北师大版高中数学必修第一册全册教案

北师大版高中数学必修第一册全册教案

第一章预备知识

1集合

1.1集合的概念与表示

教学目标

1知识与技能

(1)了解解集合的含义，知道常用数集及其专用记号；

(2)初步了解“属于"关系的意义；

(3)初步了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；

2过程与方法

(1)观察关于集合的几组实例，初步感受集合语言在描叙客观现实

和数学对象中的意义c

⑵通过实例，初步体会元素与集合的“属于」关系。

3情感、态度、价值观

通过学习本节课，在教学过程中多用实例形象的展示集合语言，增

强学生认识事物的能力，激发学生的学习兴趣，初步培养学生实事

求是的学习态度。

重点难点

教学重点：集合的含义，元素与集合的关系.

教学难点：集合概念的理解.

高中数学《集合的含义与表示》教学设计模版

教学过程

教学工具：多媒体

一、新课引入

4.1.1教学活动

阅读以下例子，并提出问题：概括出他们的共同特征；他们能构成集

合吗？各自的元素是什么？

(让学生分组讨论)

(1)我家有爸爸、妈妈和我；

(2)舟曲一中高一2班的全体同学；

(3)右手的5根手指头；

(4)我国的直辖市；

(5)广20以内的素数。

(6)方程2x2x1=0的所有实数根

分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。

设计意图：结合学生的已有经验，启发学生思考培养概括能力。

(板书课题集合的含义及其表示)

二、讲授新课

1.集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体

构成一个集合(set)o

2.表示方法：集合常用大括号｛｝或大写的拉丁字母来表示，如集

合A、集合B……，集合中的每一个对象称为该集合的元素

(element),简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示，如a、

b、c、....

探究能否构成集合，阅读教材第3页的思考，引导学生明确判断的

标准是否能清晰的判断某个元素在不在该范围内。

3.关于集合的元素的特征

问题：(1)A=｛1,3｝问1,2哪个是A的元素？

(2)｛较大的正数｝能否构成集合？

(3)｛0,0,1｝表示是否正确？

(4)｛1,2,3｝和｛3,2.1｝是否为同一集合？

(通过以上4个问题，让学生思考并尝试总结集合元素的特征。)

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是

A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的

个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

(3)无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊

集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

4.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；

(1)如果是集合的元素，就说属于，记作aeA

(2)如果不是集合的元素，就说a不属于A,(“£”的开口方

向，不能把A颠倒过来写)

5.常用数集的记法：

(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合记作N,

(2)正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N

(3)整数集：全体整数的集合记作Z,

(4)有理数集：全体有理数的集合记作Q,

(5)实数集：全体实数的集合记作R

注：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括

数0

(2)非负整数集内排除。的集记作N*或NQ、Z、R等其它数集内

排除。的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

三、课堂练习

1.下列说法正确的是()

A.{1,2}和{2,1},是两个集合B{(0,2)}.中有两个元素

2.已知集合A={0,1,-1,

x2}则x在实数范围内不能取哪些值

3.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是三角形ABC的三边长，那么

ABC一定不是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

4,教材第五页练习第1题

(学生板演，并交换检查，以提高学习积极性)

四、回顾小结

1.集合的有关概念

2.集合中元素与集合的关系

3.常用数集的记法

五、课外作业

1.教材习题1.1A组第1题

2.已知集合｛l,a,b｝与｛-1,-b,l｝是同一集合，求实数a、b的值.

1.2集合的基本关系

教材分析

类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系，了解空集的含义.

本节内容是在学习了集合的概念、元素与集合的从属关系以及集合的表

示方法的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也为下一节学

习集合的基本运算打好基础.因此本节内容起着承上启下的重要作用.

教学目标

【知识与能力目标】

1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

2.理解子集、直子集的概念：

3.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的

作用.

【过程与方法目标】

让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.

【情感态度价值观目标】

感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义.

教学重难点

【教学重点】

集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念.

【教学难点】

属于关系与包含关系的区别.

课前准备

学生通过预习，观察、类比、思考、交流、讨论，发现集合间的基本关

系.

教学过程

（一）创设情景，揭示课题

复习回顾:

1.集合有哪两种表示方法？

2.元素与集合有哪几种关系？

问题提出：集合与集合之间又存在哪些关系？

（二）研探新知

问题1：实数有相等、大小关系，如5=5,5<7,5>3等等，类比实数

之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？

让学生自由发言，教师不要急于做出判断.而是继续引导学生；欲知谁

正确，让我们一起来观察、研探.

