数学导数及其应用章末检测试卷(二)-2024-2025学年高二下北师大版（2019）选择性必修第二册

章末检测试卷(二)(时间：120分钟分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1.下列函数的求导正确的是()A.(x-2)'=-2xB.(xcosx)'=cosx-xsinxC.(ln10)'=1D.(2ex)'=ex2.函数f(x)=xln(-x)的单调递减区间是()A.[-e，0) B.-C.[-e，+∞) D.-3.已知函数f(x)=13x3-3x+2，则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0，2]上的最小值为(A.-3e B.-2eC.e D.2e4.设曲线y=lnxx+1在点(1，0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直，则a等于A.-12 B.C.-2 D.25.函数f(x)=ex3x的部分图象大致为6.已知1是函数f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex的极值点，则a的值为()A.-2 B.3C.-2或3 D.-3或27.若函数f(x)=ax2x-1(x>1)有最大值-4，则实数aA.1 B.-1C.4 D.-48.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0，f(4)=2ln2，则不等式f(ex)<x的解集为()A.(0，2ln2) B.(-∞，2ln2)C.(2ln2，+∞) D.(1，2ln2)二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.设三次函数f(x)的导函数为f'(x)，函数y=xf'(x)的图象的一部分如图所示，则()A.函数f(x)有极大值f(3)B.函数f(x)有极小值f(-3)C.函数f(x)有极大值f(3)D.函数f(x)有极小值f(-3)10.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞，+∞)上是单调函数，则实数a的值可以是()A.-3 B.-1C.3 D.211.设函数f(x)=13x-lnx(x>0)，则y=f(x)(A.在区间1eB.在区间1eC.在区间(1，e)内无零点D.在区间(1，e)内有零点三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.若函数的导数为f'(x)，且f(x)=2f'(2)x+x3，则f'(2)=.

13.能说明“若f'(x)为偶函数，则f(x)为奇函数”为假命题的一个函数是.

14.如图，将边长为2的正六边形铁皮的六个角各剪去一个全等四边形，再折起来做一个无盖正六棱柱容器，其容积最大时，底面边长为.

