北师大版七年级数学下册举一反三 专题23 平行线的性质-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

专题2.3平行线的性质.重难点题型

【北师大版】

。*甲一反三

【知识点平行线的性质】

1两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.

2两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.

3两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.

【题型1两直线平行同位角相等】

【例1】（2023春•环江县期末）如图，a//b,Zl=60°,则N2的大小是（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

【变式1-1］（2023秋•长沙期中）如图，点D,E分别在NABC的边用bBC上，DELAB,过B4上的点尸

（位于点。上方）作FGHBC,若N4FG=42°,则NOEB的度数为（）

C.52°D.58°

【变式1-2］（2023春•萝北县期末）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果Nl=65°,那么

/2的度数为（）

A.15度B.30度C.25度D.65度

【变式1-3］（2023•临沐县模拟）如图，已知4B〃CO,NA=56°,NE=18°,则NC的度数是（）

【题型2两直线平行内错角相等】

【例2】（2023春•宁阳县期末）如图，C。是NAC8的平分线,/AC8=82°，ZB=48°,DE//BC.求/

EQC和N8QC的度数.

【变式2-1］（2023春•沂水县期末）如图，AB//CD,BDLCF,垂足为8,ZABF=35Q,则/BOC的度数

为（）

D

A.25°B.35°C.45°D.55°

【变式2-2］（2023秋•凤山县期中）如图，若要使人与/2平行，则八绕点。至少旋转的度数是（）

A.38°B.42°C.80°D.138°

【变式2-3］（2023•中原区校级开学）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）

如图，已知：CO平分NAC8,AC//DE.CD//EF,求证：EF平分NDEB.

证明：平分N4C8（已知），

・・・NOC4=（角平分线的定义），

VAC//DE（已知），

：,ZDCA=（）,

AZDCE=ZCDE（等量代换），

'：CD//EF（）,

・,・=NCDE（），

NDCE=NBEF（）,

・•・=—（等量代换）.

【题型3两直线平行同旁内角互补】

【例3】（2023春•椒江区期末）如图，A8〃C。，AB//GE,Zfi=110°,ZC=100°.N8FC等于多少度？

为什么？

GM平分交直线CO于点M,则NGMO=（）

C.130°D.110°

【变式4・1】（2023春•五华区期末）如图,Nl=60°,Z2=120°,N3=70°,则N4的度数是（）

C.50°D.40°

【变式4-2］（2023春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线4B,CD相交于点E,F,EG平分NBEF,

交直线C。于点G,若NMFD=NBEF=58°,射线GPJLEG于点G,则NPGF*=

【变式4-3］（2023春•奉化区校级期末）如图，PQ//MN,A,6分别为直线MN、PQ上两点，且NB4N=

45°,若射线4M绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线8Q绕点B逆时针旋转至BP后立即回转,

两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线4M转动的速度是//秒，射线转动的速度是/秒,

且〃、〃满足|a・5|+（b・1）2=0.若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线8Q才开始绕点8逆时

针旋转，在射线4Q到达氏4之前，问射线AM再转动秒时，射线AM与射线BQ互相平行.

Q____________BP2BP

A

福•用图

【题型5单拐点作平行线】

【例5】（2023春•忻州期中）已知：如图，AH//CD,AP平分N/MC,CP平分NACO,求N4PC的度数;

请补全下列解法中的空缺部分.

解：过点P作PG〃A8交AC于点G.

\'AB//CD（已知）,

:.+NACO=180°（）,

'：PG//\B（），

・•・NBAP=（）,

且PG〃（平行于同一直线的两直线也互相平行），

：・NGPC=（两直线平行，内错角相等），

平分NBAC,CP平分NACQ.

AZBAP=，NPCD=〃.（）,

11

•••ZBAP+ZPCD=5NR4C+5NACO=90°（）,

AZAPC=ZAPG+ZCPG=ZBAP+ZCDP=90°.

总结：两直线平行时，同旁内弟的角平分线.

