2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之解直角三角形

第22页（共22页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之解直角三角形一．选择题（共5小题）1．（2024秋•宁强县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC=7，AC＝3，则sin∠ACDA．74 B．73 C．34 2．（2024秋•淄川区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC=A．3-3 B．3+3 C．333．（2024秋•烟台期末）如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则tan∠CAB的值为（）A．12 B．32 C．33 4．（2025•浙江一模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（）A．1 B．2 C．12 D．5．（2024秋•淄博期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝5，则BC的长为（）A．5tanα B．5sinα C．5cosα D．5二．填空题（共5小题）6．（2024秋•宁强县期末）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么sin∠BAC的值为．7．（2024秋•临淄区期末）如图，已知直线a∥b，点A，B分别是直线a，b上的定点，AB⊥b，动点C从点A出发沿直线a向左运动，同时，动点D从点B出发沿直线b向右运动，连接CD交AB于点E，过点B作CD的垂线，垂足为点P，连接AP．若点C的速度是点D的速度的两倍，则当∠BAP最大时，sin∠BAP的值为．8．（2025•浙江一模）直角三角形ADE和ABC的直角顶点重合在点A，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，M、N分别是边AC、DE上的动点，且DN＝AM，则AN+BM的最小值是．9．（2024秋•桓台县期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则cos∠BAC的值是．10．（2024秋•张店区期末）如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接AB，AC，则tan∠BAC的值为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•桓台县期末）如图，在△ABC中，已知∠B＝60°，∠C＝45°，AB=6+63，求12．（2024秋•芝罘区期末）如图，在△ACB中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝8．（1）求AB的长；（2）点P在线段AB上，连接CP，且tan∠APC＝2，求tan∠BCP的值．13．（2024秋•张店区期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AB＝4，AC=33，∠A＝（1）求BD和AD的长；（2）求sinC的值．14．（2024秋•贵池区期末）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cosB=513，AB＝13，BC＝（1）求AC的长；（2）求∠BAC的正弦值．15．（2024秋•舒城县期末）如图，在△ABC中，AC=5，BC=13，cosA=55，点D在BC边上，且CD＝2BD，DE（1）求线段AB的长；（2）求∠CEA的正切值．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之解直角三角形参考答案与试题解析题号12345答案CABCB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•宁强县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC=7，AC＝3，则sin∠ACDA．74 B．73 C．34 【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】C【分析】先由勾股定理求出AB＝4，再证出∠ACD＝∠B，然后由锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB=AC2+BC2=3∵CD是斜边AB上的高，∴CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B=AC故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角函数定义是解题的关键．2．（2024秋•淄川区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC=A．3-3 B．3+3 C．33【考点】解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】A【分析】根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH＝30°，再根据∠BAD+∠EAC＝30°，可得∠DAH＝∠EAC，从而可得tan∠DAH＝tan∠EAC=13，利用锐角三角函数求得AH＝ABsin60°＝3【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，∵AH⊥BC，∴∠BAH=12∠BAC＝∴∠BAD+∠DAH＝30°，∵∠DAE＝30°，∴∠BAD+∠EAC＝30°，∴∠DAH＝∠EAC，∴tan∠DAH＝tan∠EAC=1∵BH=12AB＝∵AH＝ABsin60°＝6×32=∴DHAH∴DH=3∴BD＝BH﹣DH＝3-3故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的应用，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质证明∠DAH＝∠EAC是解题的关键．3．（2024秋•烟台期末）如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则tan∠CAB的值为（）A．12 B．32 C．33 【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】B【分析】如图，连接BE，交AC于点D，由菱形的性质可得，BE⊥AC，设菱形的边长为a，则BD＝3a，DE＝2a，AE＝4a，勾股定理求得AD，进而根据tan∠【解答】解：如图所示，连接BE，交AC于点D设菱形的边长为a，∴BD＝3a，DE＝2a，AE＝4a，AD=∴tan∠故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正切等知识．