.D的速度和压力。

解：

「二2Jwds=6.28x2不

.6.28x2乃.

sin0=----------=—0A.314

4乃“

0=arcsin(-0.314)=198.3”341.7

「

PB=Ps+0.5pvz[l-(2sine+----)+pgbh

=-W5kN/nr

r

PD=^+0.5^11-(2sin6?+-----)+pgA/?

2叫a

=\65kN/m?

VB=-21/77/S

vD=19mls

6.11已知流函数

inn八25628r尸7

y/=100y（l——7）+---ln-,r=Jr+y

r-l7i5

试求：（1〉组成此流动的基本流动；（2）驻点的位置；（3）绕物体的速度环量；（4）无限远

处的速度；（5）作用在物体上的力。

解：

公式6.3.7

r»v=——=l()()y(l——-)rsin9

rd6r~

25、八

(1)v=100y(l—)cosy

rr-

25、,­.八25x26285

v,=100y(l—)sin^+100rsin仇——--+...—

r~r24r

甲—>%.%—卬=。+¥

(2)驻点sin6--------=-0.1/.^=-5.74(?rl85.74

(5)L=pv^r=6.28x101

6.12直径为0.6m的圆柱以6m/s的速度在静水内作水平直线运动，同时绕自身轴旋转，每米

长度上的升力是5.88kN,试计算他的升力系数和转数。

解：

C,=—=0.54

0.5pvJ.y

L-pvfV=>r=0.98

w=—=16.5r/min

2s

6.13如题图6.13所示，在(-2,1)点有一强度为Q的点源，求第二象限直角流场中的复势。

解：

e

源明=丁ln(z-Zo)n

2兀

Y轴对称“=2[ln(z-zo)+ln(z-(-哥))]

2万题图6.13

”对x轴对称吃二—[ln(z-z0)+ln(z-(一下))]+

In

五叱+6g%))]:方心Y)(zy)

6.14求题图6.14所示点泯的轨迹，已知通过y/l)

解:

点涡：%=>卬

r

兀=乐

r

V.4C+V+V

ADAB=78T乃~

/.x2+y2=4

6.19在深水处有一水平放置的圆柱体，半径为0.1m,每米长的重量为G=196N,如果垂直向下

对每米长度圆柱作用力是F=392N,求圆柱的运动方程。

解：

G与八,

ni=—=20kg

g

F+G-4=(in+A)a

，。=5.