【变式5-1］（2023•河北模拟）如图，AB//DE,Zl=i35°,/C为直角.则N。的度数为（）

A.35°B.40°C.45°D.55°

【变式5-2］（2023•南关区校级一模）将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若/1=47°,则/2的

大小为（）

A.127°B.133°C.137°D.143°

【变式5-3］（2023春•重庆期中）已知：AB//CD,E、G是AB上的点，F、，是CD上的点，Z1=Z2.

（1）如图1,求证：EF//GH；

（2）如图2,过尸点作FM_LG〃交延长线于点M,作N8EF、N。/M的角平分线交于点N,EN交

GH于点P,求证：NN=45°；

（3）如图3,在（2）的条件下，作NAG”的角平分线交CO于点若3NFEN=4NHFM,直接写出

翳值•

A「EGB/丁EG13AEGB

MNMN

图1图2图3

【题型6多拐点作平行线】

【例6】（2023春•青县期末）直线NA=I25°,NB=105°,求N1+N2的度数

【变式6-1］（2023春•莱州市期末）（1）如图1,〃〃〃，则Nl+N2=

（2）如图2,AH//CD,则Nl+N2+N3=,并说明理由

（3）如图3,a//b,则Nl+N2+N3+N4=

（4）如图4,a//b,根据以上结论，试探究N1+N2+N3+N4+…+/〃=（直接写出你的结论,

无需说明理由）

【变式6-2］（2023秋•金凤区校级期末）如图I,已知人ZB=30°,ZD=I2O°；

（1）若NE=60",则/"=；

（2）请探索/后与/厂之间满足的数量关系？说明理由；

（3）如图2,已知“平分NBEAFG平分/EFD,反向延长/G交于点尸，求NP的度数.

【变式6-3］（2023春•研口区期末）已知直线E尸分别交直线AB、CO于点G、H,Zl+Z2=180c.

（1）如图I,求证：AB//CD；

（2）如图2,M、N分别为直线AB、C7）上的点，P、。为直线48、C。之间不同的两点，NPMQ=2

NBMQ,NPNQ=2NONQ,NMQN=30°.

①求证：PMLPN：

②如图3,NEG8的平分线GL与NMPN的邻补角NMPT的平分线PL交于点L,NPNH的平分线NK

交EF于点K.若NEKN+NGLP=17O°,直接写出NPN”-NE”。的大小.

图1图2图3

专题2.3平行线的性质•重难点题型

【北师大版】

一【知质晟一审行线的性质1

1两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.

2两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.

3两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.

【题型1两直线平行同位角相等】

【例1】（2023春•环江县期末）如图，a//h,Zl=60°,则N2的大小是（）

A.60°B.80°C.100'D.120°

【解题思路】根据同位角相等，两直线平行即可求解.

【解答过程】解：如图：

因为a〃A,Zl=60°,

所以N3=N1=6O°.

因为N2+N3=180°,

所以/2=18（T・60、=12（T.

故选：

【变式1-1］（2023秋•长沙期中）如图，点。，E分别在NA8C的边BC上,DE1AB,

过BA上的点F（位于点。上方）作FG//BC,若乙"G=42°,则/。仍的度数为（）

B

A.42°B.48°C.52°D.58°

【解题思路】根据尸G〃8C,得NO6E=NAFG=42°,由OE_LA6,得N8DE=90",

由//）£B=180°-NOBE-NBOE即可解答.

【解答过程】解：•・・/?G〃8C,ZAFG=42°,

：.ZDBE=ZAFG=42°,

t：DEA.AH,

・・・NBZ）F=90°,

AZDEfi=1800-ZDBE-ZBDE

=180°-420-90°

=48。.

故选：B.

【变式1-2］（2023春•萝北县期末）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果/

1=65°,那么N2的度数为（）

A.15度B.30度C.25度D.65度

【解题思路】利用平行线的性质可得N3的度数，再利用平角定义可得/2的度数.

【解答过程】解：•・加%,

.,.Zi=Z3=65°,

VZ4=90°,

AZ2=180°-90°-65°=25°,

故选：C.