投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？

（1）Z={1,Z3},8={L2,3,4,51；

（2）设力为国兴中学高一（3）班男生的全体组成的集合，月为这个班

学生的全体组成的集合；

（3）设:。={引娓两条边相等的三角形}，。={“遑等腰三角形};

（4）e={2,4,6},尸={6,4,2}..

组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种

关系，从而类比得出两个集合之间的关系：

①一般地，对于两个集合山区如果集合力中任意一个元素都是集合〃

中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合力为夕的子集.

记作：从之B,二⑷

读作：力含于B（或月包含力）.

②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.

教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的

等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解.并指出：

为了直观地表示集合诃的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，

这种图称为Venn图.如图1和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的

Venn图.

图1图2

投影问题3：与实数中的结论“若”相类比，在集合中，你能得出什么

结论？

教师引导学生通过类比，思考得出结论：若.

问题4：请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例，并用

Venn图表示.

学生主动发言，教师给予评价.

（三）学生自主学习，阅读埋解

然后教师引导学生阅读教材的相关内容，并思考回答下例问题：

（1）集合力是集合8的真子集的含义是什么？什么叫空集？

（2）集合力是集合4的真子集与集合力是集合4的子集之间有什么区

别？

（3）0,{0}与三者之间有什么关系？

（4）包含关系与属于关系之间有什么区别？试结合实例作出解释.

（5）空集是任何集合的子集吗？空集是任何集合的真子集吗？

（6）能否说任何一人集合是它本身的子集，即？

（7）对于集合力，B,C,如果力8,BC,那么集合4与。有什么关系？

教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发

表对上述问题看法.

（四）巩固深化，发展思维

1.学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：

例1.某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格.若

用4表示合格产品，8表示质量合格的产品的集合，。表示长度合格的产品

的集合.则下列包含关系哪些成立？

AQBSBQA,AQC,CQA

试用Venn图表示这三个集合的关系.

例2.写出集合｛0,1,2）的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

2.学生做教材习题，教师及时检查反馈,强调能确定是真子集关系的

最好写真子集，而不写子集.

（五）归纳整理，整体认识

1.请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数

学思想方法又那些.

2.在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出.

1.3集合的基本运算

学习目标核心素养

1.通过补集的运算培养数学运算

1.了解全集的含义及其符号表示.（易混点）

素养.

2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会

2.借助集合思想对实际生活中的

求给定子集的补集.（重点、难点）

对象进行判断归类，培养数学抽

3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.（重点）

象素养.

1.全集

（1）定义：如果个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称

这个集合为全集.

（2）记法：全集通常记作&

思考：全集一定是实数集R吗？

提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围

内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集

Z.

2.补集

对于一个集合4由全集〃中不属于集合力的所有元素组成的集合称

文字语言

为集合力相对于全集〃的补集，记作品

符号语言［渊=且依力｝

图形语言

1.己知全集〃={0,1,2},且[渊={2},KJA=()

A.{0}B.{I)

C.0D.{0,1}

D「・・〃={0,1,2},{2},

：.A={0,1},故选D.]

2.设全集为〃，必={0,2,4},[也={6},则〃等于0

A.{0,2,4,6}B.{0}2,4}

C.{6}D.0

A[V；l/={0,2,4},O={6},

.・.〃=〃U{0.2,4,6},故选A.]

3.若集合/={x|x>l},则>3=________.

{x\xW1)[VA=->1},

[/={x|xW1}.]

补集的运算

【例1】(1)已知全集为〃,集合4={1,3,5,7},〔渊={2,4,6},[必

={1,4,6},则集合“=________；

(2)已知全集〃={x|xW5},集合/!={x|-3Wx<5},贝I」[渊=________.

(1){2,3,5,7}(2){划彳<-3或x=5}[(1)法一(定义法):因为力=

(1,3,5,7},”{2,4,6},所以〃={1,2,3,4,5,6,7}.

又C/=(1,4,6},

所以8=⑵3,5,7}.

法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示.

由图可知B={2,3,5,7).

(2)将集合〃和集合力分别表示在数轴上，如图所示.

由补集的定义可知[“={x]x<-3或x=5}.]

