2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之圆周角

第26页（共26页）2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之圆周角一．选择题（共5小题）1．（2024秋•碑林区校级期末）如图，圆内接四边形ABCD中，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，则∠A的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°2．（2024秋•烟台期末）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合，D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的量角器上的读数为80°，那么∠ACE的大小为（）A．20° B．30° C．40° D．50°3．（2024秋•海曙区期末）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交AC于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（）A．∠AEC＝135° B．∠BCE＝105° C．EC=2EA D．EC＝24．（2025•浙江一模）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．100° C．120° D．110°5．（2024秋•锡林郭勒盟期末）已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝40°，则∠CBA的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°二．填空题（共5小题）6．（2024秋•克州期末）如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是．7．（2024秋•烟台期末）如图，A、B、C是⊙O上三点，且C是弧AB的中点，弦CD⊥OA于点E，若sin∠CDB＝0.4，OA＝5，则CD的长为．8．（2025•雁塔区校级一模）如图，BC为⊙O直径，点D为⊙O上一点，连接OD，过点C作CA∥OD交⊙O于点A，连接AB，BD．若∠ABC＝20°，则∠CBD的度数为．9．（2024秋•芝罘区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝45°，BC=2，CD＝2，则⊙O的半径长度是10．（2024秋•内乡县期末）如图，AB是半圆的直径，点C是AB上一点，cos∠CAB=45，点D是AC的中点，连结DB、CA交于点E，则DEBE三．解答题（共5小题）11．（2024秋•武汉期末）如图，AB是半圆O的直径，C是AB上一点，点D是BC的中点，连接AD．（1）求证：AC∥OD；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．12．（2024秋•烟台期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O，交BC于点D，与AC的另一个交点为E，连接DE，DP，BE．（1）当点P为DE的中点时，求BD的长度；（2）点P在CE上移动时，请探究有几处位置使得△BDE是等腰三角形，并求出对应的CP的长度．13．（2024秋•遵化市期末）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．（1）求证：∠ADC=12∠（2）若AE＝2，BC＝6，求OA的长．14．（2024秋•富县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，连接BC，CD，DA，OC，OD．求证：OC∥AD．15．（2024秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，直径BD与弦AC交于点E，且AB＝AC．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD．（2）若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD．（3）若AB＝5，BC＝6，求AE．

2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之圆周角参考答案与试题解析题号12345答案ACDBB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•碑林区校级期末）如图，圆内接四边形ABCD中，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，则∠A的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】A【分析】根据三角形的外角性质得到∠EDF＝∠A+60°，∠EBF＝∠A+40°，根据圆内接四边形的性质列式计算得到答案．【解答】解：∵∠EDF是△ADF的外角，∠F＝60°，∴∠EDF＝∠A+∠F＝∠A+60°，同理可得：∠EBF＝∠A+∠E＝∠A+40°，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠ADF+∠ABE＝180°，∴∠EDF+∠EBF＝180°，∴∠A+60°+∠A+40°＝180°，解得：∠A＝40°，故选：A．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．2．（2024秋•烟台期末）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合，D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的量角器上的读数为80°，那么∠ACE的大小为（）A．20° B．30° C．40° D．50°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】C【分析】连接OE，由题意可得∠AOE＝80°，再由圆周角定理计算即可得解．【解答】解：如图，连接OE，由条件可知∠AOE＝80°，∵AB为直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上，∴∠ACE故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．3．（2024秋•海曙区期末）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交AC于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（）A．∠AEC＝135° B．∠BCE＝105° C．EC=2EA D．EC＝2【考点】圆周角定理；线段垂直平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】D【分析】连接OE，找EC的中点F，连接EF，CF，从而可得EF=CF，根据垂直定义可得：∠COA＝∠COB＝90°，从而可得∠OCB＝∠OBC＝45°，然后根据圆内接四边形对角互补可得：∠AEC＝135°，再根据中垂线的性质可得EO＝EC，从而可得EO＝EC＝OC，进而可得△OEC是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得∠EOC＝∠ECO＝60°，从而可得∠ECB＝105°，∠AOE＝30°，进而可得∠EOC＝2∠AOE，再根据圆心角、弧、弦的关系可得：EF＝CF＝AE，从而利用三角形的三边关系可得：EF+CF＞CE，进而可得2AE＞【解答】解：连接OE，找EC的中点F，连接EF，CF，∴EF=∵半径OC⊥AB，∴∠COA＝∠COB＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵四边形AECB是半圆O的内接四边形，∴∠AEC+∠ABC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠ABC＝135°，∵ED是OC的中垂线，∴EO＝EC，∵OE＝OC，∴EO＝EC＝OC，∴△OEC是等边三角形，∴∠EOC＝∠ECO＝60°，∴∠ECB＝∠ECO+∠OCB＝105°，∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°，∴∠EOC＝2∠AOE，∴EC=2AE∴EF=∴EF＝CF＝AE，在△EFC中，EF+CF＞CE，∴AE+AE＞CE，∴2AE＞CE，所以，上述结论错误的是EC＝2EA，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2025•浙江一模）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．