2025版高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第7讲二次函数与幂函数课时达标文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第7讲二次函数与幂函数课时达标一、选择题1．已知幂函数f(x)＝k2·xa＋1的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋a＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(1,2)或－eq\f(3,2) D．2C解析因为f(x)＝k2·xa＋1是幂函数，所以k2＝1，所以k＝±1.又f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＋1＝eq\f(\r(2),2)，所以a＋1＝eq\f(1,2)，所以a＝－eq\f(1,2)，所以k＋a＝±1－eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)或eq\f(1,2).2．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的符号为()A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＜0，c＞0D．a＜0，b＞0，c＜0B解析由题意知抛物线开口向下，故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧得eq\f(c,a)<0，所以c>0.再由顶点在第一象限得－eq\f(b,2a)>0，所以b>0.3．若a＝2－eq\f(3,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜cC解析a＝2－eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3，依据函数y＝x3是R上的增函数，且eq\f(2,5)＜eq\f(1,2)＜eq\f(\r(2),2)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3，即b＜c＜a.4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5满意条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为()A．5 B．6C．8 D．与a，b的值有关A解析因为函数f(x)＝ax2＋bx＋5满意条件f(－1)＝f(3)，所以f(x)＝ax2＋bx＋5的图象关于x＝eq\f(－1＋3,2)＝1对称，则f(2)＝f(0)＝5.故选A.5．对随意的x∈[－2,1]，不等式x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0] B．(－∞，3]C．[0，＋∞) D．[3，＋∞)D解析设f(x)＝x2＋2x－a(x∈[－2,1])，其对称轴为x＝－1，所以当x＝1时，f(x)取得最大值3－a，所以3－a≤0，解得a≥3.故选D.6．(2024·杭州测试)若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为()A．[－3,3] B．[－1,3]C．{－3,3} D．{－1，－3,3}C解析因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的图象的对称轴为直线x＝1，f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当a≥1时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3；当a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1时，f(x)min＝f(1)＝0≠4.故a的取值集合为{－3,3}．故选C.二、填空题7．已知函数f(x)＝xeq\s\up12(\f(1,2))，且f(2x－1)<f(3x)，则x的取值范围是________．解析f(x)＝xeq\s\up12(\f(1,2))在[0，＋∞)上是单调递增的，且f(2x－1)<f(3x)，则0≤2x－1<3x，所以x≥eq\f(1,2).答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．解析依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1(a＞0)，又其图象过点(0,1)，所以4a－1＝1，所以a＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)2－1.答案f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)2－19．(2024·河北师大附中期中)若函数f(x)＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞)上单调递减，则实数m的取值范围为________．解析当m＝0时，f(x)＝－2x＋3在R上单调递减，符合题意；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞)上单调递减，只需对称轴x＝eq\f(1,m)≤－1，且m＜0，解得－1≤m＜0，综上，实数m的取值范围为[－1,0]．答案[－1,0]三、解答题10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．解析(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，因为x∈[－4，6]，所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，所以f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．11．(2024·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f(x)满意f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满意|x1－x2|＝2.(1)求f(x)的表达式；(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]上的最大值为f(2)，最小值f(－1)，求实数k的取值范围．解析(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，依据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋eq\f(h,a)，所以|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(－\f(4h,a))＝2，解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[－1,2]上单调递增，又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.所以g(x)的对称轴方程为x＝eq\f(k－2,2)，则eq\f(k－2,2)≤－1，即k≤0，故k的取值范围为(－∞，0]．12．已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)xm(1)求f(x)的解析式；(2)若函数h(x)＝f(x)＋ax＋3－a≥0在区间[－2,2]上恒成立，求实数a的取值范围．解析(1)由f(x)为幂函数知－2m2＋m＋2＝1，解得m＝1或m＝－eq\f(1,2).当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意；当m＝－eq\f(1,2)时，f(x)＝xeq\f(1,2)，不合题意，舍去．所以f(x)＝x2.(2)h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2－eq\f(a2,4)－a＋3，令h(x)在[－2,2]上的最小值为g(a)．①当－eq\f(a,2)＜－2，即a＞4时，g(a)＝h(－2)＝7－3a≥0，所以a≤eq\f(7,3).又a＞4，所以a不存在；②当－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4)－a＋3≥0，所以－6≤a≤2.又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2；③当－eq\f(a,2)＞2，即a＜－4时，g(a)＝h(2)＝7＋a≥0，所以a≥－7.又a＜－4，所以－7≤a＜－4.综上可知，a的取值范围为[－7,2]．13．[选做题](2024·襄阳五中期中)已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2019－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则