【变式1-3］（2023•临沐县模拟）如图，已知4B〃CO,NA=56°,NE=I8°,则NC的

度数是（）

B

Cy~~\-------------------D

A.32°B.34°C.36°D.38°

【解题思路】设AE与C。交于点O,由利用“两直线平行，同位角相等”可

得出/OOE的度数，再利用三角形内角和，即可求出NC的度数.

【解答过程】解：设AE与CD交于点。，如图所示：

'：AB//CD,ZA=56°,

AZDOE=ZA=56°.

•••/DOE=NC+NE,ZE=18°,

：,ZC=ZDOE-ZE=56°-18°=38°.

故选：D.

【题型2两直线平行内错角相等】

【例2】（2023春•宁阳县期末）如图，CD是二八CB的平分线，/人。8—82°,48—48°,

DE//BC.求NEQC和N3OC的度数.

【解题思路】由平分线的性质可得N6c。的大小，又由平行线及三角形内角和定理可得

NEOC和N8OC的大小.

【解答过程】解：・・・CD是NACB的平分线，NACB=82°,

・・・NOC8=/ACQ=41°,

又YDE〃BC,

：.ZEDC=ZDCB=4\0,

在△SCO中，

VZB=48°,ZDCB=41°,

AZBDC=1800-48r-41°=91°.

和NBOC的度数分别为41。、91°.

【变式2-1］（2023春•沂水县期末）如图，AB//CD,BD1CF,垂足为8,ZABF=35°,

则NBDC的度数为（）

【解题思路】根据得到NQZM=90°-NABF=55：根据A8〃CO,即可得

/8。。的度数.

【解答过程】解：・・・8D_Lb,

:./DBF=90°,

VZABF=350,

：,ZDBA=90°-ZABF=55°,

'：AB//CD,

：.NBDC=NDBA=55°.

故选：O.

【变式2-2］（2023秋•凤山县期中）如图，若要使人与/2平行，则人绕点。至少旋转的度

数是（）

A.38°B.42°C.80°D.138°

【解题思路】根据平行线的性质，可以得到若要使人与/2平行，则/I和N2相等，再根

据N2的度数和图形中原来N1的度数，从而可以得到若要使/I与/2平行，则“绕点0

至少旋转的度数.

【解答过程】解:若八与/2平行,

MZ1和N2相等，

VZ2=42°,

AZ1=42°,

，若要使人与〃平行，则人绕点O至少旋转的度数是80。-42。=38°,

故选：A.

【变式2-3］（2023•中原区校级开学）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）

如图，已知：C。平分/AC8,AC//DE.CD//EF,求证：EF平分NDEB.

证明：:C。平分NAC8（己知），

AZDCA=ZDCE（角平分线的定义），

•：AC//DE（已知），

：.ZDCA=（ZCDE）,

・・・NQCE=NCOE（等量代换），

'：CD//EF（已知）,

AZDEF=ZCDE（两直线平行，内错角相等）,

NDCE=NBEF（两直线平行，同位角相等）,

；・NDEF=NFEB（等量代换）.

:.EF平分，DEB（角平分线的定义）.

【解题思路】根据平行线的性质和平行线的判定及等量代换等来完成解答即可.

【解答过程】证明：・・・C。平分/AC8（已知），

・・・NOCA=NOCE（角平分线的定义），

*：AC//DE（已知），

・・・NOCA=/CDE（两直线平行，内错角相等），

：.ZDCE=ZCDE（等量代换），

VCD//EF（已知），

・・・NOE/=NCQE（两直线平行，内错角相等），

ZDCE=ZFEB（两直线平行，同位角相等），

:.NDEF=ZFEB（等最代换），

：・EF平分NDEB（角平分线的定义）.

故答案为：/DCE；NCDE,已知，/DEF,两直线平行，内错角相等；两直线平行，

同位角相等：ZDEF；NFEB；角平分线的定义.