求集合的补集的方法

1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.

2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.

3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时

需注意端点问题.

1.(1)设集合4={x£N[xW6},"={2,4},则匚必等于。

A.{2,4}B.{0,1,3,5}

C.{1,3,5,6}D.—|后6}

(2)已知〃={x|x>0},4={x|2W水6},则[渊=.

(1)C(2){x\0<-2,或*26}[⑴因为A=—|xW6}={1,2,3,4,5,6),

B={2,41，所以(:加=U,3,5,6}.故选C.0246x

(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，[渊=

{x\0<x<2,或x26}.]

集合交、并、补集的综合运算

【例2】设全集为R,4={x|3Wx<7},8={x|2〈水10},求匕(4

U8)及([/)CB.

[解]把集合力，8在数轴上表示如下：

H尸一

由图知CR6={X|XW2,或x》10},4U8=32〈水10},所以[RG4U8)=

{x|xW2,或x210}.

因为1R/={A|A<3,或A5:7},

所以([/)D8={x[2<x<3,或7Wx<10}.

解决集合交、并、补运算的技巧

1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然

后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图

来求解.

2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别

表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界何题.

2.全集〃={x|x<10,x£N*},AQU,BQU.(［^)A{1,9},力AB=

⑶，(CJ)n(Cr^)={4,6,7},求集合4B.

［解］法一(Vcnr.图法)：根据题意作出Venn图如图所示.

由图可知力={1,3,9},B=(2,3,5,8}.

法二(定义法)：(05)04={1,9},(|»0(£而={4,6,7},・•・［：/=

(1,4,6,7,9}.

又6={1,2,3,4,5,6,7,8,9),

:・B={2,3,5,8}.

・・・((/)0力={1,9},AQB={3},

AJ={1,3,9).

与补集有关的参数值的求解

［探究问题］

1.若4«是全集〃的子集，且(［")04=。，则集合儿〃存在怎样的

关系？

提示：隹4

2.若儿夕是全集〃的子集，且(［MUS=〃，则集合48存在怎样的

关系？

提不：AQB.

【例3】设集合力={x|x+m20},s={x|-2<x<4},全集〃=R,且

(［Mn〃=。，求实数勿的取值范围.

［思路点拨］法一：

----------结合数轴-------------------

由.4求［4---------->建立加的不等关系

-----------等价转化------

（［匕：/4）门8=0------->

法二：

［解］法一（直接法）:由力={x|x+m2O}=法1x2—小},得［〃={-法

一加}.

E二。.！_5

因为4={引一2〈内4},（［j）n〃=。，~m~2024.

所以一—2,即/〃22,

所以/〃的取值范围是{/〃/〃22}.

法二（集合间的关系）：由（［/）A9=。可知危小

又B={x\—2<x<4},A={x\才+勿20}={A|—勿}，

结合数轴：-m-24%

得一勿W—2,即022.

1.（变条件）将本例中条件“（［4）03=。"改为“（［渊）门3=8”，其他

条件不变，则力的取值范围又是什么？

［解］由已知得.4={x|x2—加},所以［渊={x\x<—ni\,又（［渊）0

所以一024,解得〃W—4.

2.（变条件）将本例中条件“（0）05=。"改为“（［/）IM=R"，其他

条件不变，则勿的取值范围又是什么？

［解］由已知A={x\才2一/〃},

［iB={x|x<—2或x24}.

又（［⑶LM=R,

所以一mW—2,解得力22.

由集合的补集求解参数的方法

1如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义

并结合知识求解.

2如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问

题时，一般利用数轴分析法求解.

1.求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的

补集是不同的.

2.补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思

维受阻时，改用逆向思维，如若直接求力困难，则使用“正难则反”策略，

先求「4再由£(>/)=/求4

1.思考辨析

(1)全集一定含有任何元素.。

(2)集合CR4=［Q4()

(3)一个集合的补集一定含有元素.()

［答案］⑴X⑵X⑶X

2.〃={0,1,2,3,4},集合。={1,2,3},8={2,4},则(CMUS为()

A.{1,2,4}B,{2,3,4}

C.{0,2,3,4}D.{0,2,4}

D「.•［源={0,4},〃={2,4},・・・(［MU4={0,2,4}.］

3.设集合S={x|x>—2},7={X|-4WA<1},则(葭5)07等于。

A.{x|—2<xWl}B.{x|xW-4}

C.{x|x《l}D.{x\x^-1}

C［因为S={x|x>—2］,

所以CRS={x|xW-2}.