100° C．120° D．110°【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】B【分析】根据等腰三角形性质求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝65°，∴∠ACB＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝100°，故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠A的度数和根据定理得出∠BOC＝2∠A是解此题的关键．5．（2024秋•锡林郭勒盟期末）已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝40°，则∠CBA的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°【考点】圆周角定理．【答案】B【分析】首先连接AC，由AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，然后由圆周角定理，求得∠A＝∠D，继而求得答案．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠CDB＝40°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝50°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•克州期末）如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是2．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】2．【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝60°，而OB＝OC，于是可判断△OBC为等边三角形，所以OB＝BC＝1．【解答】解：连接OB、OC，如图，∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，而OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴OB＝BC＝2，即⊙O的半径为2．故答案为：2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．7．（2024秋•烟台期末）如图，A、B、C是⊙O上三点，且C是弧AB的中点，弦CD⊥OA于点E，若sin∠CDB＝0.4，OA＝5，则CD的长为8215【考点】圆周角定理；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】821【分析】作直径CF，连接BF，CA，由弧弦圆心角的关系可得AC＝BC，由圆周角定理可得sin∠CFB＝sin∠CDB＝0.4，即得AC＝BC＝4，设OE＝x，则AE＝5﹣x，由勾股定理得52﹣x2＝42﹣（5﹣x）2，得到OE=175，进而得CE【解答】解：如图，作直径CF，连接BF，CA，∵OA＝5，∴OC＝5，CF＝10，由题意可得：AC=∴AC＝BC，由题意可得：∠CBF＝90°，∵∠CFB＝∠CDB，∴sin∠CFB＝sin∠CDB＝0.4，∴BC＝CF•sin∠CFB＝10×0.4＝4，∴AC＝4，设OE＝x，则AE＝5﹣x，∵CD⊥OA，∴∠AEC＝∠OEC＝90°，CD＝2CE，∵由勾股定理可得：OC2﹣OE2＝AC2﹣AE2，∴52﹣x2＝42﹣（5﹣x）2，∴x=∴OE=∴CE=∴CD=2故答案为：821【点评】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，垂径定理，三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．8．（2025•雁塔区校级一模）如图，BC为⊙O直径，点D为⊙O上一点，连接OD，过点C作CA∥OD交⊙O于点A，连接AB，BD．若∠ABC＝20°，则∠CBD的度数为35°．【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】35°．【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠BAC＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB＝70°，再利用平行线的性质可得∠ACB＝∠COD＝70°，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答．【解答】解：∵BC为⊙O直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝20°，∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝70°，∵OD∥AC，∴∠ACB＝∠COD＝70°，∴∠CBD=12∠COD＝故答案为：35°．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2024秋•芝罘区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝45°，BC=2，CD＝2，则⊙O的半径长度是5【考点】圆内接四边形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】5．【分析】过B点作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，OB，OD，通过证明△OBD为等腰直角三角形可得OB=22BD，通过证明△BCE为等腰直角三角形可得BE＝CE＝1，即可求出ED的长，再利用勾股定理求解【解答】解：过B点作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，OB，OD，∵∠BAD＝45°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，∠BCD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCE＝180°﹣135°＝45°，∵OB＝OD，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OB=∵BE⊥CD，∠BCE＝45°，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BE=∵CD＝2，∴ED＝CE+CD＝3，∴BD=∴OB=故答案为：5．【点评】本题考查了圆内接四边形，等腰直角三角形，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．10．（2024秋•内乡县期末）如图，AB是半圆的直径，点C是AB上一点，cos∠CAB=45，点D是AC的中点，连结DB、CA交于点E，则DEBE【考点】圆周角定理；解直角三角形；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】13【分析】设AB＝10a，由余弦函数的定义结合勾股定理求得AC和BC的长，利用垂径定理求得AF＝CF＝4a，OF＝3a，推出DF＝2a，证明△DFE∽△BCE，据此求解即可．【解答】解：设OD与AC交于点F，AB＝10a，由条件可知∠ACB＝90°，∵cos∠∴ACAB设AB＝10a，则AC＝8a，BC=∵点D是AC的中点，∴OD⊥AC，AF=∴OF=∴DF＝OD﹣OF＝2a，由条件可知DF∥BC，∴△DFE∽△BCE，∴DEBE故答案为：13【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，勾股定理以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识点是关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•武汉期末）如图，AB是半圆O的直径，C是AB上一点，点D是BC的中点，连接AD．（1）求证：AC∥OD；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．