【题型3两直线平行同旁内角互补】

【例3】（2023春•椒江区期末）如图，AB//CD,AB//GE,ZB=110°,ZC=100°.Z

8厂。等于多少度？为什么？

【解题思路】由A3〃C。，A3〃GE得CO〃GE,根据两直线平行，同旁内角互补得到/

8+/BR7=180°,ZC+ZCFE=180°,而NB=110°,ZC=IOO°,可以求出NBFG

和NCFE,最后可以求出NBFC.

【解答过程】解.：N8FC等于30度，理由如下：

,:AB〃GE,

/.ZB+ZfiFG=180°,

VZB=110°,

/.ZBFG=180°-110°=70°,

■:AB"8,AB//GE,

:・CD〃GE,

AZC+ZCFE=180°;

VZC=100°.

/.ZCF£=180°・100°=80°,

AZBFC=1800-ZBFG-ZCF£=180°-70°-80°=30°.

【变式3-1］（2023秋•北鬲区校级期末）如图，AI3//CD,CD//EF,Zl=Z2=60°,NA

和NE各是多少度？它们相等吗？

【解题思路】先根据得出NA的度数，再由CO〃七/求出/七的度数，进而可

得出结论.

【解答过程】解：・・・AB〃C。（已知），

AZA=1800-Zl=180°-60°=120°（两直线平行，同旁内角互补）.

VCD//EF（已知），

，NE=1800-Z2=180°-60°=120°,

:.NA=N£.

:.N4和/E都是120度，它们相等.

【变式3-2］（2023•怀宁县模拟）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放

在直尺的两条平行对边上，若N0=85°,则a等于（）

【解题思路】直接利用平行线的性质以及含有30°角的直角三角板的特征进而得出答案.

根据题意得/2=60°,ZP=85°,

VZ2=60°,Zl+Z2+Zp=180",

.,.Zl=180°-Z2-Zp=l80°-60°-85°=35°,

9/ABZ/CD,

AZa+Z1=180",

AZa=180°-ZI=i80°-35°=145°.

故选：B.

【变式3・3】(2023春•汉阳区期中)如图，EF//AD,AD//BC,CE平分N8CF,ZDAC=3

ZBCF,NAb=20°,

(1)求ND4c的度数.

(2)求N/EC的度数.

(3)当N8为多少度时，NBAC=3N4?并说明此时A8与AC的位置关系.

【解题思路】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出答案；

（2）利用已知得出£5〃C8,进而得出答案；

（3）利用NH4C'=3N从利用平行线的性质得出N*=30°,即可得出答案.

【解答过程】解：(1)・・・CE平分N8CF,

・••设N3CE=N〃C£=x,

,:NDAC=3NBCF,

・•・ND4C=6x,

'：AD//BC,

.•・NOAC+NBC4=180°,

.*.6x+lv+20°=180°,

Ax=20°,

AZDAC=120°；

(2)VEF//AD,AD/7BC,

:,EF〃CB,

：.ZFEC=ZBCE=20<>；

(3)当NB=30°时，

又•••/ZMC=3N4,

.•・NQAC=4N4=12()°,

AZB=30°,

/.ZBAC=90°,

：,ABA.AC.

【题型4平行线的判定与性质的综合应用】

【例4】(2023春•江油市期中)如图，直线E尸分别与直线AB,CO相交于点G,H,已知

Zl=Z2=50°,GM平分交直线CO于点朋，则NGMQ=()

A.120°B.115°C.130sD.110°

【解题思路】求出NBGM,根据平行线的判定得出/W〃C。，根据平行线的性质推出/3

=/BGM,利用补角的定义即可得出答案.

【解答过程】解：如图，

VZl=50°,

AZBGF=180"-Zl=130°,

〈GM平分N8GF,

・•・N8GM=尸=65°,

VZ1=Z2=5O°,

：.AB//CD,

••・N3=N8GM=65°.

，NGMO=1800-N8GM=180°-65°=115°,

故选：B.

【变式4-1】（2023春•五华区期末）如图，ZI=60°,Z2=120°,Z3=70°,则/4的

度数是（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

【解题思路】先由邻补角互补求出N5,然后根据N2=N5判断出八〃/2,再根据平行线

的性质得出N3=N6,而N4=N6从而求出N4.