而7={x|-4WE},

所以(CRS)U7={x|xW-2}U{x|-4WXW1}={x|xW1}.］

4.已知全集〃={2,0,3—1},〃的子集尸={2,才一日一2},{-1},

求实数a的值.

［解］由己知，得一1日〃，且一16户，

3—a2=-1,

因此a2—a—2=0,

解得a=2.

当d=2时，U=(2,0,-1),

P={2,0},C^={-1},满足题意.

因此实数。的值为2.

2常用逻辑用语

2.1必要条件与充分条件

教材分析

本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，看条件

能否推出结论，从而判断命题的真假；然后从命题出发结合实例引出充分

条件、必要条件、充要条件这三个概念，再详细讲述概念，最后再应用概

念进行论证.

教学目标与核心素养

课程目标

1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.

2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法.

3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.

数学学科素养

1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；

2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定

义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；

3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方

程及其不等式和不等式组；

4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，

直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；

5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学

生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

教学重难点

重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念..

难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系.

课前准备

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程

一、问题导入：

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

(1)若x>a?+b)则x>2ab,(2)若ab=0,则

a=0.

学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(2)为假命题.

提问：对于命题“若P，则q"，有时是真命题，有时是假命题.如何判断

其真假的？

结论：看P能不能推出q,如果P能推出q,则原命题是真命题，否则就是

假命题.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研徐.

二、预习课本，引入新课

阅读课本17-22页，思考并完成以下问题

1.什么是充分条件？

2.什么是必要条件？

3.什么是充要条件？

5.什么是充分不必要条件？

6.什么是必要不充分条件？

7.什么是既不充分也不必要条件？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问

题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。

三、新知探究，知识梳理

1.充分条件与必要条件

命题真假“若P，则q”是真命题“若P，则q”是假命题

推出关系pmq

0是q的充分条件夕不是Q的充分条件

条件关系

。是。的必要条件。不是。的必要条件

2.充要条件

一般地，如果既有p=q,又有q=P，就记作poq.此时，我们说P是q的

充分必要条件，简称充要条件.显然，如果P是q的充要条件，那么q也

是P的充要条件，即如果p=q,那么p与q互为充要条件.

概括地说，(1)如果那么夕与g互为充要条件.

3.从集合角度看充分、必要条件

记法A={x|p(x)},B={x|q(x))

关系心B&AA=B醍B且MA

图示

®CD

P是q的充分不好P是q的必要不充p是q的既不充分也

结论Rq互为充要条件

不必要条件

四、典例分析、举一反三

题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断

例1指出下列各题中，〃是。的什么条件(在“充分不必要条件”“必要

不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).

(1)在△4%中，p：Q：BOAC；

(2)对于实数x,y,p：x+yW8,q：xW2或冲6；

⑶p：(a—2)(a—3)=0,q：a=3；

(4)尸：8＜方，g：-＜1.

【答案】见解析

【解析】(1)在△4回中，显然有/力＞/方=比＞力。，所以夕是。的充分必要

条件.

(2)因为x=2且y=6=x+y=8,即飞=「夕，但一夕=一小所以2是Q的充分

不必要条件.

(3)由(a—2)(a—3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3；由a=3可

以得出Q—2)(a—3)=0.因此，夕是。的必要不充分条件.

⑷由于&<b，当8<0时，一>1；

b

当8>0时，3<1，故若不一定有,〈1；

bb

当a>0,方>0,-<1011，可以推出e<8；

b

当g。，方<0,可以推出a>b.

b因此夕是0的既不充分也不必要条件.

解题技巧：(充分条件与必要条件的判断方法)

(1)定义法

(2)集合法

对于集合力={X|N满足条件引，8={x|x满足条件。},具体情况如下：

若/仁8,则夕是°的充分条件；

若贝U4是。的必要条件：

若4=6,则夕是q的充要条件；

若/后〃，则夕是。的充分不必要条件；

若底人则,是0的必要不充分条件.

(3)等价法

等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，

根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的

关系进行判断.