【考点】圆周角定理；平行线的判定；勾股定理；垂径定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；与圆有关的计算；运算能力．【答案】（1）证明见解析过程；（2）310【分析】（1）先根据点D是BC的中点，结合圆周角定理得出∠CAD＝∠BAD，进一步得出∠BOD＝∠BAC即可解决问题．（2）连接BC，交OD于点M，先根据勾股定理求出BC，进而得出BM的长，再利用勾股定理求出OM的长，进而得出DM的长，再连接BD，求出BD的长，最后在Rt△ABD中利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵点D是BC的中点，∴CD=∴∠CAD＝∠BAD，则∠CAB＝2∠BAD，又∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠CAB＝∠BOD，∴AC∥OD．（2）解：连接BC交OD于点M，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°．在Rt△ABC中，BC=A∴BM=1在Rt△OBM中，OM=5∴DM＝5﹣4＝1．在Rt△DBM中，BD2＝BM2+DM2＝32+12＝10．在Rt△ABD中，AD=A【点评】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定，熟知垂径定理、圆周角定理及平行线的判定是解题的关键．12．（2024秋•烟台期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O，交BC于点D，与AC的另一个交点为E，连接DE，DP，BE．（1）当点P为DE的中点时，求BD的长度；（2）点P在CE上移动时，请探究有几处位置使得△BDE是等腰三角形，并求出对应的CP的长度．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】（1）4.8；（2）CP＝2.8或CP＝4或CP＝5、【分析】（1）由勾股定理可得AC=AB2+（2）分三种情况：①当BD＝BE时．②当DB＝DE时，③当ED＝EB时，分别求解即可得解．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC=∴sinC=由题意可得：∠BEP＝90°．∴BE=由题意可得：BD=∴BD＝BE＝4.8．（2）①当BD＝BE时．∵BD＝BE＝4.8，则CD＝BC﹣CD＝8﹣4.8＝3.2，由题意可得：∠PDB＝90°，cosC=又∵cosC=∴3.2CP=45，②当DB＝DE时，∠DBE＝∠DEB，连接DP，由题意可得：∠PDB＝90°，∴∠DCE＝∠DEC，∴DB＝BE＝DC＝4．∵cosC=∴4CP=45，③当ED＝EB时，如图所示，连接DP，过点E作EF⊥BD于点F．∴∠C＝∠BEF，∴BF=∵ED＝EB，EF⊥BD，∴DF＝FB＝2.88，∴CD＝8﹣2.88﹣2.88＝2.24，∴2.24CP∴CP＝2.8．综上所述，CP＝2.8或CP＝4或CP＝5．【点评】本题考查了解直角三角形、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．13．（2024秋•遵化市期末）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．（1）求证：∠ADC=12∠（2）若AE＝2，BC＝6，求OA的长．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据垂径定理得到AB=（2）根据垂径定理得到BE＝CE=12BC=12×6＝3，设⊙O的半径为r，利用勾股定理得到32+（r﹣2）【解答】（1）证明：∵OA⊥BC，∴AB=∴∠ADC=12∠（2）解：∵OA⊥BC，∴BE＝CE=12BC=12设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OE＝r﹣2，在Rt△OBE中，32+（r﹣2）2＝r2，解得r=13即OA的长为134【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．14．（2024秋•富县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，连接BC，CD，DA，OC，OD．求证：OC∥AD．【考点】圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】见解析．【分析】由题意可得BC=CD，从而得出∠BOC=∠COD=1【解答】证明：∵点C是BD的中点，∴BC=∴∠BOC∴∠DAB∴OC∥AD．【点评】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．15．（2024秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，直径BD与弦AC交于点E，且AB＝AC．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD．（2）若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD．（3）若AB＝5，BC＝6，求AE．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）见解答；（2）18°或22.5°；（3）12539【分析】（1）连接OA并延长交BC于H点，如图，利用垂径定理的推论得到AH垂直平分BC，则根据等腰三角形的性质得到AH平分∠BAC，即∠BAC＝2∠BAH，然后利用∠ABD＝∠BAH得到结论；（2）设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，∠AED＝3α，根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，当AD＝AE时，∠ADB＝∠AED＝3α，所以α+3α＝90°；当DA＝DE时，∠DAE＝∠AED＝3α，则2α+3α＝90°，然后分别据解方程求出α即可；（3）利用垂径定理得到BH＝CH＝3，则利用勾股定理可计算出AH＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OH＝4﹣r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4﹣r）2＝r2，解得r=258，所以BD=254，接着在Rt△ABD中计算出AD=154，在Rt△BCD中计算出C=74，然后证明△【解答】（1）证明：连接OA并延长交BC于H点，如图，∵AB＝AC，∴AB=∴AH垂直平分BC，∴AH平分∠BAC，即∠BAC＝2∠BAH，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAH，∴∠BAC＝2∠ABD；（2）解：设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，∴∠AED＝∠ABD+∠BAC＝α+2α＝3α，∵AB为直径，∴∠BAD＝90°，当AD＝AE时，∠ADB＝∠AED＝3α，∴α+3α＝90°，解得α＝22.5°；当DA＝DE时，∠DAE＝∠AED＝3α，∴2α+3α＝90°，解得α＝18°，综上所述，∠ABD的度数为18°或22.5°；（3）解：∵AH⊥BC，∴BH＝CH=12BC＝在Rt△ABH中，AH=52设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OH＝4﹣r，在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r=25∴BD＝2r=25在Rt△ABD中，AD=(在Rt△BCD中，CD=(∵AH∥CD，∴△AEO∽△CED，∴AECE∴AEAC∴AE=2539×【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质．

考点卡片1．平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．2．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．3．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．4．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．6．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：