人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 2 1 直线的点斜式方程学案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE12.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程课标要求素养要求1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养.新知探究射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求，结合教材，试从数学角度分析子弹是否会命中目标.问题情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素？〖提示〗托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向.1.直线的点斜式方程当斜率不存在时，直线方程为x＝x0；当斜率为0时，直线方程为y＝y0点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式y－y0＝k(x－x0)适用条件斜率存在2.直线的斜截式方程运用方程时要分清是在x轴上的截距还是在y轴上的截距斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程形式y＝kx＋b适用条件斜率存在拓展深化〖微判断〗1.对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝eq\f(y－y0,x－x0).(×)〖提示〗前者含点(x0，y0)，后者不含点(x0，y0).2.直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).(√)3.直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(×)〖提示〗当x＝0时，在y轴上的截距为－b.〖微训练〗1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A.直线经过点(2，－1)，斜率为－1B.直线经过点(1，－2)，斜率为－1C.直线经过点(－2，－1)，斜率为1D.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1〖解析〗直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－〖x－(－1)〗，所以过定点(－1，－2)，斜率为－1.〖答案〗D2.经过点(－1，1)，且斜率是直线y＝eq\f(\r(2),2)x－2的斜率的2倍的直线方程是()A.x＝－1 B.y＝1C.y－1＝eq\r(2)(x＋1) D.y－1＝2eq\r(2)(x＋1)〖解析〗由题意知所求直线斜率为eq\r(2)，故由点斜式知所求直线方程为y－1＝eq\r(2)(x＋1).〖答案〗C3.(多填题)已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y轴上的截距为________.〖答案〗145°0〖微思考〗1.直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？〖提示〗不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.2.直线方程的斜截式等同于一次函数的〖解析〗式吗？〖提示〗不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b不是一次函数.题型一求直线的点斜式方程〖例1〗根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；(4)过点D(2，1)和E(3，－4).解(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3〖x－(－4)〗.(2)由题意知，直线的斜率k＝tan135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－〖x－(－1)〗.(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1.(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，∴斜率k＝eq\f(－4－1,3－2)＝－5.故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2).规律方法求直线的点斜式方程的思路特别提醒只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.〖训练1〗根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.解(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；(2)∵直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2；(3)y＝－1.题型二求直线的斜截式方程〖例2〗根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).由斜截式可得方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r(3).∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线的斜截式方程为y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3.规律方法直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可.(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.〖训练2〗写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.(2)∵k＝tan60°＝eq\r(3)，∴所求直线的斜截式方程为y＝eq\r(3)x＋5.(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4，0)和(0，－2).∴k＝eq\f(－2－0,0－4)＝eq\f(1,2)，∴所求直线的斜截式方程为y＝eq\f(1,2)x－2.题型三点斜式、斜截式方程的综合应用角度1利用直线方程求平行与垂直的条件〖例3－1〗(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？解(1)由a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1.故当a＝－1时，l1∥l2.(2)由4(2a－1)＝－1，解得a＝eq\f(3,8).故当a＝eq\f(3,8)时，l1⊥l2.角度2直线过定点问题〖例3－2〗求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.证明法一直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2，3).由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限.法二直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3).∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限.规律方法(1)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.(2)证明直线过定点的基本方法：方法一点斜式的应用，方法二代数方法处理恒成立问题的基本思想.〖训练3〗已知直线l1：y＝－eq\f(3m,8)x＋eq\f(10－3m,8)和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？解当m＝0时，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；当m≠0时，l2的方程可化为y＝－eq\f(1,6m)x＋eq\f(2,3m).由－eq\f(3m,8)＝－eq\f(1,6m)得m＝±eq\f(2,3)；由eq\f(10－3m,8)＝eq\f(2,3m)，得m＝eq\f(2,3)或m＝eq\f(8,3)，－eq\f(3m,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6m)))＝－1无解.故当m＝－eq\f(2,3)时，l1与l2平行；当m＝0时，l1与l2垂直.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象素养及逻辑推理素养.2.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点P(x，y)与这条直线上一个定点P0(x0，y0)的连线的斜率相同，故有eq\f(y－y0,x－x0)＝k，此式是不含点P0(x0，y0)的两条反向射线的方程，必须化为y－y0＝k(x－x0)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x0.3.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时).如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.二、素养训练1.过点(－1，3)且垂直于直线y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)的直线方程为()A.2x＋y－1＝0 B.2x＋y－5＝0C.x＋2y－5＝0 D.x－2y＋7＝0〖解析〗所求直线与已知直线垂直，因此其斜率为－2，故方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.〖答案〗A2.