2025年大学统计学期末考试数据分析计算题库应用技巧

2025年大学统计学期末考试数据分析计算题库应用技巧考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、随机变量及其分布要求：掌握随机变量的概念，理解离散型随机变量和连续型随机变量的分布函数，计算随机变量的期望值和方差。1.设随机变量X的分布函数为：F(x)={0,x<00.5,0≤x<11,x≥1求X的分布律。2.已知离散型随机变量X的分布律如下表所示：|X|1|2|3||---|---|---|---||P|0.2|0.3|0.5|求X的期望值E(X)和方差D(X)。3.设连续型随机变量X的概率密度函数为：f(x)={kx^2,0<x<10,其他求常数k的值。4.设连续型随机变量X的概率密度函数为：f(x)={2kx,0<x<10,其他求X的分布函数F(x)。5.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知P{X=3}=0.1931，求λ的值。6.设随机变量X服从参数为n和p的二项分布，已知P{X=2}=0.2，n=5，求p的值。7.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，已知E(X)=2，D(X)=4，求X的概率密度函数。8.设随机变量X服从指数分布，已知E(X)=3，求X的概率密度函数。9.设随机变量X服从均匀分布U(a,b)，已知E(X)=4，求a和b的值。10.设随机变量X服从均匀分布U(a,b)，已知P{X>5}=0.5，求a和b的值。二、数学期望与方差要求：理解数学期望和方差的计算方法，能够运用线性运算和概率公式求解期望值和方差。1.设随机变量X和Y相互独立，X服从正态分布N(μ,σ^2)，Y服从指数分布E(X)=3，求E(XY)。2.设随机变量X和Y相互独立，X服从二项分布B(n,p)，Y服从泊松分布λ=4，求E(X+Y)和D(X+Y)。3.设随机变量X和Y相互独立，X服从均匀分布U(a,b)，Y服从正态分布N(μ,σ^2)，求E(XY)。4.设随机变量X和Y相互独立，X服从泊松分布λ=5，Y服从二项分布B(n,p)，求E(XY)。5.设随机变量X和Y相互独立，X服从指数分布E(X)=2，Y服从正态分布N(μ,σ^2)，求E(X+Y)和D(X+Y)。6.设随机变量X和Y相互独立，X服从均匀分布U(a,b)，Y服从指数分布E(X)=3，求E(XY)。7.设随机变量X和Y相互独立，X服从正态分布N(μ,σ^2)，Y服从泊松分布λ=4，求E(X+Y)和D(X+Y)。8.设随机变量X和Y相互独立，X服从二项分布B(n,p)，Y服从均匀分布U(a,b)，求E(XY)。9.设随机变量X和Y相互独立，X服从泊松分布λ=5，Y服从正态分布N(μ,σ^2)，求E(X+Y)和D(X+Y)。10.设随机变量X和Y相互独立，X服从指数分布E(X)=2，Y服从二项分布B(n,p)，求E(X+Y)和D(X+Y)。四、协方差与相关系数要求：理解协方差和相关系数的概念，掌握它们的计算方法，并能运用它们来分析两个随机变量之间的关系。1.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示：|X|Y|P(X,Y)||---|---|---------||1|1|0.2||1|2|0.1||2|1|0.3||2|2|0.4|求X和Y的协方差COV(X,Y)。2.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为：f(x,y)={2,0<x<1,0<y<10,其他求X和Y的协方差COV(X,Y)。3.设随机变量X和Y相互独立，X服从正态分布N(μ,σ^2)，Y服从指数分布E(Y)=3，求COV(X,Y)。4.设随机变量X和Y相互独立，X服从二项分布B(n,p)，Y服从泊松分布λ=4，求COV(X,Y)。5.设随机变量X和Y相互独立，X服从均匀分布U(a,b)，Y服从正态分布N(μ,σ^2)，求COV(X,Y)。6.设随机变量X和Y相互独立，X服从泊松分布λ=5，Y服从二项分布B(n,p)，求COV(X,Y)。7.设随机变量X和Y相互独立，X服从指数分布E(X)=2，Y服从正态分布N(μ,σ^2)，求COV(X,Y)。8.设随机变量X和Y相互独立，X服从均匀分布U(a,b)，Y服从指数分布E(Y)=3，求COV(X,Y)。9.设随机变量X和Y相互独立，X服从正态分布N(μ,σ^2)，Y服从泊松分布λ=4，求COV(X,Y)。10.设随机变量X和Y相互独立，X服从二项分布B(n,p)，Y服从均匀分布U(a,b)，求COV(X,Y)。五、最大似然估计要求：理解最大似然估计的概念，掌握最大似然估计量的计算方法，并能运用它们进行参数估计。1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知样本观测值x1,x2,...,xn，求λ的最大似然估计量。2.设随机变量X服从参数为n和p的二项分布，已知样本观测值x1,x2,...,xn，求n和p的最大似然估计量。3.设随机变量X服从参数为μ和σ^2的正态分布，已知样本观测值x1,x2,...,xn，求μ和σ^2的最大似然估计量。4.设随机变量X服从参数为a和b的均匀分布，已知样本观测值x1,x2,...,xn，求a和b的最大似然估计量。5.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，已知样本观测值x1,x2,...,xn，求λ的最大似然估计量。6.设随机变量X服从参数为k的伽马分布，已知样本观测值x1,x2,...,xn，求k的最大似然估计量。7.设随机变量X服从参数为μ和σ^2的卡方分布，已知样本观测值x1,x2,...,xn，求μ和σ^2的最大似然估计量。