圆的有关性质-弧、弦、圆心角（全国赛课公开课一等奖）课件-九年级数学新人教版上册

人教版九年级上册弧、弦、圆心角教学目标010203进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.

灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.01重点：能初步应用垂径定理进行计算和证明.02难点：理解圆的轴对称性及垂径定理的推导.重难点引入新课情境导入

同学们,通过上节课的学习我们对圆已经有了初步的认识,圆与我们的生活有着密切的联系.请欣赏下面一些生活中美丽的图案,让我们一起走进圆的美丽世界.3.我们所学过的图形中，哪些图形既是轴对称图形又是中心对称图形？2.什么是中心对称图形？我们学过哪些中心对称图形？在平面内，如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形。1.什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。线段、矩形、正方形、角、菱形、等腰三角形.线段、矩形、正方形、菱形、平行四边形.线段、矩形、正方形、菱形.复习提问：新课导入问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.01圆心角概念圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?·圆是中心对称图形它的对称中心是圆心.探究：圆的中心对称性圆绕圆心旋转任意角度，都能够与原来的图形重合.圆具有旋转不变性把圆绕圆心旋转任意的一个角度呢？剪一个圆形纸片，绕着圆心旋转180°，你发现了什么？合作探究你能得到什么结论？O180°圆心就是它的对称中心.圆是中心对称图形O30°60°120°210°所得的图形与原图形完全重合.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形完全重合.圆的对称性：1、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线。2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

·OB

A

·OB

A观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？顶点在圆心上圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角BA∠AOB为圆心角O·圆心角∠AOB所对的弦为AB所对的弧为AB.⌒OABM1.圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB.3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弧2.圆心角∠AOB

所对的弧为

AB.⌒弦

判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.①②③④顶点在圆内，但不是圆心，不是圆心角。顶点在圆外，不是圆心角。顶点在圆周上，不是圆心角。圆心角练一练：02弧、弦、圆心角之间的关系任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弦弧这三个量之间会有什么关系呢？BAO·探究知识点弧、弦、圆心角之间的关系状元成才路∠AOB＝∠A′OB′·OABA′B′

如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？得到：AB=A＇B＇思考在⊙O中，当圆心角∠AOB

∠A'OB'时，它们所对的弧

和，弦AB和A'B'相等吗？OABA'B'(A')(B')AB=A'B'点A与点A'重合；点B与点B'重合；AB与A'B'重合；与重合.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？⌒⌒C·OABD

由圆的旋转不变性，可得：在⊙O中，如果∠AOB=∠COD.

那么，

AB与CD

，弦AB=弦CD.归纳在同圆中探究⌒⌒

·OAB如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？

·O′CD

通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，可得：如果∠AOB=∠COD

那么，AB=CD

弦AB=弦CD归纳⌒⌒在等圆中探究在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它所对的圆心角，所对的弦是否也相等呢？OABA'B'(A')(B')在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.AB

A'B'∠AOB

∠A'OB'AB

A'B'∠AOB

∠A'OB'思考

在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．①∠AOB=∠COD②AB=CD⌒

⌒③AB=CDABODC弧、弦与圆心角的关系定理同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弧_______．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．状元成才路两个圆心角两条弦两条弧知一求二弧、弦、圆心角之间的关系1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.

3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？··A'B'AB思考状元成才路不可以，如图.前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢.03弧、弦、圆心角之间的关系应用如图，AB、CD是⊙O的两条弦.（1）如果AB=CD，那么

，

.（2）如果

，那么

，

.（3）如果∠AOB=∠COD，那么

，

.（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，OE与OF相等吗？为什么？OCDFABE【对应练习】∠AOB=∠CODAB=CD∠AOB=∠CODAB=CD相等.状元成才路如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．证明：∴AB=AC.又∠ACB=60°∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.∵AB=AC⌒⌒⌒⌒·ABCO例状元成才路在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗?①

圆心角②弧③弦④弦心距知一得三思考A'B'ABO·C'C状元成才路典型例题例1已知AB是⊙O的直径，

，∠COD

35°，求∠AOE的度数．AOBCDE·解：∵，∠COD

35°.∴∠BOC

∠COD

∠DOE35°.∴∠AOE180°335°

75°35°35°35°AOBC·典型例题例2已知：在⊙O中，

，∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．解：∵∴AB

AC，△ABC是等腰三角形.又∵∠ACB60°

∴△ABC是等边三角形.AB

AC

BC.

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC60°60°如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等如果弦相等那么弦所对应的圆心角相等弦所对应的优弧相等弦所对应的劣弧相等如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等在同圆或等圆中题设结论在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．弧、弦与圆心角关系定理的推论关系结构图圆心角相等弧相等弦相等04弧、弦、圆心角之间的关系练习随堂演练基础巩固1.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE,∠AOE=72°，则∠COD的度数是()A．36°B．72°C．108°D．48°2.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD=

.A60°⌒⌒⌒3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=

．40°⌒4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数.解：∵AB=AC，∴AB=AC.∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°-∠B-∠C=30°.⌒⌒⌒⌒5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.证明：∵AD=BC.∴AD=BC.∴AD+AC=BC+AC,即CD=AB.∴AB=CD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒6.如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，求证：四边形OACB是菱形.综合应用⌒证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，∴AC=BC,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°.又∵OA=OC=OB,∴△AOC与△BOC是等边三角形.∴∠A=60°.又∠AOB=120°,∴AC∥OB.∵AC=OC=OB,∴四边形OACB是平行四边形.又OA=AC,∴四边形OACB是菱形.⌒⌒⌒7.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．拓展延伸(1)证明：连接AD.∵AB=CD,∴AB=CD.

∴AB-AD=CD-AD.即BD=AC.∴BD=AC.在△ADB和△DAC中，∴△ADB≌△DAC(SSS).∴∠ABD＝∠DCA.在△AEC和△DEB中，∠DCA＝∠ABD,∠AEC＝∠DEB,AC=BD,∴△AEC≌△DEB(