【解答过程】解：如图所示：

・・・N5=180°-60°=120°=Z2,

：.h//h,

，N3=N6,

VZ3=70°,

AZ6=70°

VZ4=Z6,

AZ4=70°.

故选：4.

【变式4-2］（2023春•大丰IX月考）如图，直线分别与直线AS,CO相交于点E,F,

EG平分NBEF,交直线CQ于点G,若NMFO=NBE尸=58°,射线GP_LEG于点G,

则NPG/=61或119°.

【解题思路】分两种情况：①当射线GP_LEG于点G时，NPGE=90°,②当射线GP'

_L£G于点G时，NPGE=9()°,根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出N

PGF的度数.

【解答过程】解：如图，①当射线GQ_LEG于点G时，ZPGE=90°,

ZMFD=ZBEF=5S°,

：，CD//AB,

：・4GEB=/FGE,

〈EG平分/BEF,

・•・NGEB=/GEF=/BEF=29。,

：.ZFGE=29°,

:・NPGF=/PGE-/FGE=900-29°=61°；

②当射线GP'_L£G于点G时，NP‘GE=90°,

同理：NP‘GF=ZPGE+ZFGE=90°+29°=119°.

则NPG/的度数为61°或119°.

故答案为：61或119.

【变式4-3](2023春•奉化区校级期末)如图，PQ〃MN,A,B分别为直线MN、PQ上两

点，且NB4V=45°,若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B

逆M针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的

速度是/秒，射线8。转动的速度是//秒，且〃、人满足|。-5|+(〃-1)2=().若射

线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线8Q才开始绕点8逆时针旋转，在射线BQ到达

84之前，问射线AM再转动15或22.5秒时,射线4W与射线3Q互相平行.

QBQB

【解题思路】分两种情况讨论，依据人时，BQ'//AM,f,列出方程即可

得到射线AM.射线BQ互相平行时的时间.

【解答过程】解•：设射线AM再转动，秒时，射线4M、射线8Q互相平行.

如图，射线AM绕点八顺时针先转动18秒后，AM转动至4W的位置，NM4M=18X5

=90°,

分两种情况：

①当9V/V18时，ZQBQ=ta,ZM'AM'1=5t°,

ZBAN=45°=ZABQ,

.•・N/WQ'=45°7°,ZBAM"=ZM'AMH-ZAf.4B=57-45°,

当时，BQ,//AM'r,

此时，45°-t°=5r-45°,

解得f=15：

②当18<fV27时，NQBQ=t°,NNAM”=5t°-90°,ZBAM"=45°-(5i°-

90°)=135°-5t°,

•••/B4N=45°=/A8Q,

・・・NA8Q'=45°-t°,NMM"=45°-(5f-90°)=135°-5t°,

当时，BQ,//AM，r,

此时，45°-f=135°-5/,

解得f=22.5；

综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线8Q互相平行.

故答案为15或22.5.

【题型5单拐点作平行线】

【例5】（2023春•忻州期中）己知：如图，AB//CD,AP平分NZMC,CP平分NACQ,求

N4PC的度数；请补全下列解法中的空缺部分.

解：过点尸作尸G〃A3交AC于点G.

'：Mi//CD（己知）,

・•・NCAB+NACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）,

VPG//AB（已知）,

AZBAP=ZAPG（两直线平行，内错角相等）,

且0G〃CD（平行于同一直线的两直线也互相平行），

:・/GPC=/PCD（两直线平行，内错角相等），

•••AP平分N84C,C尸平分NACO.

/.ZBAP=BAC,ZPCD=ACD.（角平分线定义），

11

AZBAP+ZPCD=^BAC+^ZACD=^°（等量代换），

・•・ZAPC=ZAPG+ZCPG=ZBAP+ZCDP=90°.

总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线互相垂宜.

【解题思路】过点尸作尸G〃4B交AC于点G,根据平行线的判定与性质，即可得到N

APC的度数，进而得出结论.