8.设随机变量X服从参数为α和β的贝塔分布，已知样本观测值x1,x2,...,xn，求α和β的最大似然估计量。9.设随机变量X服从参数为μ和σ^2的t分布，已知样本观测值x1,x2,...,xn，求μ和σ^2的最大似然估计量。10.设随机变量X服从参数为a和b的F分布，已知样本观测值x1,x2,...,xn，求a和b的最大似然估计量。六、假设检验要求：理解假设检验的概念，掌握假设检验的基本步骤，并能运用各种检验方法进行统计推断。1.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，已知样本观测值x1,x2,...,xn，假设H0:μ=μ0，H1:μ≠μ0，求μ的置信区间。2.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，已知样本观测值x1,x2,...,xn，假设H0:σ^2=σ0^2，H1:σ^2≠σ0^2，求σ^2的置信区间。3.设总体X服从二项分布B(n,p)，已知样本观测值x1,x2,...,xn，假设H0:p=p0，H1:p≠p0，求p的置信区间。4.设总体X服从泊松分布λ，已知样本观测值x1,x2,...,xn，假设H0:λ=λ0，H1:λ≠λ0，求λ的置信区间。5.设总体X服从均匀分布U(a,b)，已知样本观测值x1,x2,...,xn，假设H0:a=a0，b=b0，H1:a≠a0，或b≠b0，求a和b的置信区间。6.设总体X服从指数分布E(X)=λ，已知样本观测值x1,x2,...,xn，假设H0:λ=λ0，H1:λ≠λ0，求λ的置信区间。7.设总体X服从卡方分布χ^2(ν)，已知样本观测值x1,x2,...,xn，假设H0:ν=ν0，H1:ν≠ν0，求ν的置信区间。8.设总体X服从t分布t(ν)，已知样本观测值x1,x2,...,xn，假设H0:μ=μ0，H1:μ≠μ0，求μ的置信区间。9.设总体X服从F分布F(ν1,ν2)，已知样本观测值x1,x2,...,xn，假设H0:μ1=μ2，H1:μ1≠μ2，求μ1和μ2的置信区间。10.设总体X服从贝塔分布β(α,β)，已知样本观测值x1,x2,...,xn，假设H0:α=α0，β=β0，H1:α≠α0，或β≠β0，求α和β的置信区间。本次试卷答案如下：一、随机变量及其分布1.X的分布律为：|X|0|1|2|3||---|---|---|---|---||P|0|0.5|0|0.5|解析：由分布函数F(x)的定义可知，当x在0到1之间时，P{X=1}=F(1)-F(0)=0.5-0=0.5，同理，P{X=0}=F(0)=0，P{X=2}=F(2)-F(1)=1-0.5=0，P{X=3}=F(3)-F(2)=1-1=0。2.E(X)=ΣXP(X)=1*0.2+2*0.3+3*0.5=1.8，D(X)=Σ(X-E(X))^2P(X)=(1-1.8)^2*0.2+(2-1.8)^2*0.3+(3-1.8)^2*0.5=1.04。3.kx^2=1，当x=1时，k=1。4.F(x)=∫[0,x]f(t)dt=∫[0,x]2ktdt=kxt|[0,x]=kx^2。5.泊松分布公式：P{X=k}=(λ^k*e^(-λ))/k!，k=0,1,2,...。已知P{X=3}=0.1931，解得λ≈3。6.二项分布公式：P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,...。已知P{X=2}=0.2，n=5，解得p≈0.6。7.正态分布公式：f(x)=(1/(σ√2π))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))。8.指数分布公式：f(x)=λ*e^(-λx)，x>0。9.均匀分布公式：f(x)=1/(b-a)，a<x<b。10.均匀分布公式：f(x)=1/(b-a)，a<x<b。二、数学期望与方差1.E(XY)=E(X)E(Y)=2*3=6。2.E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2+4=6，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+4=8。3.E(XY)=E(X)E(Y)=(μ+σ^2)*3。4.E(XY)=E(X)E(Y)=5*4。5.E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2+4=6，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+4=8。6.E(XY)=E(X)E(Y)=2*3。7.E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2+4=6，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+4=8。8.E(XY)=E(X)E(Y)=(μ+σ^2)*3。9.E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2+4=6，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+4=8。10.E(XY)=E(X)E(Y)=2*3。四、协方差与相关系数1.COV(X,Y)=Σ(X-E(X))(Y-E(Y))P(X,Y)=(1-1.5)(1-1.5)*0.2+(1-1.5)(2-1.5)*0.1+(2-1.5)(1-1.5)*0.3+(2-1.5)(2-1.5)*0.4=0.15。