2025版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教学案理含解析北师大版

PAGE1-第一节平面对量的概念及线性运算[考纲传真]1.了解向量的实际背景，理解平面对量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.驾驭向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.驾驭向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是随意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与a共线．eq\o([常用结论])1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→)))．2.eq\o(OA,\s\up9(→))＝λeq\o(OB,\s\up9(→))＋μeq\o(OC,\s\up9(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.3．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最终一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up9(→))＋eq\o(A2A3,\s\up9(→))＋eq\o(A3A4,\s\up9(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up9(→))，特殊地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．4．与非零向量a共线的单位向量为±eq\f(a,|a|).[基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反． ()(2)若向量eq\o(AB,\s\up9(→))与向量eq\o(CD,\s\up9(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． ()(3)若a∥b，b∥c，则a∥c. ()(4)当两个非零向量a，b共线时，肯定有b＝λa，反之成立． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．化简eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))得()A.eq\o(AB,\s\up9(→))B．eq\o(DA,\s\up9(→))C.eq\o(BC,\s\up9(→)) D．0D[∵eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))－(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→)))＝eq\o(AD,\s\up9(→))－eq\o(AD,\s\up9(→))＝0，故选D．]3．(教材改编)如图，▱ABCD的对角线交于点M，若eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，用a，b表示eq\o(MD,\s\up9(→))为()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bB．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bD[由题意可知eq\o(BD,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝b－a，又eq\o(BD,\s\up9(→))＝2eq\o(MD,\s\up9(→))，∴eq\o(MD,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，故选 D．]4．如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是()A.eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up9(→)) B．eq\o(AQ,\s\up9(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))C.eq\o(BP,\s\up9(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→)) D．eq\o(AQ,\s\up9(→))＝eq\o(BP,\s\up9(→))D[向量具有大小和方向两个要素，故eq\o(AQ,\s\up9(→))＝eq\o(PB,\s\up9(→))，所以D错误，故选 D．]5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.－eq\f(1,3)[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,3k＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)，,k＝\f(1,3).))]平面对量的概念1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量肯定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4A[①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是随意向量．]2．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；其中真命题的序号是________．③[①错误．两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不肯定有相同的起点和终点．②错误．|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不肯定相等或相反．③正确．因为eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))，所以|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝|eq\o(DC,\s\up9(→))|且eq\o(AB,\s\up9(→))∥eq\o(DC,\s\up9(→))；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④错误．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．][规律方法]1相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2共线向量即为平行向量，不要与线段的共线、平行混为一谈.3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图像的移动混为一谈.平面对量的线性运算【例1】(1)(2024·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up9(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up9(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up9(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up9(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up9(→))(2)(2024·枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(AD,\s\up9(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up9(→))，若eq\o(BC,\s\up9(→))＝λeq\o(DC,\s\up9(→))(λ∈R)，则λ＝()A．2B．3C．－2D．－3(3)在△ABC中，点M，N满意eq\o(AM,\s\up9(→))＝2eq\o(MC,\s\up9(→))，eq\o(BN,\s\up9(→))＝eq\o(NC,\s\up9(→)).若eq\o(MN,\s\up9(→))＝xeq\o(AB,\s\up9(→))＋yeq\o(AC,\s\up9(→))，则x＝________；y＝________.(1)A(2)D(3)eq\f(1,2)－eq\f(1,6)[(1)eq\o(EB,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\o(AE,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AC,\s\up9(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up9(→))，故选A.(2)由eq\o(BC,\s\up9(→))＝λeq\o(DC,\s\up9(→))可知eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(AD,\s\up9(→)))，∴eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ)))eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up9(→))，又eq\o(AD,\s\up9(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up9(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,λ)＝－\f(1,3)，,1－\f(1,λ)＝\f(4,3).))解得λ＝－3，故选D．(3)eq\o(MN,\s\up9(→))＝eq\o(MC,\s\up9(→))＋eq\o(CN,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\o(AC,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up9(→))＝xeq\o(AB,\s\up9(→))＋yeq\o(AC,\s\up9(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).][规律方法]向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(1)(2024·山西师大附中模拟)在△ABC中，eq\o(AN,\s\up9(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up9(→))，P是直线BN上一点，若eq\o(AP,\s\up9(→))＝meq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up9(→))，则实数m的值为()A．－4B．－1C．1 D．4(2)(2024·皖南八校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq\o(BC,\s\up9(→))＝3eq\o(EC,\s\up9(→))，F为AE的中点，则eq\o(BF,\s\up9(→))＝()A.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up9(→))B．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up9(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up9(→))D．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up9(→))(1)B(2)B[(1)∵eq\o(AN,\s\up9(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up9(→))，∴eq\o(AC,\s\up9(→))＝5eq\o(AN,\s\up9(→)).又eq\o(AP,\s\up9(→))＝meq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up9(→))，∴eq\o(AP,\s\up9(→))＝meq\o(AB,\s\up9(→))＋2eq\o(AN,\s\up9(→))，由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，∴m＝－1.(2)依据平面对量的运算法则得eq\o(BF,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up9(→))，eq\o(BE,\s\up9(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up9(→))，eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→)).因为eq\o(AC,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→))，eq\o(DC,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))，所以eq\o(BF,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up9(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up9(→))－\o(AB,\s\up9(→))))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up9(→))，故选 B．]向量共线定理及其应用【例2】设两个非零向量a与b不共线，(1)若eq\o(AB,\s\up9(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up9(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up9(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解](1)证明：∵eq\o(AB,\s\up9(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up9(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up9(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up9(→))＝eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up9(→)).∴eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(BD,\s\up9(→))共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)B．∵a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.[母题探究]若将本例(1)中“eq\o(BC,\s\up9(→))＝2a＋8b”改为“eq\o(BC,\s\up9(→))＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？[解]eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即eq\o(BD,\s\up9(→))＝4a＋(m－3)b．若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使eq\o(BD,\s\up9(→))＝λeq\o(AB,\s\up9(→)).即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝λ，,m－3＝λ，))解得m＝7.故当m＝7时，A，B，D三点共线．[规律方法]共线向量定理的三个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up9(→))＝λeq\o(AC,\s\up9(→))，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．(1)已知向量e1与e2不共线，且向量eq\o(AB,\s\up9(→))＝e1＋me2，eq\o(AC,\s\up9(→))＝ne1＋e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满意的条件是()A．mn＝1 B．mn＝－1C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1(2)经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq\o(OP,\s\up9(→))＝meq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(OQ,\s\up9(→))＝neq\o(OB,\s\up9(→))，m，n∈R，则eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)的值为________．(1)A(2)3[(1)因为A，B，C三点共线，所以肯定存在一个确定的实数λ，使得eq\o(AB,\s\up9(→))＝λeq\o(AC,\s\up9(→))，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝nλ，,m＝λ，))所以mn＝1.(2)设eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(OB,\s\up9(→))＝b，则eq\o(OG,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(PQ,\s\up9(→))＝eq\o(OQ,\s\up9(→))－eq\o(OP,\s\up9(→))＝nb－ma，eq\o(PG,\s\up9(→))＝eq\o(OG,\s\up9(→))－eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－ma＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3) B．由P，G，Q共线得，存在实数λ使得eq\o(PQ,\s\up9(→))＝λeq\o(PG,\s\up9(→))，即nb－ma＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)λb，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ，得eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)＝3.]1．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所