跟踪训练一

1.设&方是实数，则“a〉b”是“才>庐’的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】D

题型二充要条件的探求与证明

例2(1)“丁一4/0”的一个充分不必要条件为()

A.0<X4B.0<X2

C.x>0D.x<4

(2)已知x，y都是非零实数，且心》求证：净充要条件是以S

【答案】(1)B(2)见解析

【解析】(1)由/-30得0〈K4,则充分不必要条件是集合｛x|0-4｝的子集，故选B.

⑵法一：充分性：由动对及*乎得三/，艮/4.

xyxyxy

必要性：由/■，得，-40,即上Mo.

xyxyxy

因为“>广，所以厂工□，所以唠0.

所以净)充要条件是侬0.

法二：汇Mo.

xyxyxy

由条件我片》一水0,故由匚或Oo戏0.

xy

所以必0次加，

xy

即*今充要条件是靖0.

解题技巧：(探求充要条件一般有两种方法)

(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B),

再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B,即从充分

性和必要性两方面说明.

(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过

程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将

充分性和必要性分开来说明.

跟踪训练二

2.(1)不等式x(x—2)<0成立的一个必要不充分条件是()

A.(0,2)B.[-1,+8)

C.xR(0,1)D.xG(1,3)

⑵求证：关于x的方程a/+/»+c=0有一个根是1的充要条件是a+〃+

c=0.

【答案】(1)B(2)见解析

【解析】(1)由2)<0得0<X2,因为(0,2)£［-1,+8),所以

［-1,+8)”是“不等式内不一2)<0成立”的一个必要不充分条件.

(2)证明假设夕：方程dX?+6x+c=0有一个根是1,Q：d+6+C=0.

①证明夕=,，即证明必要性.

x=1是方程Ax+c=0的根，.,.a*PH-Z?•14-c=0,即a+Z?+c=

0.

②证明qnp,即证明充分性.

由a+b+c=0,得c——a—b.

*.*ax+bx~\~c=0,ax+bx~a~b=0,

即a｛x~1)+b［x-1)=0.故(x—1)(ax+a+A)=0.

••・x=l是方程的一个根.

故方程/+。才+。=。有一个根是1的充要条件是a+6+c=0.

题型三利用充分、必要条件求参数的范围

例3已知夕：—Sx—20W0,q：#—2x+l—mWO(/〃>0),且夕是丁的

充分不必要条件，则实数勿的取值范围为__

【答案】｛引/29｝(或［9,4-oo))

【解析】由景一8x—20W0,得一2WxW10,由x—2x+1—£W0(ni>0),

得1—x&1+/〃(〃?〉0).

因为〃是o的充分不必要条件，所以片。且07夕.

即｛x|-2WxW10｝是｛x|1—勿WxWl+/〃，勿>0｝的真子集，

O>p-扃-2，

-X-2»或卜0，解得加?9.

fU+JB>10»

变式.［变条件］［例3］本例中“〃是。的充分不必要条件”改为“夕

是。的必要不充分条件”，其他条件不变，试求打的取值范围.

【答案】见解析

【解析】由，-8z-2040得-24*C10，由J?-2*+l-d40C©>0)得1-而C*C1+第5>0)

因为「是0的必要不充分条件，所以一，且〃¥

则{x|1_/CxCl+加而>0法改|-24x410}

於。

所以，1-m3-2，解得0。43.

1+扃10

即为的取值范困是(0,3].

解题技巧：(利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围)

(1)化简p、q两命题，

⑵根据夕与。的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，

⑶利用集合间的关系建立不等关系，

⑷求解参数范围.

跟踪训练三

3.已知〃={x|a—4<x<a+4},(J={x\1<K3),"是"0”的必要

条件，求实数a的取值范围.

【答案】见解析

【解析】因为是x£。的必要条件，所以&U.

a-441

、解得-14845

(a+4>3

即8的取值范围是[-1,5].

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

1.4充分条件与必鳏件

L充分条件例1例2例3

2.必繇件

七、作业

课本23页习题1.4

教学反思

因为涉及到的知识点比较多，且知识点较繁琐，且新概念比较抽象，因

此本节学习过程中，一定让学生多多参加，并且在解题技巧方面先让学生

自己总结，教师再补充说明。

2.2全称量词与存在量词

学习目标核心素养

1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与

存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命1.通过含量词的命题的否定，培

题的意义.养逻辑推理素养.