【解答过程】解：过点P作PG〃人8交AC于点G.

*：AB//CD（已知），

・・・NC48+NACO=18（T（两直线平行，同旁内角互补），

\'PG//AB（已知），

・・・/84P=NAPG（两直线平行，内错角相等），

且PG〃CD（平行于同一直线的两直线也互相平行），

・・・NGPC=NPC。（两直线平行，内错角相等），

平分NBAC,CP平分N4CO,

=^BAC,/PCD=寺乙ACD（角平分线定义），

:.^BAP+/PCD=；ABAC+|/.ACD=90°（等量代换），

/.ZAPC=ZAPG+ZCPG=ZBAP+ZCDP=90°.

总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线互相垂直.

故答案为：已知；NC4A；两直线平行，同旁内角互补；CD；NPCD；BAC；ACD；角

平分线定义；等量代换；互相垂直.

【变式5-1］（2023•河北模拟）如图，AB//DE,Zl=135°,NC为直角.则/。的度数为

A.35°B.40°C.45°D.55°

【解题思路】过点。作C/〃A3,由题意可求得NBAC=180°-Zl=45°,由平行线

的性质可得NACT=N84C=45°,CF//DE,从而可求/OCr的度数，则可求N。的度

数.

【解答过程】解：过点。作C"〃A8,如图所示：

・・・NBAC=1800-Zl=45°,

*：CF//AB,AB//DE,

：.ZACF=ZBAC=45°,CF//DE,

：・4DCF=4D,

•・,NACO为直角，

AZDCF=90°-Z4CF=45°,

AZD=45°.

故选：C.

【变式5-2］（2023•南关区校级一模）将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若N1

=47°,则N2的大小为（）

A.127°B.133°C.1375D.143°

【解题思路】过点E作E尸〃AC,由平行线的性质可得・・・NCE/=N1=47°,BD//EF,

从而可得/2+NOE尸=180°,结合条件可求得NQEF的度数，即可求解.

【解答过程】解.：过点E作E尸〃AC,如图所示：

'：AC//EF,AC//BD,

.\ZCEF=Z1=47°,BD//EF,

.\Z2+ZDEF=180°,

VZCFD=90°,

AZDEF=90°-NCEF=43°,

.*.Z2=180o-NDEF=137°.

故选：C.

【变式5-3］（2023春•重庆期中）已知：AB//CD,E、G是A8上的点，F、〃是CO上的

点，Z1=Z2.

（1）如图1,求证：EF//GHx

（2）如图2,过F点作FMLGH交GH延长线于点M,作NBEF、N。匹M的角平分线

交于点MEN交GH干点P,求证；NN—45°；

（3）如图3,在（2）的条件下，作NAG”的角平分线交CO于点Q,若3NFEN=4N

HFM,直接写出笔?的值.

Z.MPN

【解题思路】（1）由平行线的性质得N1=N3,再日内错角相等得出石产〃G〃；

（2）过点、N作NK//CD,设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论;

乙GQH1

（3）由3/尸皮7=4/”尸“结合前面（2）的结论，求出角度可得------=一.

乙MPN4

【解答过程】解：（1）证明：・・・A8〃CQ,

AZ2=Z3,

又・・・/l=N2,

/.Z1=Z3,

：,EF//GHx

图1

(2)如图2,过点N作NK〃CD,

:./KNE=N4,N6=N7,

设/4=x,N7=y,

VEN、/W分别平分N8EF、/DFM,

ZENK=Z5=Z4=x.N6=N8=N7=)，,

又,：AB"CD,

AZEFD=180°-2x,

又,：FMIGH,

AZE™=9()0,

A180°-2x+2y=90°,

Ax-y=45°,

/.ZENE=ZENK-Z6=x-y=45",

Z.MPN4

V3NFEN=4NHFM,B|J3x=4X2y,

'•x=百y.