熟练掌握以上知识点是关键．4．（2025•浙江一模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（）A．1 B．2 C．12 D．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】C【分析】过点B作AC边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为M，根据勾股定理得，BM=1CM=2在Rt△BCM中，tan∠ACB=BM故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，过点B作AC的垂线构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键．5．（2024秋•淄博期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝5，则BC的长为（）A．5tanα B．5sinα C．5cosα D．5【考点】解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】根据正弦的定义解答即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝α，AB＝5，∴sinA=∴BC＝5sinα．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形，熟知在直角三角形中，正弦值等于对边比斜边是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•宁强县期末）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么sin∠BAC的值为22【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】22【分析】根据网格求出三角形△ABC的三边，得到△ABC是直角三角形，再进行求解．【解答】解：连接BC，由勾股定理可得，AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴sin∠故答案为：22【点评】此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用．7．（2024秋•临淄区期末）如图，已知直线a∥b，点A，B分别是直线a，b上的定点，AB⊥b，动点C从点A出发沿直线a向左运动，同时，动点D从点B出发沿直线b向右运动，连接CD交AB于点E，过点B作CD的垂线，垂足为点P，连接AP．若点C的速度是点D的速度的两倍，则当∠BAP最大时，sin∠BAP的值为15【考点】解直角三角形；平行线的性质．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】15【分析】由“动点C与动点D同时出发，且点C的速度是点D的速度的两倍”可得AC＝2BD，即ACBD=2，由直线a∥b可证得△ACE∽△BDE，于是可得AEBE=ACBD=2，则AE=23AB，BE=13AB，进而可得点E为AB上的定点，由BP⊥CD可得∠BPE＝90°，由90度的圆周角所对的弦是直径可得点P在以BE为直径的圆上运动，取线段BE的中点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，则点P在⊙O上运动，当AP与⊙O相切时，∠BAP最大，连接OP，由切线的性质可得OP⊥AP，即∠OPA【解答】解：由条件可知AC＝2BD，即ACBD∵直线a∥b，∴△ACE∽△BDE，∴AEBE∴AE=23∴点E为AB上的定点，∵BP⊥CD，∴∠BPE＝90°，∴点P在以BE为直径的圆上运动，如图，取线段BE的中点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，则点P在⊙O上运动，∴当AP与⊙O相切时，∠BAP最大，连接OP，则OP⊥AP，即∠OPA＝90°，∵OP=OA=∴sin∠故答案为：15【点评】本题主要考查了求角的正弦值，相似三角形的判定与性质，90度的圆周角所对的弦是直径，切线的性质等知识点，推出点E为AB上的定点以及点P在以BE为直径的圆上运动是解题的关键．8．（2025•浙江一模）直角三角形ADE和ABC的直角顶点重合在点A，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，M、N分别是边AC、DE上的动点，且DN＝AM，则AN+BM的最小值是10．【考点】解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】10．【分析】过点A作AF⊥DE于F，则DF＝EF＝AF＝1，设DN＝AM＝x，则AN=AF2+FN2=12+(1-x)2，BM=AB2+AM2=22+x2，进而得AN+BM=12+(1-x)2+22+x2，在直角坐标系中，设点H（x，0），P（1，1），Q（0，2），则HP+HQ=12+(1-x)2+22+x2，因此要求【解答】解：过点A作AF⊥DE于F，如图1所示：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，∴△ADE为等腰直角三角形，∠ABC＝30°，∴DF＝EF＝AF=12DE＝设DN＝AM＝x，∴FN＝DF﹣DN＝1﹣x，在Rt△ANF中，由勾股定理得：AN=A在Rt△ABM中，由勾股定理得：BM=A∴AN+BM=1在直角坐标系中，设点H（x，0），P（1，1），Q（0，2），则HP=12+(1-x∴HP+HQ=1因此要求AN+BM的最小值，只需求出HP+HQ的最小值即可，作点Q（0，2）的对称点Q'（0，﹣2），连接PQ'交x轴于R，连接HQ'，如图2所示：∴HQ＝HQ'，∴HP+HQ＝HP+HQ'根据“两点之间线段最短”得：HP+HQ'≥PQ'，∴当点D与点R重合时，HP+HQ'为最小，最小值为线段PQ'的长，即HP+HQ的最小值为线段PQ'的长，∵PQ'=(1-0∵HP+HQ的最小值10，即AN+BM的最小值10．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用轴对称求最短路线，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用轴对称求最短路线是解决问题的关键．9．