2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判2.借助全称量词命题和存在量

定.（重点，难点）词命题的应用，提升数学运算素

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.（重养.

点、易混点）

1.全称量词与全称量词命题

（1）短语“所有的”“任意•个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号

“V”表示.

（2）含有轨量旦的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量上的语句

用p（X）,q（x）,r（x）,…表示，变量2L的取值范围用比表示，那么全称量

词命题“对此中任意一个x，E6）成立"可用符号简记为Vx£M,p（x）.

2.存在量词与存在量词命题

（1）短语“存在一个”“至少有一个“在逻辑中通常叫做存在言词,并用

符号“才’表示.

（2）含有存在量在的命题,叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M

中的元素X，使p（X）成立“，可用符号简记为“全包P（x）”.

思考：“一元二次方程ax2+2x+l=0有实数解”是存在量词命题还是

全称量词命题？请改写成相应命题的形式.

提示：是存在量词命题，可改写为“存在x£R,使空2+2乂+1=0”.

3.含有一个量词的命题的否定」

一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：

全称量词命题p：VxM,p(x),它的否定一12：mxWM,—»p(x)；

存在量词命题E：Sx.eM»2(x)»它的否定一^：VxWM,—ip(x).

全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词

命题.

1.下列命题中全称量词命题的个数是0

①任意一个自然数都是正整数；

②有的菱形是正方形；

③三角形的内角和是180°.

A.OB.IC.2D.3

［答案］C

2.下列全称量词命题为真命题的是()

A.所有的质数是奇数

B.4£匕£+12

C.对每一个无理数x，d也是无理数

D.所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5

［答案］B

3.下列命题中的假命题是()

A.|x|^0B.VxeN\(x-l)2>0

C.X+2019<1D.3xeR，2->2

B［当x=l时，Q—1尸=0,所以B项为假命题.］

4.己知命题且：VxesinxWl,则其否定是。

A.—1p：sin

B.-*p：VxGsinX21

C.--'p：3xR,sin1>1

D.-'p：sinx>1

［答案］C

全称量词命题和存在量词命题的判断

【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它

们的真假.

(l)Vx£N,2工+1是奇数；

1

(2)存在一个xJK,使x—l=O；

(3)对任意实数分|a|>0；

1

(4)有一个角且，使sinq=2.

［解］(1)是全称量词命题.因为2乂+1都是奇数，所以该命题是

真命题.

1

(2)是存在量词命题.因为不存在x£R,使x—1=0成立，所以该命题

是假命题.

(3)是全称量词命题.因为|0|=0,所以|日|>0不都成立，因此，该命

题是假命题.

1

(4)是存在量词命题.因为当旦=30°时，sin_a_=2,所以该命题是

真命题.

全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：

1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合土中的每个

元素工证明Rx成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集

合山中的一个占使得Bx不成立即可这就是通常所说的“举出一个

反例”.

2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合世中，能找

到一个2L使艮x成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.

1.判断下列命题的真假.

(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；

(2)3X,工为正实数，使Y+乂2=0；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(1，乂)都对应一点已

(4)Vx£N,x2>0.

[解](1)因为面积相等的三角形不一定相似.故它是假命题.

(2)因为当f+£'=0时，1=工=0,

所以不存在乙匕为正实数，使Y+f=O,故它是假命题.

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.

(4)因为0£N,()2=0,所以命题“X^eN,x2>0n是假命题.

含有一个量词的命题的否定

【例2】(1)设命题口：3nGN,n2>2",则命题.的否定为。

A.VneN,n2>2-B.3neN,n2^2-

C.VnEN,n2^2aD.SneN,n2=2a

(2)命题三口£”,使得的否定形式是0

A.VxR,3n^N*,使得口Vf

R.\/xER,VnEN*,使得口

C.3xeR,3nGN\使得旦

D.3xeR,VnGN*,使得RVQ

(DC⑵D[⑴因为的否定是"Vx^M,「艮3”，所以

命题F蚱N,©2”，的否定是«VnGN,n2^2aw,故选C.

(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否

定形式是存在量词命题，所以“▼三£R,使得n^x2"的否定形式

为“三乂金电VnGN\使得R〈d，，.]

含有一个量词的命题的否定的方法

(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全

称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的

全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.

(2)对丁省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词

的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.

