高中数学新课标学案：第课时离散型随机变量的方差

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3第二课时离散型随机变量的方差一、课前准备1．课时目标(1）理解离散型随机变量的方差的定义;(2)能熟练应用离散型随机变量的方差公式求方差；(3）能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的方差公式求方差。2．基础预探1．设离散型随机变量X的分布列为X……P……则描述了相对于均值EX的偏离程度，而________。为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差。其算术平方根为随机变量X的标准差,记作_______.2。两点分布:若X服从两点分布，则_______.3.二项分布：若，则__________.二、学习引领1.随机变量方差的意义①随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值相对于它的均值EX的稳定与波动、集中与离散的程度。②DX越小，稳定性越高，波动越小。③显然DX≥0,且标准差与随机变量本身有相同单位。④由方差的定义可知，计算方差DX必须先求均值E（X），并且由此定义进一步可得到公式。。2.随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随着抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本,随着样本容易的增加,样本方差越来越接近于总体方差.3.求随机变量的方差的步骤①分析试验的特点,若为两点分布、二项分布，则直接套用公式；②否则，根据题意设出随机变量，分析随机变量的取值；③列出分布列；④利用离散型随机变量的均值公式求得均值；⑤利用离散型随机变量的方差公式求得方差。三、典例导析题型一一般离散型随机变量方差的计算例1两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析,X1和X2的分布列分别为X15%10％P0。80.2X22％8％12%P0。20.50。3在两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差,.思路导析:根据分布列先求出两个随机变量的均值，在此基础上再求得其方差。解：由题设可知和的分布列分别为Y1510P0。80.2Y22812P0。20.50.3，，,．方法规律：求一般的离散型随机变量的方差，需先列出分布列,求出期望，然后才能利用定义求方差．变式训练：已知随机变量X的分布列为下表所示：X135P0.40。1则X的标准差为（）.A.3.56B.C。3。2D。题型二二项分布的方差例2某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，,若经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的期望与方差．思路导析：本题中合格工艺品的个数为X显然服从二项分布，因此，可套用相关公式求解。解：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，所以，故方法规律：若给出的问题为二项分布、二点分布的期望、方差的计算问题，可直接套用公式求解，从而回避复杂的运算．变式训练：甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用X表示甲队的总得分．求随机变量X的数学期望和方差．题型三方差的实际应用问题例3甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查，得到它们的抗拉强度指数如下：X1101201251301350。10。20.40。10。2Y1001151251301450。10.20。40。10。2其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，问甲、乙两厂的材料哪一种稳定性较好？思路导析：通过分布列分别求出两个随机变量的期望和方差，从而可以比较他们的平均水平及材料关于平均水平的稳定性。解：首先看两厂材料的抗拉强度的期望，然后再比较它们的方差．因为，又因为，，由可知，甲、乙两厂材料的平均抗拉强度是相等的，且不低于120,但，即乙厂材料的抗拉强度指标与其均值偏差较大．故甲厂的材料稳定性好．方法规律：方差反映了离散型随机变量取值的集中与离散、波动与稳定的程度,在实际问题中有非常重要的比较价值，若两个随机变量的期望相同，难以判断产品质量或技术水平的高低等问题时，可考虑再用方差值来进一步判断．四、随堂练习1。任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则D（X)等于()．A．B．C．D．2．设一随机试验的结果只有两种：发生和不发生，其发生的概率为,令随机变量，则的方差等于（）．A．B．2(1—)C．（—1)D．（1—)3．已知的分布列为—101P则在下列式子中：①，②,③，正确的有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个4．设随机变量服从二项分布，即;=．5.从1，2,3，4,5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分,若表示取出后的得分，则．6．编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生个数是,求，．五、课后作业1.已知,且,则等于（)．A．3B．10C．D．202．甲、乙两名作者,在同样的条件下向某报社投稿，假设他们每周投稿的数目相等,稿件被采用的篇数X、Y及其概率P的分布列如下：甲X012P0.60.10。3乙Y012P0.50。30。2则下列关于两人写作水平稳定性的判断正确的是（）.A．甲较稳定B．乙较稳定C．甲、乙稳定性相同D．无法判定3。已知随机变量的分布列为01Pa则．4．为了检验某一种新合成物体的强度，需要进行多次试验，设进行一次试验成功的概率为p，若某科研机构进行了100次独立重复试验,当p=时，成功次数的标准差最大,最大值为．5.某校组织科普知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0.6,答对第二题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响．（=1\*ROMANI）求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求的期望与方差．6.某选手进行n次射击训练，每次击中目标的概率都为P,且每次击中目标与否是相互独立的，X记为击中目标的次数，若随机变量X的数学期望EX=3，方差(I）求n,P的值；（II）若这n次射击有3次或3次以上未击中目标，则需继续训练，求该选手需要继续训练的概率．参考答案2.3第二课时离散型随机变量的方差2．基础预探1。2.3。三、典例导析例1变式训练答案：Ｂ解析：由题意,根据随机变量分布列的性质知:0。4＋0。1＋＝1，所以＝0.5.,，所以标准差。例2变式训练解：根据题设可知，,所以．例3变式训练解：四、随堂练习1.答案：B解析：因为,所以．2．答案：D解析：根据题意,随机变量服从两点分布，所以=（1—）．3．答案：C解析:，,故①③是正确的．4．答案:21；解析：，所以;．5.答案：解析：和所有可能取值为3,4，5,6，7，8,9，其中和为5,6，7时都有两种情况所以．6．解析:所以的分布列为013P所以．五、课后作业1.答案：C解析：因为，所以，则，所以,故．2．答案：B解析：因为，；.由，可知乙的写作水平比较稳定．故选B．3.答案:解析：由分布列的性质得所以，所以．4．答案:解析：因为，所以，所以，