四川省成都市石室成飞中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

成都市石室成飞中学20242025学年下期高一三月月考数学（满分150分，考试时间120分钟）一.单项选择题（每题5分，共40分）1.已知的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求解.【详解】根据题意，，.故选：A.2.（）A.0 B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】根据和角正弦公式化简求值即可.【详解】由和角正弦公式知.故选：D3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可.【详解】.故选：D.4.下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性与奇偶性逐项判断即可.【详解】对于A选项，函数的定义域为，，即函数为偶函数，且，即函数在上为减函数，在上为增函数，所以，函数在上不单调，A不满足要求；对于B选项，函数为奇函数，该函数的定义域为，函数在定义域上不单调，B不满足要求；对于C选项，函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，因为函数在上为增函数，则该函数在上为增函数，故函数在上为增函数，C满足要求；对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足要求.故选：C.5.如图，平行四边形中，是边上的一点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量线性运算化简求解即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B6.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向左平移个单位【答案】C【解析】【分析】根据函数平移性质判定即可.【详解】向右平移个单位，将函数的图像得到函数的图象故选：C.7.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值.【详解】因为，则，所以，，因此，.故选：C.8.方程的根的个数是（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解.【详解】画出和的函数图象，因为，，结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个.故选：A二．多项选择题（每题6分，共18分）9.下面的命题正确的有（）A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若，满足且与同向，则D.“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”【答案】AD【解析】【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【详解】对于A，由相反向量概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.10.已知函数．下列说法正确的是（）A.的图象关于直线轴对称B.在区间内单调递增C.的图象关于点中心对称D.将图象上各点先横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位得到正弦曲线【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数的图象和性质可判断ABC的真假，根据函数的图象变换判断D的真假.【详解】对A：因为，是函数的最大值，所以是函数的对称轴，故A正确；对B：由，，可得：，.所以函数在上递增，在上递减，故B错误；对C：因为，所以是函数的对称中心，故C正确；对D：将图象上各点先横坐标扩大为原来的2倍，可得的图象，再向右平移个单位得到的图象为正弦型曲线，不是正弦曲线，故D错.故选：AC11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（）AB.点第一次到达最高点需要的时间为C.在转动的一个周期内，点在水中的时间是D.若在上的值域为，则的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断A；根据旋转角度即可判断B和C；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断D.【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，则依题意，满足，所以，因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，则，由可得，又因为，所以，故A正确；对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为，所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确；对于C，在转动一个周期内，点在水中转动，则所需要的时间是，故C错误；对于D，若在上的值域为，则在上的值域为，因为，所以，作出函数的图象，依题意需使即，解得，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案.三.填空题（每题5分，共15分）12.若，则________．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角的正切公式计算作答.【详解】因为，所以.故答案为：13.函数，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求最小值．【详解】，因为，所以时，，故答案为：．14.已知，，函数的图象如图所示，是的图象与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点为，若在区间上有2027个零点，则的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】利用图象过原点得，结合对称轴及图象确定，再利用三角函数的零点计算即可.【详解】将原点坐标代入得，则，又，所以，故，因为的中点横坐标为，故，又对应的点为轴左侧第一个最低点，所以，解得，解得，所以，令得，则或，解得或，所以相邻两个零点的距离有两种，可能为，在上，有2027个零点，要求的最大值，则当为个和1014个时，取得最大值，最大值为.故答案为：.四.解答题（共5小题，77分）15.已知函数 .（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；（2）求使此函数取得最大值，最小值的自变量的集合，并分列写出最大值、最小值.【答案】（1）图象见解析（2），此时；，此时【解析】【分析】（1）由周期计算公式，即可求出周期，把当作一个整体，求出五个关键点，即可求解；（2）把当作一个整体，利用的性质，即可求解.【小问1详解】函数的周期为，列表描点、连线得到图象如下，【小问2详解】易知，此时，解得，所以取最大值时，的取值集合为，，此时，解得，所以取最小值时，的取值集合为.16.已知为锐角，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系求解即可；（2）根据和正弦的两角差公式求解即可.【小问1详解】因为为锐角，，从而，所以.【小问2详解】由及，，解得，，又，所以，所以，所以，因为，所以.17.已知为锐角，．（1）求证：；（2）的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式展开求解出，然后证明即可；（2）由（1）求出的值，然后利用平方和关系结合角的范围求解即可.【小问1详解】证明：因为，所以，又，所以，所以，即所以【小问2详解】，所以，因为为锐角，所以，所以，所以，所以.18.已知函数．（1）求单调递增区间；（2）求不等式的解集﹔（3）若对任意的，恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先将函数化为，再根据正弦函数的单调性即可求解.（2）根据正弦函数值的分布性质直接求解即可.（3）先求出函数在区间上的值域，从而得到，则恒成立等价于，从而得解.【小问1详解】由题，令，，故函数的单调递增区间为.【小问2详解】由（1）即，所以，故不等式的解集为.【小问3详解】由（1），因为，所以，所以，故，所以若对任意的，恒成立，则，，故m的取值范围为：.19.“凸凹性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）.将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式.（1）判断是上凸还是下凸函数？（直接写出结论即可）；（2）判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论；（3）已知锐角满足，求的最大值.【答案】（1）下凸函数（2）上凸函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用下凸函数的定义判断即可；（2）利用上凸函数的定义判断；（3）利用（2）的结论，根据琴生不等式可