浙江省宁波市“十校”2025届高三下学期3月联考数学试卷及答案

浙江省宁波市“十校”2025届高三下学期3月联考数学试卷一、单选题1．已知随机变量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．92．已知集合，则（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，动点满足方程，则动点轨迹的离心率为（

）A． B．2 C． D．4．已知函数为偶函数，则（

）A． B． C． D．5．已知，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．6．对空间中的非零向量，记向量，与的夹角为，对，则的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．87．在四边形中，已知，若，则的长度为（

）A．4 B． C．5 D．8．已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（

）A．B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C．常数项为D．展开式中系数最大项为第3项和第4项10．已知函数部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（

）A．的图像关于直线对称B．的图像关于点对称C．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像D．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是11．在棱长为2的正方体中，为面内以为直径的半圆上的动点，则（

）A．的最大值为B．与平面所成角的最大值的正弦值为C．的最小值为D．二面角的最小值的正切值为三、填空题12．已知复数满足，则的最小值为．13．已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则．14．生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，比如：，．当取遍所有的个有序数组时，的总和为．四、解答题15．已知函数．(1)化简，并求的值；(2)在锐角中，内角满足，求的值．16．在三棱锥中，，为的中点．(1)求证：；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角．17．已知函数为自然对数的底数．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围．18．已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，过点作直线（不与轴重合）交椭圆于，连接交于点，连接，直线与轴交于点．（i）求的值；（ii）若点在线段上，求的取值范围．19．对于数列，若存在正整数，使得从数列的第项起，恒有成立，则称数列为第项起的周期为的周期数列．(1)已知数列满足，且，证明：3是的一个周期．(2)已知数列（其中，不全为0），，证明：存在正整数，使得时，成立，并求出满足条件的一个周期．(3)已知数列，求证：不是周期数列．参考答案1．D【详解】因为，所以.故选：D.2．C【详解】因为集合，则.故选：C.3．C【详解】表示点到点和点的距离之差的绝对值等于，又因为，所以点是以点和点为焦点的双曲线，其中焦距，，所以动点轨迹的离心率.故选：C.4．A【详解】因为函数为偶函数，所以，所以，所以，所以，所以，所以且，则.故选：A.5．B【详解】，当且仅当时取等.故选：B.6．B【详解】不妨设对空间中的非零向量都是单位向量，它们的起点都在坐标原点，则终点在单位球面上，当时，对，满足题设条件对，，这说明的最大值不少于6.下面证明不会超过6.假设有7个以上的向量满足条件，则存在7个以上的向量终点.总可以找到一个大圆面，不经过任何一个终点，于是这个大圆面的某一侧必然有四个以上的终点，不妨设是这样的四个点，它们在某个大圆面的同一侧，且使得所对应的任意两个向量所成的角不小于直角.将这些向量适当集中一下，可以使得它们两两变成直角而不改变在这个大圆的同一侧的属性，这样一来，这个向量所在的直线是两两垂直的，这是不可能的，实际上过同一点两两垂直的直线至多有三条，如果还有第四条的话，根据线面垂直的判定定理，必然会和原来三条中的任意两条所确定的平面垂直，则与第三条重合，这样就产生了矛盾.至此，我们证明了的最大值确实为6，故选：B.7．D【详解】如图，设分别为的中点，则，所以，两式相加得，①同理可得，②由①②得，③因为为的中点，所以，则，④而，则，⑤由④⑤得，⑥由③⑥可得，即，又因为，所以，所以两点重合，所以互相平方，所以四边形为平行四边形，则，故，即，所以，因为，所以，所以，即.故选：D.8．C【详解】因为函数，定义域为R，函数，所以函数是奇函数；对任意，都有恒成立，则，所以，化简得所以或，所以或令，单调递减，单调递增，当时，；当时，，当时，；所以，对任意，所以.故选：C.9．ABD【详解】展开式的通项为，则前3项的系数分别为，对于A，由题意可得，即，解得或（舍去），所以，故A正确；对于B，展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确；对于C，展开式的通项为，令，则，所以展开式中常数项为，故C错误；对于D，设展开式中第项的系数最大项，则有，解得或，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.故选：ABD.10．AB【详解】由题图可得，，故，所以，又，即，所以，，又，所以，所以.对于A：当时，，故A正确；对于B：当时，，故B正确；对于C：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数，，故C错误；对于D：当时，，则当，单调递减；当，单调递增，因为，，，所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D错误.故选：AB.11．ACD【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，设，对于A，，则，所以的最大值为，故A正确；对于B，因为轴垂直平面，则平面的法向量可取，所以，当且仅当，即时取等号，所以与平面所成角的最大值的正弦值为，故B错误；对于C，，则，所以的最小值为，故C正确；对于D，因为轴垂直平面，则平面的法向量可取，，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，设二面角为，由图可知为锐角，则，所以，则，当，即时，取得最小值，所以二面角的最小值的正切值为，故D正确.故选：ACD.12．【详解】由复数的几何意义可知，表示复数与对应点之间的距离，所以复数对应的点是以为圆心为半径的圆，如图，表示圆上的点到原点的距离，由图知，的最小值为.故答案为：.13．2【详解】设所在直线方程为，联立，得．设，准线交x轴于点M，则，又，，即，联立，过的直线（倾斜角为锐角），解得（舍)或，则，即，设的倾斜角为，则，由，，，可得；故答案为：2．14．10505【详解】按的取值分类，当时，有组，当时，有组，当时，有组，当时，有组，当时，有组，所以总和为.故答案为：10505..15．(1)(2)【详解】（1），所以，所以；（2）因为，所以，所以，又因为且，所以，则，因为，所以，所以.16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）作于，连接，在中，，则，所以，所以，所以，在中，，所以，则，在中，，又，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）知，，，则即为二面角的平面角，故，又，则，在中，，所以，因为为的中点，所以，则，所以，又平面，所以平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，又，所以线与平面所成的角为．17．(1)(2)【详解】（1）当时，，则，则，所以函数在点处的切线方程为，即；（2）当时，恒成立，此时；当时，问题转化为对任意的恒成立，令，则，令，则，因为，所以，则在上单调递增，又因为，故当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增，所以，所以；当时，问题转化为对任意的恒成立，仿上设函数，则有，因为，所以，则函数在上单调递减，所以，故当时，，所以函数在上单调递减，所以，所以综上所述，的取值范围为．18．(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）（i）设，记，则直线，联立，消得，则，故，则，所以，另一方面直线，联立，消得，则，所以，由于，得，，所以；（ii）由（i）的结论可知，点为线段的中点，则，不妨设都在轴上方，进一步有，由（i）联立直线与椭圆的方程得，由韦达定理得，则，因为点在线段上，所以，所以，所以得取值范围为.

19．(1)证明见解析；(2)证明见解析，；(3)证明见解析.【详解】（1）由于，①，②由②①得，，即，又，则，故3是的一个周期．（2）由递推和，，得，，，．（i）若，则，，，，．（ii）若，则，，，，．无论何种情况，都有，．由递推关系得，会逐渐进入循环，对的自然数，恒有．故