/.x~y=y-y=45°

Ay=27°,x=72°,

又TEN和GQ是角平分线，

:・GQ1EN,

：,ZGQH=ZEGQ=\^-90°-72°=18°,

又•：/MPN=/FEN=x=72°,

.乙GQH_1

♦•乙MPN~4，

故答案为"

4

【题型6多拐点作平行线】

【解题思路】分别过48作人的平行线AC和8。，则可知4C〃BD〃八〃/2,再利用平

行线的性质求得答案.

【解答过程】解：如图，分别过A、4作人的平行线AC和80,

：.AC//BD//h//l2,

：.Z\=ZEAC,Z2=ZFBD,NCA8+NOBA=180°,

VZEAB+ZFBA=1251>+105°=230°,

ZEAC+ZCA8+ZDBA+Z>HD=230°,

即N1+N2+180。=230°,

.•.Zl+Z2=50o.

【变式6-1](2()23春•莱州市期末)(1)如图1,a//b,则Nl+N2=180°

(2)如图2,AB//CD,则/1+/2+/3=360°,并说明理由

(3)如图3,a//b,则Nl+N2+N3+N4=540°

(4)如图4,a//b,根据以上结论，试探究N1+N2+N3+N4+…+/〃=(〃-1)・180°

(直接写出你的结论，无需说明理由)

【解题思路】(1)根据两直•线平行，同旁内角互补解答；

(2)过点E作EF〃AB,然后根据两直线平行，同旁内角互补解答：

(3)过N2、N3的顶点作。的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答：

(4)过/2、N3…的顶点作。的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答.

【解答过程】解:(1)*：a//b,

AZ1+Z2=18O°；

(2)过点E作E7*AB,

*：AB//CD,

:.AB〃CD〃EF,

.*.Zl+Z4EF=180°,

ZCEF+Z3=180°,

/.Z1+ZAEF+ZCEF+Z3=180°+180°,

即Nl+N2+N3=360°；

(3)如图，过/2、N3的顶点作〃的平行线，

贝|JN1+N2+N3+/4=18O°X3=540°；

(4)如图，过/2、N3…的顶点作。的平行线，

贝IJN1+N2+N3+N4+…+/〃=(〃-1)*180°.

故答案为：180°；360°；540°；(〃-1)*180°.

【变式6-2](2023秋•金凤区校级期末)如图1,已知A3〃CO,N8=3(T,ZD=120°；

(1)若N£=6(T,则/〃=；

(2)请探索NE与NF之间满足的数量关系？说明理由；

(3)如图2,己知EP平分FG平分4EFD,反向延长R7交EP于点P,求/尸

的度数.

【解题思路】⑴如图1，分别过点E，尸作EM〃桢，FN//AB,根据平行线的性质得

到/B=N8EAf=30。，/MEF=/EFN,ZD+ZDF；V=180°,代入数据即可得到结论；

(2)如图1,根据平行线的性质得到N8=N8EM=3D°,/MEF=/EFN,由AB〃CZ),

AB//FN,得到C。〃成，根据平行线的性质得到NO+NQEV=180°,于是得到结论；

(3)如图2,过点、F作FH〃EP,设NBEF=2x°,则/"£>=(2A+30)°,根据角平

分线的定义得到NPE尸=鼻8所=/，/EFG二NEFD=(x+15)°,根据平行线的

性质得到NPEF=NE"/=x°,/P=/HFG,于是得到结论.

【解答过程】解：⑴如图1，分别过点£，/作EW〃A8,FN//AB,

：.EM//AB//FN.

・・・NB=N8EM=30°.NMEF=NEFN,

又•：AB〃CD,AB//FN,

：.CD//FN,

AZD+ZDF^=I8O°,

又・・・/。=120°,

AZDFN=60°,

/.Z«EF=ZA/£F+3O0,/EFD=/EFN+61)°,

・•・ZEFD=ZMEF+60^

：.ZEFD=ZBEF+^=90°；

故答案为：90°；

(2)如图1,分别过点E,EM//AB,FN//A13,

：.EM//AB//FN,

・・・NB=NBEM=30°./MEF=/EFN,

又YAB//CD,AB//FN,

：.CD//FN,

AZ£>+ZDF/V=