（2024秋•桓台县期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则cos∠BAC的值是55【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】55【分析】由勾股定理计算出AB＝5，AC=5，BC=25，再由勾股定理逆定理判断出△ABC为直角三角形，∠【解答】解：由勾股定理可得：AC=12+2∵AC2+BC2＝5+20＝25，AB2＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，cos∠故答案为：55【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、余弦的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．10．（2024秋•张店区期末）如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接AB，AC，则tan∠BAC的值为2．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】2．【分析】连接BC，利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，证明△ABC是直角三角形，再根据正切的定义解答即可．【解答】解：连接BC，∵AB2＝12+12＝2，BC2＝22+22＝8，AC2＝12+32＝10，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠故答案为：2．【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•桓台县期末）如图，在△ABC中，已知∠B＝60°，∠C＝45°，AB=6+63，求【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】92【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数关系求出AD，然后根据∠C＝45°，进而利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝60°，AB=6+6∴AD=在Rt△ACD中，∠C＝45°，sinC=∵sin45∴AC=【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．12．（2024秋•芝罘区期末）如图，在△ACB中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝8．（1）求AB的长；（2）点P在线段AB上，连接CP，且tan∠APC＝2，求tan∠BCP的值．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）43（2）13【分析】（1）作CD⊥AB于点D，根据正弦和余弦的定义分别求出CD和AD，根据直角三角形两锐角互余得出∠BCD＝90°﹣45°＝45°＝∠B，再根据等角对等边得出BD＝CD＝4，最后根据线段的和差关系即可得出答案．（2）作PE⊥BC于点E，则∠B＝∠EPB＝45°，PE＝PB，根据正切的定义得出PD＝2，进而可得出PB，再根据sinB=CDBC=PEPB，进而可得出【解答】解：（1）作CD⊥AB于点D，由条件可知CD＝AC•sinA＝8×sin30°＝4，∴AD=在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°＝∠B，∴BD＝CD＝4，∴AB（2）作PE⊥BC于点E，则∠B＝∠EPB＝45°，∴PE＝PB，由条件可知PD＝2，∴PB＝BD﹣PD＝4﹣2＝2，∵sinB=∴BC=PE=由题意，BE=∴CE=∴tan∠【点评】本题主要考查了解直角三角形的相关计算．直角三角形两锐角互余，等角对等边等知识．熟练掌握以上知识点是关键．13．（2024秋•张店区期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AB＝4，AC=33，∠A＝（1）求BD和AD的长；（2）求sinC的值．【考点】解直角三角形；含30度角的直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）2；23（2）27【分析】（1）在Rt△ADB中，运用30°角所对的直角边是斜边的一半得到BD的值，有勾股定理可得AD的值；（2）在Rt△BCD中，由勾股定理得BC=DC2+B【解答】解：（1）在Rt△ADB中，AB＝4，∠A＝30°，∴BD=在Rt△ADB中，由勾股定理得：∴AD=（2）∵AC=33，∴CD＝33-23在Rt△BCD中，由勾股定理得：∴BC=在Rt△BCD中，sinC=【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，求角的正弦值，掌握勾股定理，锐角三角函数的计算是解题的关键．14．（2024秋•贵池区期末）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cosB=513，AB＝13，BC＝（1）求AC的长；（2）求∠BAC的正弦值．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．【答案】（1）20；（2）6365【分析】（1）由∠B的余弦求出BD长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题；（2）过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．【解答】解：（1）∵cosB=BDAB=513∴BD＝13×513∴CD＝BC﹣BD＝21﹣5＝16，∵AD=AB∴AC=AD（2）作CH⊥AB于H，∵△ABC的面积=12AB•CH=12∴13CH＝21×12，∴CH=252∴∠BAC的正弦值是CHAC【点评】本题考查解直角三角形，关键是过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长．15．（2024秋•舒城县期末）如图，在△ABC中，AC=5，BC=13，cosA=55，点D在BC边上，且CD＝2BD，DE（1）求线段AB的长；（2）求∠CEA的正切值．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）4；（2）1．【分析】（1）过点C作CF⊥AB于点F，根据余弦的定义，求得AF＝1，勾股定理求得CF＝2，解Rt△BCF得出BF＝3，即可求解；（2）先求得BD=133，进而根据cosB=EBDB=FBCB【解答】解：（1）如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，∵AC=5，∴AF＝1∴CF在Rt△BCF中，