2.COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=∫[0,1]∫[0,1]2kxt*2ktdt=2k^2*∫[0,1]x^2dt*∫[0,1]ydt=2k^2*(1/3)*1=2k^2/3。3.COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=2*3-2*3=0。4.COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=5*4-2*4=12。5.COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=(μ+σ^2)*3-2*3=3μ+3σ^2-6。6.COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=5*4-2*4=12。7.COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=2*3-2*3=0。8.COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=(μ+σ^2)*3-2*3=3μ+3σ^2-6。9.COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=5*4-2*4=12。10.COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=2*3-2*3=0。五、最大似然估计1.似然函数：L(λ)=Π(P{X=i}|λ)=Π((λ^i*e^(-λ))/i!)=λ^(Σx)*e^(-nλ)。取对数得lnL(λ)=Σxlnλ-nλ，求导得dlnL(λ)/dλ=Σx/n-λ=0，解得λ=Σx/n。2.似然函数：L(n,p)=Π(C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k))=(n!/(k!(n-k)!))*p^k*(1-p)^(n-k)。取对数得lnL(n,p)=ln(n!)-kln(n-k!)+kln(p)+(n-k)ln(1-p)，求偏导得dlnL(n,p)/dp=k/p-(n-k)/(1-p)=0，解得p=(n-k)/n。3.似然函数：L(μ,σ^2)=Π(f(x)dx)=Π((1/(σ√2π))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))dx)=(1/(σ√2π))^(n/2)*e^(-(Σ(x-μ)^2)/(2σ^2))。取对数得lnL(μ,σ^2)=(n/2)ln(1/(σ√2π))-(Σ(x-μ)^2)/(2σ^2)，求偏导得dlnL(μ,σ^2)/dμ=-Σ(x-μ)/(2σ^2)=0，解得μ=(Σx)/n；求偏导得dlnL(μ,σ^2)/dσ^2=Σ(x-μ)^2/(2σ^4)=0，解得σ^2=(Σ(x-μ)^2)/(n-1)。4.似然函数：L(a,b)=Π(f(x)dx)=Π((1/(b-a))dx)=(b-a)^n。取对数得lnL(a,b)=nln(b-a)，求偏导得dlnL(a,b)/da=-n/a=0，解得a=b/2。5.似然函数：L(λ)=Π(P{X=i}|λ)=Π((λ^i*e^(-λ))/i!)=λ^(Σx)*e^(-nλ)。取对数得lnL(λ)=Σxlnλ-nλ，求导得dlnL(λ)/dλ=Σx/n-λ=0，解得λ=Σx/n。6.似然函数：L(k)=Π(P{X=i}|k)=Π((k^i*e^(-k))/i!)=k^(Σx)*e^(-kΣx)。取对数得lnL(k)=Σxlnk-kΣx，求导得dlnL(k)/dk=Σx/k-Σx=0，解得k=Σx。7.似然函数：L(μ,σ^2)=Π(f(x)dx)=Π((1/(σ√2π))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))dx)=(1/(σ√2π))^(n/2)*e^(-(Σ(x-μ)^2)/(2σ^2))。取对数得lnL(μ,σ^2)=(n/2)ln(1/(σ√2π))-(Σ(x-μ)^2)/(2σ^2)，求偏导得dlnL(μ,σ^2)/dμ=-Σ(x-μ)/(2σ^2)=0，解得μ=(Σx)/n；求偏导得dlnL(μ,σ^2)/dσ^2=Σ(x-μ)^2/(2σ^4)=0，解得σ^2=(Σ(x-μ)^2)/(n-1)。8.似然函数：L(α,β)=Π(P{X=i}|α,β)=Π((Γ(α+β))^(-1)*(x^(α-1)*e^(-x/β))^α*(x^(β-1)*e^(-x/β))^β)=(Γ(α+β))^(-1)*(x^(α+β-2)*e^(-2x/β))^(α+β)。取对数得lnL(α,β)=ln(Γ(α+β))-(α+β)ln(2x/β)-ln(β)，求偏导得dlnL(α,β)/dα=0，解得α=x/2；求偏导得dlnL(α,β)/dβ=0，解得β=x/2。9.似然函数：L(μ1,μ2)=Π(P{X=i}|μ1,μ2)=Π((1/(σ1√2π))*e^(-(x-μ1)^2/(2σ1^2))*(1/(σ2√2π))*e^(-(x-μ2)^2/(2σ2^2)))=(1/(σ1σ2√2π))^(n/2)*e^(-(Σ(x-μ1)^2)/(2σ1^2)-(Σ(x-μ2)^2)/(2σ2^2))。取对数得lnL(μ1,μ2)=(n/2)ln(1/(σ1σ2√2π))-(Σ(x-μ1)^2)/(2σ1^2)-(Σ(x-μ2)^2)/(2σ2^2)，求偏导得dlnL(μ1,μ2)/dμ1=-Σ(x-μ1)/(2σ1^2)=0，解得μ1=(Σx)/n；求偏导得dlnL(μ1,μ2)/dμ2=-Σ(x-μ2)/(2σ2^2)=0，解得μ2=(Σx)/n。10.似然函数：L(a,b)=Π(P{X=i