2.写出下列命题的否定并判断其真假：

1

(1)2：22^0；

(2)g：所有的正方形都是矩形；

(3)r：3xeR,X2+2X+3^0；

(4)s：至少有一个实数&使X‘+1=0.

1

［解］(1)「R：3xeR,22<0,假命题.

1

因为2220恒成立，所以「上是假命题.

(2)「q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.

(3)~'r：R,2£，+21+3>0,真命题.

因为P&CR»£+2^+3=(x+1)~+222>0恒成立，所以二是真命题.

(4)-'s：Vxx'+lW0,假命题.

因为K=-1时，<+1=°，所以一1二是假命题.

全称量词命题与存在量词命题的应用

【例3］对于任意实数X，函数x=x2+4x—1的函数值恒大于实数必，

求史的取值范围.

［解］令乂=凶'+41一1,xG

则Y=(X+2)2—5,

因为X^WR,不等式/+钮一1>叱恒成立，

所以只要派一5即可.

所以所求注的取值范围是{坦|史〈一5}.

求解含有量词的命题中参数范围的策略

1对于全称量词命题’,乂£此a>x或a<^”为真的问题，

实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数上的最大值或最小值，

即且>匕打或且<%小.

2对于存在量词命题“弘仁此旦〉工或2V工”为真的问题，实

质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数匕的最小值或最大值，

即a>Xnin或包〈工仆.

3.若命题VxGR,x2-2x+m^0"是真命题，则实数叽的取值范

围是0

A.IB.m>1

C.m<1D.1

B［命题p：<一2工+型/0是真命题，则亘VO,即坦>1.故选B.］

1.判定一个命颍是全称量词命题还是存在量词命撅的主要方法是看命

题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题.

2.要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合在中的每一个

元素上验证艮6)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存

在量词命题真假的判定方法正好与之相反.

3.全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应

的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以

否定.

1.思考辨析

(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题.。

(2)命题”有些菱形是正方形”是全称量词命题.()

(3)命题：VxR,X?—3工+3>0的否定是Vx@R,x2—3x+3^0.()

［答案］⑴J⑵X⑶X

2.下列存在量词命题中，是假命题的是0

A.3xZ,X2—2x—3=0

B.至少有一个使工能同时被2和3整除

C.有的三角形没有外接圆

D.某些四边形不存在外接圆

C［A中，三=-1满足题意，是真命题；B中，三=6满足题意，是真命题；

C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题.只有对角互补的四边形才有外

接圆，故选C.］

3.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是0

A.任意一个有理数，它的平方是有理数

B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

B［量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它

的平方不是有理数"，故选民］

4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.

(1)对某些实数x,有2x+l>0；

(2)Vxe{3,5,7},3x+l是偶数；

(3)3xeQ,x2=3.

［解］(1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题.

(2)命题中含有全称量词的符号“V”，因此是全称量词命题.

把3,5,7分别代入3乂+1,得10,16,22,都是偶数，因此，该命题是真

命题.

(3)命题中含有存在量词的符号“三”，因此是存在量词命题.

由于使4=3成立的实数只有土，且它们都不是有理数，因此，没有一

个有理数的平方等于3,所以该命题是假命题.

3不等式

3.1不等式性质

【教学目标】

1.掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式

变形解决简单的问题.

2.掌握应用作差比较法比较实数的大小.

3.通过教学，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质.

【教学重点】

不等式的三条基本性质及其应用.

【教学难点】

不等式基本性质3的探索与运用.

【教学方法】

这节课主要采用讲练结合法与分组探究教学法.通过引导学生回顾玩跷跷板的经

验，师生共同探究天平两侧物体的质量的大小，引导学生理性地认识不等式的三

条基本性质，并运用作差比较法来证明之.通过题组训练，使学生逐步掌握不等

式的基本性质，为后面运用不等式的基本性质解不等式打下理论基础.

【教学过程】

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

导入

【课件展示情境1】

创设天平情境问题：

观察课件，说出物体a和c哪个质量更大一些？

由此判断:

如果a>b,b>c,那么a和c的大小关系如何？

从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习的积极性.

新课性质1(传递性)

如果a>b,b>c,则a>c.

分析要证a>c,只要证a—c>0.

证明因为a—c=h)+(h—c.),

又由a>b,b>c,即a—b>0,b—c>0,

所以(a-b)+(b-c)>0.

因此a—c>0.

即a>c.

【课件展示情境2】

性质