2025版高考数学大一轮复习高考必考题突破讲座6概率与统计的综合问题课时达标理含解析新人教A版

PAGEPAGE1高考必考题突破讲座(六)1．已知某班n名同学的数学测试成果(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成果在[90,100]内的有6人．(1)求n的值；(2)若成果在[40,50)内的人数是成果在[50,60)内的人数的eq\f(1,3)，规定60分以下为不及格，从不及格的人中随意选取3人，求成果在50分以下的人数X的分布列和数学期望．解析(1)依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100.035＋0.025＋c＋2b＋a＝1，,2b＝a＋c))⇒b＝0.01，因为成果在[90,100]内的有6人，所以n＝eq\f(6,0.01×10)＝60.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝0.02，,c＝3a))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.005，,c＝0.015，))于是成果在[40,50)及[50,60)内的人数分别为3和9，即不及格的人数为12，从中任选3人，则成果在50分以下的人数X的全部可能取值为0,1,2,3.且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(0,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(21,55)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,9)C\o\al(1,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,55)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(0,9)C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,220)，所以X的分布列如下X0123Peq\f(21,55)eq\f(27,55)eq\f(27,220)eq\f(1,220)故X的数学期望为E(X)＝0×eq\f(21,55)＋1×eq\f(27,55)＋2×eq\f(27,220)＋3×eq\f(1,220)＝eq\f(3,4).2．下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．解析设Ai表示事务“此人于11月i日到达该市”(i＝1，2，…，12)．依题意知，P(Ai)＝eq\f(1,12)，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．(1)设B为事务“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝eq\f(5,12).即此人到达当日空气重度污染的概率为eq\f(5,12).(2)由题意可知，ξ的全部可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－eq\f(1,4)－eq\f(1,6)－eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,6)eq\f(1,6)故ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(5,12)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,4).3．(2024·焦作模拟)某单位共10名员工，他们某年的收入如下表.员工编号12345678910年薪/万元33.5455.56.577.5850(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；(2)从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；(3)已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元，4.2万元，5.6万元，7.2万元，预料该员工第五年的年薪为多少？附：线性回来方程eq\o(y,\s\up18(^))＝eq\o(b,\s\up18(^))x＋eq\o(a,\s\up18(^))中系数计算公式eq\o(b,\s\up18(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up18(－))yi－\o(y,\s\up18(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up18(－))2)，eq\o(a,\s\up18(^))＝eq\o(y,\s\up18(－))－eq\o(b,\s\up18(^))eq\o(x,\s\up18(－))，其中eq\o(x,\s\up18(－))，eq\o(y,\s\up18(－))表示样本均值．解析(1)平均值为10万元，中位数为6万元．(2)年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人，ξ取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(2,15)eq\f(8,15)eq\f(1,3)数学期望为E(ξ)＝0×eq\f(2,15)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(6,5).(3)设xi，yi(i＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则eq\o(x,\s\up18(－))＝2.5，eq\o(y,\s\up18(－))＝5，eq\i\su(i＝1,4,)xi－eq\o(x,\s\up18(－)))2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，eq\i\su(i＝1,4,)xi－eq\o(x,\s\up18(－)))(yi－eq\o(y,\s\up18(－)))＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7，eq\o(b,\s\up18(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)xi－\o(x,\s\up18(－))yi－\o(y,\s\up18(－)),\i\su(i＝1,4,)xi－\o(x,\s\up18(－))2)＝eq\f(7,5)＝1.4，eq\o(a,\s\up18(^))＝eq\o(y,\s\up18(－))－eq\o(b,\s\up18(^))eq\o(x,\s\up18(－))＝5－1.4×2.5＝1.5，因此线性回来方程为y＝1.4x＋1.5，可预料该员工第5年的年薪收入为8.5万元．4．(2024·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再依据检验结果确定是否对余下的全部产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)．②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的全部产品作检验？解析(1)由题意知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Ceq\o\al(2,20)p2(1－p)18.因此，f′(p)＝Ceq\o\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq\o\al(2,20)p(1－p)17·(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)＜0，所以f(p)的最大值点p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品的件数．依题意知，Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490.②假如对余下的全部产品作检验，那么这一箱产品所须要的检验费用为400元．由于E(X)>400，因此应当对这箱余下的全部产品作检验．5．(2024·甘肃兰州诊断)“中国式过公路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃．即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”，某校探讨性学习小组对全校学生按“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”等三种形式过公路进行调查，获得下表数据：跟从别人闯红灯从不闯红灯带头闯红灯男生98041060女生34015060用分层抽样的方法，从全部被调查的人中抽取一个容量为n的样本，其中在“跟从别人闯红灯”的人中抽取了66人．(1)求n的值；(2)在所抽取的“带头闯红灯”的人中，任选2人参与星期天社区组织的“文明交通”宣扬活动，求这2人中至少有1人是女生的概率．解析(1)由题意得，eq\f(66,980＋340)＝eq\f(n,980＋340＋410＋150＋60＋60)，解得n＝100.(2)因为全部参与调查的人数为980＋340＋410＋150＋60＋60＝2000，所以从“带头闯红灯”的人中用分层抽样的方法抽取的人数为(60＋60)×eq\f(100,2000)＝6，其中男生有60×eq\f(100,2000)＝3人，女生有60×eq\f(100,2000)＝3人，将这3名男生用A1，A2，A3表示，3名女生用B1，B2，B3表示，则从这6人中任选2人的全部基本领件为A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共15个．这2人均是男生的基本领件有A1A2，A1A3，A2A3，共3个，记“这2人中至少有1人是女生”为事务M，则M包含的基本领件共有12个，所以P(M)＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).故从这6人中任选2人，至少有1个是女生的概率为eq\f(4,5).6．(2024·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，其次组工人用其次种生产方式．依据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)依据茎叶图推断哪种生产方式的效率更高？并说明理由．(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表中：超过m不超过m第一种生产方式其次种生产方式(3)依据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解析(1)其次种生产方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少为82min；用其次种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多78min.因此其次种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5min；用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5min.因此其次种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80min；用其次种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80min.因此其次种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于