四、解答题(本题共5小题，共77分)15.(13分)已知函数f(x)=alnx+x2-3b，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x+y-4=0.(1)求实数a，b的值；(6分)(2)若曲线C：y=-a12x3-4b，求曲线C过点(2，4)的切线方程.(7分16.(15分)已知函数f(x)=2x3-ax2+4，x=1是函数f(x)的一个极值点.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(6分)(2)当x∈[-1，2]时，求函数f(x)的最小值.(9分)17.(15分)设函数f(x)=x3-6x+5，x∈R.(1)求f'(2)的值；(3分)(2)求f(x)的单调区间和极值；(5分)(3)若关于x的方程f(x)=a有3个不同的实根，求实数a的取值范围.(7分)18.(17分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为kex(e为自然对数的底数)万件.已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(7分)(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值.(10分)19.(17分)已知函数f(x)=2ax-bx+lnx(1)若f(x)在x=1，x=12处取得极值①求a，b的值；(3分)②若存在x0∈14，2，使得不等式f(x0)-c≤0成立，求c的最小值；(2)当b=a时，若f(x)在(0，+∞)上是单调函数，求a的取值范围.(8分)答案精析1.B[(x-2)'=-2x-3，故A错误；(xcosx)'=cosx-xsinx，故B正确；(ln10)'=0，故C错误；(2ex)'=2ex，故D错误.]2.B[函数f(x)=xln(-x)的定义域为(-∞，0)，且f'(x)=ln(-x)+1，令f'(x)≤0，解得-1e≤x<0所以f(x)的单调递减区间是-1e3.B[因为f(x)=13x3-3x+2，故可得f'(x)=x2-3，则g(x)=f'(x)ex=ex(x2-3)又g'(x)=ex(x+3)(x-1)，x∈[0，2]，令g'(x)>0，解得1<x<2，令g'(x)<0，解得0<x<1，故g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，又g(1)=-2e，故g(x)在区间[0，2]上的最小值为-2e.]4.A[由题意得，y'=(ln=1+1x-lnx(∵曲线在点(1，0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直，∴2-ln14=-a，解得a=-125.C[f(x)=ex3x，定义域为(-∞，0)∪(0，∵f(-x)=-ex3x=-f(∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；f(1)=e3<1，故排除A∵当x>0时，f'(x)=(x又当x>1时，f'(x)>0，∴f(x)在(1，+∞)上单调递增，故排除D.]6.B[由f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex，得f'(x)=(x2+2ax+2x-a2-a+3)ex，∵1是函数f(x)的极值点，∴f'(1)=(6-a2+a)e=0，解得a=3或a=-2，当a=-2时，f'(x)=(x2-2x+1)ex≥0恒成立，即f(x)为增函数，无极值点，舍去；当a=3时，f'(x)=(x2+8x-9)ex=0时，x=1或x=-9，满足1为函数f(x)的极值点，∴a=3.]7.B[由函数f(x)=ax2x-1(x>1)，得f'(x)=2ax(x-1)-ax2(x-1)2=ax(x-2)(x-1)则当x∈(1，2)时，f'(x)>0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当x∈(2，+∞)时，f'(x)<0，函数f(x)在(2，+∞)上单调递减，所以当x=2时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max=f(2)=4a2-1=-4，解得a=-1，满足题意8.B[设g(x)=f(x)-lnx，x>0，则g'(x)=f'(x)-1x=xf'又xf'(x)-1>0，故g'(x)>0，即g(x)在(0，+∞)上单调递增，由f(4)=2ln2可得，g(4)=f(4)-ln4=0.不等式f(ex)<x，可变形为f(ex)-x<0，令ex=t>0，则f(t)-lnt<0，即g(t)<g(4)，则0<t<4，即ex<4，解得x<2ln2.]9.AD[当x<-3时，y=xf'(x)>0，即f'(x)<0；当-3<x<0时，y=xf'(x)<0，即f'(x)>0；当0<x<3时，y=xf'(x)>0，即f'(x)>0；当x>3时，y=xf'(x)<0，即f'(x)<0.∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(-3).]10.ABC[由题意得f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞，+∞)上恒成立，则Δ=4a2-12≤0，解得-3≤a≤3.]11.AD[由题意得f'(x)=x-33x(x令f'(x)>0，得x>3；令f'(x)<0，得0<x<3；令f'(x)=0，得x=3，故函数f(x)在区间(0，3)上单调递减，在区间(3，+∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(3)=1-ln3<0，又f(1)=13>0，f(e)=e3-1<0，f1e=所以f(x)在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)12.-12解析由题意得f'(x)=2f'(2)+3x2，∴f'(2)=2f'(2)+12，∴f'(2)=-12.13.f(x)=x3+1(答案不唯一)解析若f(x)=x3+1，则f'(x)=3x2是偶函数，但f(-x)=-x3+1≠-f(x)，所以f(x)不是奇函数，能满足“若f'(x)为偶函数，则f(x)为奇函数”为假命题.14.4解析设正六棱柱容器的底面边长为x(0<x<2)，底面面积为S，高为d，易知d=2-x2×S=6×12x2sinπ3=33则正六棱柱容器的容积为V=Sd=332x=94(2x2-x3)对函数V求导，V'=9x-274x2=9x1-当0<x<43时，V'>0，函数V当43<x<2时，V'<0，函数V单调递减故当x=43时，V取得最大值15.解(1)f'(x)=ax+2x因为直线2x+y-4=0的斜率为-2，且过点(1，2)，所以f(1)=2,解得a(2)由(1)知y=x33+43，则y'=设切点为(x0，y0)，则切线斜率k=x0故切线方程为y-x033-43=x02(由切线过点(2，4)，代入可解得x0=2或x0=-1，∴切点为(2，4)或(-1，1)，则切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.16.解(1)由题意，得f'(x)=6x2-2ax，f'(1)=0，则a=3.f(x)=2x3-3x2+4，f'(x)=6x(x-1)，当x∈(-∞，0)时，f'(x)>0；当x∈(0，1)时，f'(x)<0；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞，0)和(1，+∞).(2)当x∈[-1，2]时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示：x-1(-1，0)0(0，1)1(1，2)2f'(x)+0-0+f(x)-1↗极大值↘极小值↗8当x=-1时，f(-1)=2(-1)3-3(-1)2+4=-1；当x=1时，f(1)=2-3+4=3，所以当x∈[-1，2]时，函数f(x)的最小值为-1.17.解(1)∵f'(x)=3x2-6，∴f'(2)=6.(2)f'(x)=3(x2-2)，令f'(x)=0，得x1=-2，x2=2，当x<-2或x>2时，f'(x)>0；当-2<x<2时，f'(x)<0，∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-2)，(2，+∞)，单调递减区间是(-2，2).∴当x=-2时，f(x)取得极大值为f(-2)=5+42，当x=2时，f(x)取得极小值为f(2)=5-42.(3)令g(x)=f(x)-a，则g'(x)=f'(x)，由(2)可得g(x)的极大值为5+42-a，极小值为5-42-a，∵g(x)=0有3个不同的实根，故5+4解得5-42<a<5+42，∴当5-42<a<5+42时，f(x)=a有3个不同的实根，∴实数a的取值范围是(5-42，5+42).18.解(1)设该产品一年的销售量为Q(x)=ke则ke40=500，所以k=500e则该产品一年的销售量Q(x)=500e则该产品一年的利润L(x)=(x-a-30)500=500e40·x-a-30ex((2)L'(x)=500e40·31+a①若2≤a≤4，则33≤a+31≤35，当35≤x≤41时，L'(x)≤0，L(x)单调递减，所以当x=35时，L(x)取得最大值为500(5-a)e5；②若4<a≤5，则35<a+31≤36，令L'(x)=0，得x=a+31，易知当x=a+31时，L(x)取得最大值为500e9-a.综上所述，当2≤a≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5-a)e5万元；当4<a≤5，且每件产品的售价为(31+a)元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9-a万元.19.解(1)①函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2a+bx2+∵f(x)在x=1，x=12∴f'(1)=0，f'12=0即2解得a②若存在x0∈14，2，使得不等式f(x0)-c≤0成立，则只需c≥f(x∵f'(x)=-23-13x2=-(2x∴当x∈14，12时，f'(x)≤0，函数f当x∈12，1时，f'(x)≥0，函数f(当x∈[1，2]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，∴f(x)在