过点(1，0)且与直线y＝eq\f(1,2)x－1平行的直线方程是()A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0〖解析〗所求直线与已知直线平行，因此其斜率为eq\f(1,2)，故方程为y＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0.〖答案〗A3.直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为()A.(3，1) B.(2，3)C.(2，－3) D.(－2，3)〖解析〗直线方程为y＝k(x－2)＋3，可化为y－3＝k(x－2)，所以过定点(2，3).〖答案〗B4.倾斜角是30°，且过点(2，1)的直线的点斜式方程是________.〖解析〗∵斜率为tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴直线的点斜式方程为y－1＝eq\f(\r(3),3)(x－2).〖答案〗y－1＝eq\f(\r(3),3)(x－2)5.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.〖解析〗直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，∴2m－1＝7，解得m＝4.〖答案〗42.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程课标要求素养要求1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养.新知探究射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求，结合教材，试从数学角度分析子弹是否会命中目标.问题情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素？〖提示〗托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向.1.直线的点斜式方程当斜率不存在时，直线方程为x＝x0；当斜率为0时，直线方程为y＝y0点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式y－y0＝k(x－x0)适用条件斜率存在2.直线的斜截式方程运用方程时要分清是在x轴上的截距还是在y轴上的截距斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程形式y＝kx＋b适用条件斜率存在拓展深化〖微判断〗1.对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝eq\f(y－y0,x－x0).(×)〖提示〗前者含点(x0，y0)，后者不含点(x0，y0).2.直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).(√)3.直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(×)〖提示〗当x＝0时，在y轴上的截距为－b.〖微训练〗1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A.直线经过点(2，－1)，斜率为－1B.直线经过点(1，－2)，斜率为－1C.直线经过点(－2，－1)，斜率为1D.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1〖解析〗直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－〖x－(－1)〗，所以过定点(－1，－2)，斜率为－1.〖答案〗D2.经过点(－1，1)，且斜率是直线y＝eq\f(\r(2),2)x－2的斜率的2倍的直线方程是()A.x＝－1 B.y＝1C.y－1＝eq\r(2)(x＋1) D.y－1＝2eq\r(2)(x＋1)〖解析〗由题意知所求直线斜率为eq\r(2)，故由点斜式知所求直线方程为y－1＝eq\r(2)(x＋1).〖答案〗C3.(多填题)已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y轴上的截距为________.〖答案〗145°0〖微思考〗1.直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？〖提示〗不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.2.直线方程的斜截式等同于一次函数的〖解析〗式吗？〖提示〗不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b不是一次函数.题型一求直线的点斜式方程〖例1〗根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；(4)过点D(2，1)和E(3，－4).解(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3〖x－(－4)〗.(2)由题意知，直线的斜率k＝tan135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－〖x－(－1)〗.(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1.(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，∴斜率k＝eq\f(－4－1,3－2)＝－5.故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2).规律方法求直线的点斜式方程的思路特别提醒只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.〖训练1〗根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.解(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；(2)∵直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2；(3)y＝－1.题型二求直线的斜截式方程〖例2〗根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).由斜截式可得方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r(3).∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线的斜截式方程为y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3.规律方法直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可.(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.〖训练2〗写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.(2)∵k＝tan60°＝eq\r(3)，∴所求直线的斜截式方程为y＝eq\r(3)x＋5.(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4，0)和(0，－2).∴k＝eq\f(－2－0,0－4)＝eq\f(1,2)，∴所求直线的斜截式方程为y＝eq\f(1,2)x－2.题型三点斜式、斜截式方程的综合应用角度1利用直线方程求平行与垂直的条件〖例3－1〗(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？解(1)由a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1.故当a＝－1时，l1∥l2.(2)由4(2a－1)＝－1，解得a＝eq\f(3,8).故当a＝eq\f(3,8)时，l1⊥l2.角度2直线过定点问题〖例3－2〗求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.证明法一直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2，3).由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限.法二直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3).∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限.规律方法(1)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.(2)证明直线过定点的基本方法：方法一点斜式的应用，方法二代数方法处理恒成立问题的基本思想.〖训练3〗已知直线l1：y＝－eq\f(3m,8)x＋eq\f(10－3m,8)和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？解当m＝0时，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；当m≠0时，l2的方程可化为y＝－eq\f(1,6m)x＋eq\f(2,3m).由－eq\f(3m,8)＝－eq\f(1,6m)得m＝±eq\f(2,3)；由eq\f(10－3m,8)＝eq\f(2,3m)，得m＝eq\f(2,3)或m＝eq\f(8,3)，－eq\f(3m,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6m)))＝－1无解.故当m＝－eq\f(2,3)时，l1与l2平行；当m＝0时，l1与l2垂直.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象素养及逻辑推理素养.2.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点P(x，y)与这条直线上一个定点P0(x0，y0)的连线的斜率相同，故有eq\f(y－y0,x－x0)＝k，此式是不含点P