辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 含解析

丹东市2024~2025学年度（上）期末教学质量监测高一数学总分150分时间120分钟命题：杨晓东孙晓欣王洪东姜磊高志华审核：杨晓东注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量平行的结论求参数.【详解】因为，所以.故选：A2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解集合中的一元二次不等式，写出集合，再利用集合的交集运算即可求解.【详解】不等式可变形为，解得，因为，所以，因为，所以.故选：D.3.样本数据13，11，14，14，16，20，22，24的分位数为（）A.16 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】根据百分位数定义计算即可得.【详解】数据按从小到大排序：11，13，14，14，16，20，22，24.因为，所以数据的分位数为：.故选：C4.已知命题，，命题，，则（）A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题C.p和都是真命题 D.和都是真命题【答案】B【解析】【分析】举出反例，得到假命题，举出实例，得到为真命题.【详解】命题，当得，，故为假命题，为真命题，命题，时，，故满足，为真命题.故选：B5.已知函数对称中心为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的对称性即函数图象的变换可确定函数的对称中心.【详解】因为：.由的图象关于原点对称，将向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得的图象.所以的对称中心为：.故选：C6.若函数的定义域为，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值.【详解】令，可得，故，令可得，即，解得，令可得，即，解得.故选：D.7.我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（）A.2.45 B.2.46 C.2.47 D.2.48【答案】B【解析】【分析】先利用频率之和为1得到方程，求出，再利用中点值作代表，计算出平均数，得到答案.【详解】，解得，.估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46故选：B8.已知幂函数与指数函数的图象都过点，则（）A. B.C. D.方程有两个解【答案】C【解析】【分析】求出函数、的解析式，代值计算可判断A选项，数形结合可判断BCD选项.【详解】设，且，则，可得，则，，因为且，解得，所以，，对于A选项，，，所以，，A错；对于BCD选项，在同一直角坐标系中作出函数、的图象如下图所示：由图可知，当时，；当时，.所以，，B错；，C对；函数、的图象有三个公共点，即方程有三个解，D错.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的平均数为10，方差为9，且，记的平均数为，方差为，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据题意，利用平均数、方差的计算公式即可求解.【详解】因为，所以，故A错误，B正确；因为，所以，即，故C正确，D错误；故选：BC.10.若正实数，满足，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式可判断ABC的真假，利用二次函数的性质可判断D的真假．【详解】对A：因为，所以，当且仅当，即时取“”，故A错误；对B：因为，当且仅当，即时取“”，故B正确；对C：因为，又，所以.所以，当且仅当时取“”，故C正确；对D：由且，得，.所以，.所以当时，取得最小值，此时，，，故D正确.故选：BCD11.已知向量、、都是单位向量，，则（）A. B.C. D.与共线【答案】AC【解析】【分析】由已知可得出，可判断A选项；在等式两边平方可得出，利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；由已知可得出，结合平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量共线的基本定理可判断D选项.【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则，所以，A对；对于B选项，在等式两边平方可得，即，则，则，所以，故，B错；对于C选项，因为，则，所以，，所以，故，C对；对于D选项，，若与共线，则存在，使得，即，可得，即，这与矛盾，假设不成立，D错.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，，则__________.【答案】【解析】【分析】利用分段函数求值即可得解.【详解】由题意得：则有，故答案为：.13.在中，是上一点，且，用基底表示向量，则__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得出，利用平面向量的减法可得出关于、的表达式.【详解】如下图所示：在中，是上一点，且，则，所以，，故.故答案为：.14.函数是的反函数，记函数，则使成立的x的取值范围为__________.【答案】，其中【解析】【分析】根据给定条件，求出函数，再分段并借助函数图象求解不等式.【详解】依题意，，，不等式，而，当，即，不等式为，则，解得或，因此或；当，即时，不等式为，即，则，在同一坐标系内作出函数，函数图象在上有唯一交点，即方程在上有唯一解，不等式在上的解为，因此不等式在上解集为，所以x的取值范围为，.故答案为：，【点睛】思路点睛：求出不等式在上的解集，作出函数图象，利用图象法求解不等式.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求的值；（2）设，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将两边取对数化简即可得解；（2）由(1)解得，代入计算即可得解.【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以.（2）由，得，.所以，，则，故.16.已知函数.（1）若为偶函数，求实数m的值；（2）若对，，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据得到方程，求出；（2）变形得到，令，，故在上恒成立，从而得到不等式，求出答案.【小问1详解】因为为偶函数，所以，所以整理得，因为，所以，即.【小问2详解】若对，，则有，令，，所以函数在上恒成立，只需，即，解得，所以m的取值范围为.17.甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响.（1）求第一轮比赛未分出胜负概率；（2）求甲在第3轮比赛时获胜的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析第一轮比赛未分出胜负的两种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解.（2）明确甲在第3轮比赛时获胜的情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解.【小问1详解】记事件“甲第i轮投中”，“乙第i轮投中”，第一轮比赛未分出胜负是甲乙同时命中或都未命中，且与相互独立，则第一轮比赛未分出胜负的概率.【小问2详解】甲在第3轮比赛时获胜，则前两轮都是平局，第3轮投球甲命中，表示为，则甲在第3轮比赛时获胜的概率为.18.已知函数（且），，.（1）求a，b的值；（2）若函数，求的值.【答案】（1），（2）2【解析】【分析】（1）由对数的运算即可求解；（2）由（1）得到，进而得到，累加求和即可；【小问1详解】由题意得，，，所以，【小问2详解】由（1）知，，则所以，则所以，故.19.在信号处理技术中，函数的调和零点至关重要，它用于检测系统的稳定性与性能.定义：若集合，称为函数的一个调和零点，的所有调和零点之和记为，表示集合中的所有元素的个数.已知.（1）当，时，求的值；（2）若，，求、的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）当，时，解方程，可得出集合，即可求得的值；（2）分两种情况讨论，（i）有个零点，且其中一个零点为，再由函数的三个调和零点之和为零，结合韦达定理可求出的值，进而可求出的值；（ii）有4个零点，且有一个为时，可得出，可求出函数的一个零点为，再由函数的三个调和零点之和为零，结合韦达定理可求出的值，进而可求出的值.即可得解.小问1详解】当，时，，令，解得或，所以，则.【小问2详解】根据可