重庆市北碚区2025届高三下学期联考（五）数学试题含解析

重庆市北碚区2025届高三下学期联考（五）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合，，则集合（）A． B． C． D．2．已知函数的最小正周期为的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的单调递增区间为()A． B．C． D．3．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．5．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．设集合（为实数集），，，则（）A． B． C． D．7．设，，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是()A． B．2C． D．9．的展开式中，含项的系数为（）A． B． C． D．10．如图，矩形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BE折起至，记二面角的平面角为，直线与平面BCDE所成的角为，与BC所成的角为，有如下两个命题：①对满足题意的任意的的位置，；②对满足题意的任意的的位置，，则()A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立11．已知为实数集，，，则（）A． B． C． D．12．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为A．2 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若变量，满足约束条件则的最大值是______.14．已知函数，若在定义域内恒有，则实数的取值范围是__________．15．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则_______.16．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，，点的轨迹为．（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）若点，直线的参数方程（为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程．18．（12分）等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由.19．（12分）在锐角中，分别是角的对边，，，且．（1）求角的大小；（2）求函数的值域．20．（12分）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积.22．（10分）己知点，分别是椭圆的上顶点和左焦点，若与圆相切于点，且点是线段靠近点的三等分点.求椭圆的标准方程；直线与椭圆只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】∵集合，，∴点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.2．D【解析】

先由函数的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数的解析式，从而得出的解析式，再根据正弦函数的单调递增区间得出函数的单调递增区间，可得选项.【详解】因为函数的最小正周期是，所以，即，所以，的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为，由于其图象关于轴对称，所以，又，所以，所以，所以，因为的递增区间是：，，由，，得：，，所以函数的单调递增区间为（）.故选：D.本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于中档题.3．A【解析】

由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解.【详解】解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，．抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，，又，，则双曲线的离心率为．故选：．本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．4．D【解析】构造函数，令，则，由可得，则是区间上的单调递减函数，且，当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．5．C【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，故选C．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．6．A【解析】

根据集合交集与补集运算,即可求得.【详解】集合,,所以所以故选:A本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.7．A【解析】

根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若，，则，可得；若，可得，无法得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.8．A【解析】

先根据已知求出原△ABC的高为AO＝，再求原△ABC的面积.【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案为A本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9．B【解析】

在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得含项的系数．【详解】的展开式通项为，令，得，可得含项的系数为.故选：B.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．A【解析】

作出二面角的补角、线面角、线线角的补角，由此判断出两个命题的正确性.【详解】①如图所示，过作平面，垂足为，连接，作，连接.由图可知，，所以，所以①正确.②由于，所以与所成角，所以，所以②正确.综上所述，①②都正确.故选：A本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．C【解析】

求出集合，，，由此能求出．【详解】为实数集，，，或，．故选：．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．C【解析】

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．【详解】解：设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦长|AB|＝4．故选：C．本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．9【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出的最大值.【详解】做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，目标函数过点时取得最大值，联立，解得，即，所以最大值为9.故答案为:9.本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．【解析】

根据指数函数与对数函数图象可将原题转化为恒成立问题，凑而可知的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定的取值范围.【详解】由指数函数与对数函数图象可知：，恒成立可转化为恒成立，即恒成立，，即是夹在函数与的图象之间，的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.设过原点且与相切的直线与函数相切于点，则切线斜率，解得：；设过原点且与相切的直线与函数相切于点，则切线斜率，解得：；当时，，又，满足题意；综上所述：实数的取值范围为.本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.15．【解析】试题分析：由坐标系可知考点：复数运算16．【解析】

根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称关于对称即：本题正确结果：本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1），；（2）.【解析】

（1）设点极坐标分别为,，由可得,整理即可得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程；（2）设点对应的参数分别为，则，，将直线的参数方程代入的直角坐标方程中,再利用韦达定理可得，，则，求得取最小值时符合的条件,进而求得直线的普通方程.【详解】（1）设点极坐标分别为，，因为,则，所以曲线的极坐标方程为，两边同乘,得，所以的直角坐标方程为,即.（2）设点对应的参数分别为，则,，将直线的参数方程（参数），代入的直角坐标方程中，整理得.由韦达定理得，，所以，当且仅当时，等号成立，则，所以当取得最小值时，直线的普通方程为.本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系．18．（1）见解析，或；（2）存在，.【解析】

（1）满足题意有两种组合：①，，，②，，，分别计算即可；（2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数，使得，，成等比数列，即，解方程是否存在正整数解即可.【详解】（1）由题意可知：有两种组合满足条件：①，，，此时等差数列，，，所以其通项公式为.②，，，此时等差数列，，，所以其通项公式为.（2）若选择①，.则.若，，成等比数列，则，即，整理，得，即，此方程无正整数解，故不存在正整数，使，，成等比数列.若选则②，，则，若，，成等比数列，则，即，整理得，因为为正整数，所以.故存在正整数，使，，成等比数列.本题考查等差数列的通项公式及前n项和，涉及到等比数列的性质，是一道中档题.19．（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得，进而得到；（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.【详解】（1），，由正弦定理得：，即，，，，又，.（2）在锐角中，，．．，，，，函数的值域为．本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.20．（1）证明见解析，；（2）11202.【解析】

（1）由n，，成等差数列，可得，，两式相减，由等比数列的定义可得是等比数列，可求数列的通项公式；（2）由（1）中的可求出，根据和求出数列，中的公共项，分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，可得答案.【详解】（1）证明：因为n，，成等差数列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又当时，，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.（2）根据（1）求解知，，，所以，所